¨Ubungen18.10.05Abgabenbis25.10.05Hausaufgaben 1.Blatt ¨UbungenzurVorlesungWahrscheinlichkeitstheorieII

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Technische Universit¨at Berlin Wintersemester 2005/06

Fakult¨at II - Institut f¨ur Mathematik Vorlesung: Prof. Dr. J¨urgen G¨artner Ubung: Stephan Sturm¨

Sekretariat: Monika Michel, MA 7-5

Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie II ¨

1.Blatt Ubungen 18.10.05 ¨ Abgaben bis 25.10.05

Hausaufgaben

1.Aufgabe: SeiI eine Indexmenge,X eine Menge mit einer Familie von Teilmengen{Aⁱ}^i∈I,Y eine weitere mit{Bi}i∈I undf :X →Y. Man zeige

(i) f⁻¹(S

i∈IBi) =S

i∈If⁻¹(Bi), (ii) f⁻¹(T

i∈IBi) =T

i∈If⁻¹(Bi), (iii) f(S

i∈IAⁱ) =S

i∈If(Aⁱ), (iv) f(T

i∈IAⁱ)⊆T

i∈If(Aⁱ),

(v) Man gebe ein Beispiel an, wo die Inklusion in (iv) echt ist.

2.Aufgabe: Man zeige, dass die Durchschnittsstabilit¨at im Satz von Carath´eodory tats¨achlich eine notwendige Bedingung ist: F¨ur Ω ={1,2,3,4}konstruiere man auf der vonE={{1,2},{1,3}}erzeugten σ-Algebraσ(E) zwei verschiedene Wahrscheinlichkeitsmaße, die aufE ubereinstimmen.¨

3.Aufgabe:

(i) Man gebe zweiσ-Algebren auf einer Menge Ω an, deren Vereinigung keineσ-Algebra ist.

(ii) Man finde ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist.

4.Aufgabe: SeiA:={A⊆N:AoderA^c endlich}. Man zeige, dassAeine Algebra, aber keineσ-Algebra auf Nist.

Jede Aufgabe 6 Punkte