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Technische Universit¨at Berlin Wintersemester 2004/05
Fakult¨at II - Institut f¨ur Mathematik Vorlesung: Prof. Dr. Alexander Schied Ubungen: Stephan Sturm¨
Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie II ¨
12.Blatt Ubungen 25.01.05 ¨ Abgaben bis 01.02.05
Hausaufgaben
1.Aufgabe: SeiX eineN(0,1)-verteilte Zufallsvariable, man zeige, dass f¨ur allex∈[0,∞[
√1 2π
x
1 +x2e−x22 ≤ P[X > x] ≤ 1
√2π 1 xe−x22 gilt.
2.Aufgabe: Sei (Ω,A, P) ein Maßraum; man zeige, dass ein Maßraum (Ω,A¯,P), genannt die¯ Vervollst¨andigung von (Ω,A, P), existiert, so dass
a) ¯Adie Menge allerAist, die sich alsA=B∪C mitB∈ AundC⊂N∈ Amit P(N) = 0 schreiben l¨aßt und
b) ¯P undP aufAubereinstimmen.¨
3.Aufgabe: SeiX eine kanonische Brownsche Bewegung auf dem Wienerraum (C[0,1],F, P).
a) Man zeige, dass die Abbildung (t, ω)7→Xt(ω) messbar ist bezglich B([0,1])⊗ F. b) Man zeige, dass die Zufallsvariable
Z1
0
Xs(ω)ds
N(0,1/3)-verteilt ist.
c) Man zeige, dass f¨urP fast alleω die Menge
N(ω) :={t∈[0,1] :Xt(ω) = 0} eine Lebesgue-Nullmenge ist.
Bemerkung: In Wahrscheinlichkeitstheorie III werden wir sehen, dassN(ω) f¨urP fast alleω eine ”fraktale”
Menge mit der gebrochenen (Hausdorff-)Dimension 1/2 ist. Insbesondere besitztN(ω) f¨urP fast alleω
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uberabz¨ahlbar viele Elemente.
Jede Aufgabe 8 Punkte
