Analysis I für M, LaG/M, Ph 9.Tutorium
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010
Dr. Robert Haller-Dintelmann 10./11.06.2010
David Bücher
Christian Brandenburg
Tutorium
Aufgabe T1 (Häufungspunkte)
Beweisen Sie Satz 17.2 a) aus dem Skript:
Es seiD⊆Rundx0∈R. Dann gilt:
x0ist ein Häufungspunkt vonDgenau dann, wenn für alleε >0die MengeD∩Uε(x0)unendlich ist.
Aufgabe T2 (Stetigkeit)
Die Funktion f :[0, 1]→Rsei definiert durch
f(x):=
(1
q, fallsx=pq ∈Qmitp,q∈Nteilerfremd 0, fallsxirrational
Zeigen Sie, dass die Funktion f in jedem irrationalen Punkt stetig und in jedem rationalen Punkt unstetig ist.
Aufgabe T3
f :R→Rgenüge für allex,y∈Rder „Funktionalgleichung”
f(x+y) =f(x) +f(y). Zeigen Sie der Reihe nach:
(a) f(0) =0, (b) f(−x) =−f(x),
(c) f(x−y) =f(x)−f(y), (d) f
1 qx
=1qf(x)fürq∈N, (e) f(r x) =r f(x)fürr∈Q,
(f) ist f stetig in0, so istf stetig (aufR), (g) istf stetig, so istf(x) =a xmita:=f(1).
Anmerkung:Es gibt auch unstetige Funktionen, die der Funktionalgleichung genügen!
1
