Gitter und Kryptographie

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2007/08

Gitter und Kryptographie Blatt 9, 14.12.2007, Abgabe 21.12.2007

Sei (B ⁰ , y) =







2 1

... O ...

O 2 1

N a ₁ · · · N a _n N b





 ∈ Z ⁽ⁿ⁺¹⁾

2

.

Aufgabe 1. Zeige für N ≥ 2 :

(a 1 , . . . , a n , b) 6∈ Rucksack ⇒ ∀x ∈ Z ⁿ : kB ⁰ x − yk ≥ √ n + 4.

Zeige konstruktiv: x ∈ Z ⁿ mit kB ⁰ x − yk < √

n + 4 liefert eine Rucksack- lösung.

Aufgabe 2. Zeige: GAP-CVP √

1+4/n ist NP-hart.

Hinweis: Benutze Aufgabe 1 und dass oenbar gilt:

(a ₁ , . . . , a _n , b) ∈ Rucksack ⇒ ∃x ∈ Z ⁿ : kB ⁰ x − yk ≤ √ n .

Aufgabe 3. Sei k k beliebige Norm mit Eichkörper K und L Gitter, dim(L) = n . Zeige : λ ⁿ _{1,k k} (L) ≤ 2 ⁿ vol(K) ⁻¹ det L .

Hinweis: Ersetze im Beweis von Satz 3.2.1: V n (λ 1 /2) ⁿ durch vol(K)(λ 1 /2) ⁿ .

B = (b ₁ , . . . , b _n+1 ) ∈ R (n+2)×(n+1) entstehe aus (B ⁰ , y) durch Zufügen einer n + 2 -ten Zeile (0, . . . , 0, √

n) .

Aufgabe 4. Zeige unter der Annahme λ ₁ (L(b ₁ , . . . , b _n )) > √ 2n : für N ≥ n : (B, √

2n) ∈ SVP ⇔ (a 1 , . . . , a n , b) ∈ Rucksack.