L¨ohr/Winter Sommersemester 2017
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie I
Ubungsblatt 9¨
Konvergenz von Zufallsvariablen
& Gesetz der großen Zahl
Aufgabe 9.1 (Konvergenz in Wahrscheinlichkeit versus fast sicher). (4 Punkte) Sei (Xn)n∈Neine Folge unabh¨angiger, exponentialverteilter Zufallsvariablen mit Parameter 1,
Yn := Xn
log(n).
(a) Zeige, dassYn in Wahrscheinlichkeit konvergiert und bestimme den Grenzwert.
(b) Zeige P n
lim sup
n→∞
Yn= 1o
= 1. Insbesondere konvergiertYn nicht fast sicher.
Hinweis: Zeige jeweils mit Borel-Cantelli: Yn ist f.s. unendlich oft ≥1; und f¨ur jedes α >1 ist Yn f.s. nur endlich oft ≥α.
Aufgabe 9.2 (schwaches Gesetz f¨ur zuf¨allige Summandenanzahl). (4 Punkte) Sei (Xn)n∈N eine Folge unabh¨angig identisch verteilter, quadratintegrierbarer Zufallsvaria- blen, sowie (Tn)n∈N eine von (Xn)n∈N unabh¨angige Folge N-wertiger (untereinander nicht notwendig unabh¨angiger), quadratintegrierbarer Zufallsvariablen mit E(Tn)→ ∞.
(a) Zeige unter der Annahme E(X1) = 0, dass 1
E(Tn)
Tn
X
k=1
Xk −→
n→∞ E(X1) in Wahrscheinlichkeit.
Hinweis: Verwende die Wald’schen Identit¨aten.
(b) Zeige durch ein Beispiel, dass auf die AnnahmeE(Xn) = 0 nicht verzichtet werden kann.
Hinweis: DieXn k¨onnen deterministisch gew¨ahlt werden.
Aufgabe 9.3 (schwaches Gesetz f¨ur das Maximum). (4 Punkte) SeienX1, X2, X3, . . . unabh¨angig identisch verteilt mitE(Xn) = 0 und Var(Xn) = 1.
SeiSn:=Pn
k=1Xk. Im schwachen Gesetz der großen Zahl wird die Tschebyscheff-Absch¨atzung P
|Sn| ≥x ≤ xn2 verwendet. Zeige, dass sogar P
n
1max≤k≤n|Sk| ≥xo
≤ n
x2 ∀n∈N, x >0.
Hinweis:Sei Ak:=
|Sk| ≥x, |Si|< x, i < k . Zeige zun¨achst x2P(Ak)≤E(1AkSn2).
Bitte wenden!
Aufgabe 9.4 (starkes Gesetz f¨ur ein Produkt). (4 Punkte) Sei (Un)n∈N eine Folge unabh¨angiger, auf [0,1] gleichverteilter Zufallsvariablen und
Yn :=
n
Y
k=1
Uk
1n .
Zeige, dass (Yn)n∈N fast sicher konvergiert und bestimme den Grenzwert.
Hinweis:Verwende das starke Gesetz der großen Zahl.
Abgabe Di, 04.07. 14:00
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 27.06.gibt Stein Andreas Bethuelsen (TU M¨unchen) einen Vortrag ¨uber Stochastic domination in space-time for the supercritical contact process Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Di, 16:15 – 17:15in WSC-S-U-3.03
