Moderne Theoretische Physik I Quantenmechnik I

Moderne Theoretische Physik I

Quantenmechnik I

Pr. J. Schmalian

SS 2015

Inhaltsverzeichnis

1 De Brogliesche Materiewellen 3

1.1 Zeitabhängigkeit von Observablen . . . 6

1.2 Erhaltung der Wahrscheinlichkeit . . . 12

1.3 Messung und Unschärferelation . . . 13

1.3.1 Dirac-Notation . . . 17

2 Matritzendarstellung der Quantenmechanik 21 2.1 Stationäre Schrödingergleichung . . . 21

2.2 Heisenbergsche Unschärferelation . . . 22

2.3 Impulsdarstellung . . . 25

3 Der harmonische Oszillator 27 3.1 Weitere Herleitung . . . 30

4 Eindimensionale Probleme 34 5 Drehimpuls und Spin 40 5.1 Teilchen auf einer Kreisbahn . . . 40

5.2 Drehimpulsoperator . . . 41

5.3 Der Spin . . . 48

6 Teilchen im Elektromagnetischen Feld 52 6.1 Landauniveaus im magnetischen Feld . . . 53

6.1.1 Landauniveas mit Spin . . . 54

6.2 Magnetische Monopole . . . 55

6.3 Aharonov-Bohm Effekt . . . 56

7 Bilder in der Quantenmechanik 59 7.1 Heisenbergbild . . . 59

7.2 Wechselwirkungsbild (Dirac-Bild) . . . 62

8 Störungstheorie 64 8.1 entartete Störungstheorie . . . 65

8.2 Stark Effekt . . . 66

1 De Brogliesche Materiewellen

15.4.

E =~ ω

|{z}

Kreisfrequenz

~= h 2π

h≈6,62·10⁻³⁴Js Wellenlängeλ→ Wellenzahlk= ^2π_λ

~kWellenvektor (eⁱ(^~k·~r−ωt))

~ p=~~k E = ~p² 2m nicht-relativistische Mechanik

Wellengleichung fürΨ

a∂ⁿψ

∂tⁿ =b∂^mψ

∂x^m ψ(x,t)∼e^i(kx−ωt) a(−iω)ⁿ=b(ik)^m

ω = ~k² 2m a(−i)ⁿ

~k² 2m

n

=bi^mk^m

⇒2n=m Sagen wir maln= 1,m= 2

a(−i) ~ 2m =−b

b a = i ~

2m Konvention:a= i~,b=−_2m^~2

De Brogliesche Materiewellen

Schrödingergleichung

i~∂Ψ

∂t =− ~² 2m

|{z}

freies Teilchen (nurEkin)

∇²Ψ

Fragen:

1. Was ist Ψ?

2. Wie kann man Potentiale / Kraftfelder einbauen?

3. Klassischer Grenzfall?

Ψkomplex, aber Ψ^∗Ψ ist reell – ist das die Teilchendichte?

|Ψ|² Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen am Punkt ~x zum Zeitpunktt anzutreffen

⇒Ψ Wahrscheinlichkeitsamplitude

ρ(~r,t) =|Ψ (~r,t)|²

⇒ ˆ

d³r |Ψ (~r,t)|²= 1 (L2 quadratintegrable Funktionen)

h~ri= ˆ

d³r ρ(~r,t)~r h~vi= ∂h~ri

∂t = ˆ

d³r∂Ψ^∗(~r,t) Ψ (~r,t)

∂t ~r

= ~ 2mi

ˆ

d³r ∇²Ψ^∗

Ψ~r−Ψ^∗~r ∇²Ψ mit´

∇²f

hd³r=´

f∇²hd³r (zweimal partielle Integration, Randterme verschwinden)

. . .= ~ 2mi

ˆ

d³r Ψ^∗∇²(Ψ~r)−Ψ^∗~r∇²Ψ

∂

∂xα

∂

∂xα

| {z }

∇²

(xβΨ) = ∂

∂xα

∂x_β

∂xα

| {z }

δαβ

Ψ +xβ

∂Ψ

∂xα

!

= ∂

∂x_βΨ + ∂

∂xα

xβ

∂Ψ

∂xα

= ∂Ψ

∂x_β + ∂x_β

∂xα

∂Ψ

∂xα

+xβ

∂²Ψ

∂x²_α

= 2∂Ψ

∂x_β +x_β∇²Ψ

De Brogliesche Materiewellen

h~ri= ˆ

d³rΨ^∗~rΨ

h~vi= ~ mi

ˆ

d³rΨ^∗∇Ψ

h~pi=mh~vi= ~ i

ˆ

d³rΨ^∗∇Ψ

physikalische ObservableO dargestellt durchOˆ

hOi= ˆ

d³rΨ^∗OΨˆ

Oˆ =~r ˆ

rf(~r) =~rf(~r)

ˆ p= ~

i∇

ˆ

pf(~r) = ~ i∇f(~r)

Ψ (~r,t) = 1

√

Veⁱ(^~k·~r−ωt) ˆ

pΨ (~r,t) =~~kΨ (~r,t)

17.4.

Ψ : i~∂Ψ

∂t =−~² 2m∇²Ψ ρ(~r,t) =|Ψ (~r,t)|² O→Oˆ

DOˆE

t= ˆ

d³rΨ^∗(~r,t) ˆOΨ (~r,t) Oˆ = ˆr

Oˆ =~p= ~ i∇

De Brogliesche Materiewellen Zeitabhängigkeit von Observablen

kinetische Energie

T = ~p² 2m

⇒Tˆ = pˆ²

2m =−~² 2m∇²

i~∂Ψ

∂t = ˆTΨ für Potential:T →T+V

gegebenes PotentialV (~r)→Vˆ =V (~r)

Hˆ (ˆp,ˆr) = ˆT(ˆp) + ˆV (ˆr) Hamiltonoperator

i~∂Ψ

∂t = ˆHΨ =−~²

2m∇²Ψ +VΨ

−i~∂Ψ^∗

∂t = ˆHΨ^∗

1.1 Zeitabhängigkeit von Observablen

i~

∂D OˆE

t

∂t =− ˆ

d³r h HΨˆ ^∗

OΨˆ −Ψ^∗OˆHΨˆ i ˆ

d³rHΨˆ ^∗OΨ =ˆ ˆ

d³rn

− ~²

2m∇²Ψ^∗+VΨ^∗

| {z }

Ψ^∗V

oOˆ

= ˆ

d³r n

− ~²

2mΨ^∗∇^∗+ Ψ^∗V oOˆ da:

ˆ

(∇f)g=f g Rand

− ˆ

f∇g Randterme sind 0, daΨim unendlichen verschwinden muss

ˆ

(∇²f)g= ˆ

f∇²g

De Brogliesche Materiewellen Zeitabhängigkeit von Observablen

. . .=− ˆ

d³rΨ^∗

HˆOˆ−OˆHˆ Ψ Kommutator

hA,ˆBˆ i

= ˆABˆ−BˆAˆ hA,ˆBˆi

=−h B,ˆ Aˆi

i~

∂ DOˆ

E

t

∂t =

DhO,ˆHˆ iE da

hH,ˆ Hˆi

= 0 ⇒D HˆE

ist konstant

Beispiel: [ˆpα,ˆr_β]

[ˆpα,ˆr_β] Ψ = (ˆpαˆr_β−rˆ_βpˆα) Ψ

= ~ i

∂

∂rα

(r_βΨ)−~ ir_β ∂

∂rα

Ψ

= ~ i

∂r_β

∂r_αΨ +~ irβ

∂Ψ

∂r_α −~ irβ

∂Ψ

∂r_α

| {z }

0

= ~ iδ_αβΨ

⇒[ˆpα,ˆr_β] = ~ iδ_αβ immer

hO,fˆ Oˆ

i

= 0 da

h ˆ p,Tˆ

i

= 0(Tˆ= ˆT(ˆp)) gilt Impulserhaltung nur fürVˆ 6= ˆV (ˆr), d.h. für Translationinvarianz Oˆ = ˆr

h ˆ r,Hˆ

i

= h

ˆ r,Tˆ

i

[ˆrα,ˆpγpˆγ] = ˆrαpˆγpˆγ−pˆγpˆγrˆα

mitrˆ_αpˆ_γ = ˆp_γrˆ_α−^~_iδ_αγ

De Brogliesche Materiewellen Zeitabhängigkeit von Observablen

. . .= ˆp_γrˆ_αpˆ_α−~

iδ_αγpˆ_γ−pˆ_γpˆ_γrˆ_α

= ˆp_γpˆ_γrˆ_α− 2~

i δ_αγpˆ_γ−pˆ_γpˆ_γrˆ_α

=−2~

i pˆα

h~r,ˆTˆ i

=− ~ mi

~ˆ p

i~∂h~ri_t

∂t =− ~ mi

D~pˆ E m m∂h~ri_t

∂t =D

~ˆ pE

i~∂hˆpi

∂t =Dh ˆ p,HˆiE

=Dh ˆ p,VˆiE

ˆ

pαVˆ(ˆr)−Vˆ(ˆr) ˆpα

Ψ = ~

i

∂

∂rα

V (~r) Ψ (~r)−V(~r)~ i

∂Ψ

∂rα

= ~ i

∂V

∂rα

Ψ + ~ iV ∂Ψ

∂rα

−V (~r)~ i

∂Ψ

∂rα

= ~ i

∂V

∂rα

h~p,ˆVˆ i

= ~ i (∇V) i~∂hˆpi

∂t =i~ DF~E F~ =−∇V

∂h~ri_t

∂t = D~pˆ

E

m

∂hpiˆ

∂t =D F~E

Ehrenfestgleichungen

De Brogliesche Materiewellen Zeitabhängigkeit von Observablen

22.4.

i~∂ψ(~r,t)

∂t = ˆHψ(~r,t) =−~²

2m∇²ψ(~r,t) +V (~r)ψ(~r,t) Ansatz:Ψ (~r,t) =ψ(~r)f(t)

einsetzen

ψ(~r) i~∂f(t)

∂t =f(t)

−~²

2m∇²+V (~r)

ψ(~r) i~^∂f(t)_∂t

f(t) =E = Hψˆ (~r) ψ(~r)

E : orts- und zeitunabhängig

⇒i~∂f

∂t =Ef

⇒f(t) =f(0) e^−iE~t

Hψˆ n(~r) =Enψn(~r)

stationäre Schrödingergleichung

• Eigenwertgleichung

• Lösung der Schrödingergleichung sind normierte Eigenfunktionen vonHˆ multipliziert mit e^−iE~

Normierung der W

ˆ

d³rΨ^∗(~r,t) Ψ (~r,t) = 1

⇓ wählef(0) = 1⇒

ˆ

d³rΨ^∗(~r) Ψ (~r) = 1

h~ri_t= ˆ

Ψ^∗(~r,t)~rΨ (~r,t) = ˆ

d³rΨ^∗(~r)~rΨ (~r)

wennΨ₁(~r,t) und Ψ₂(~r,t) Lösungen der SG sind ⇒ Ψ₁₂(~r,t) = aΨ₁(~r,t) +bΨ₂(~r,t) ist auch eine Lösung!

De Brogliesche Materiewellen Zeitabhängigkeit von Observablen

i~∂Ψ

∂t = ˆHΨ ai~∂Ψ₁

∂t +bi~∂Ψ₂

∂t =aHΨˆ ₁+bHΨˆ ₂ wenn mehrere EigenfunktionenΨn(~r) mit Eigenwerten Enexistieren

⇒Ψ (~r,t) =X

n

anΨn(~r) e^{−iEn~ t} ist eine Lösung der Schrödingergleichung

h~ri=X

n,m

a^∗_na_m ˆ

d³rΨ^∗_n~rΨ_m

e^~i(En−Em)t

Beispiel: Der unendlich tiefe Potentialtopf

V (x) =

(0 |x| ≤ ^a₂

∞ |x|> ^a₂

HΨ (x) =ˆ EΨ

|x|> a 2 −~²

2mΨ⁰⁰(x) +∞Ψ (x) =EΨ (x)

|x| ≤ a 2

−~²

2mΨ⁰⁰(x) =EΨ (x)

De Brogliesche Materiewellen Zeitabhängigkeit von Observablen

|x|> a

2 Ψ = 0⇒Ψ

x=±a 2

= 0 Annahme: WF ist stetig

|x| ≤ a

2 Ψ (x) =Acos (kx) +Bsin (kx) Ψ⁰⁰(x) =−k²Ψ (x)

E= ~²k² 2m

Ψ a

2

=Acos

ka 2

+Bsin

ka 2

= 0 Ψ

−a 2

=Acos

ka 2

−Bsin

ka 2

= 0

2Acos ka

2

= 0 2Bsin

ka 2

= 0

entwederA= 0 undk^a₂ =nπ ⇒ kn= 2n^π_a

oderB = 0 undk^a₂ = (2n+ 1)^π₂ ⇒ kn= (2n+ 1)^π_a

Ψn(x) =

(Acos (k_nx) nungerade Bsin (knx) ngerade

De Brogliesche Materiewellen Erhaltung der Wahrscheinlichkeit

ˆ a/2

−^a/2

Ψ^∗_n(x) Ψn(x) dx=|A|² ˆ a/2

−^a/2

cos²(knx) dx

=|B|² ˆ a/2

−^a/2

sin²(knx) dx

⇒ |A|²=|B|² = 2 a kn=nπ

2 En= ~² 2m

π² a²n²

1.2 Erhaltung der Wahrscheinlichkeit

24.4.

ρ(~r,t) =|ψ(~r,t)|² Frage: Existiert eine Kontinuitätsgleichung?

De Brogliesche Materiewellen Messung und Unschärferelation

∂ρ

∂t +∇ ·~j= 0

∂ρ(~r,t)

∂t = ∂ψ^∗(~r,t)ψ(~r,t)

∂t =ψ^∗(~r,t)∂ψ(~r,t)

∂t + ∂ψ^∗(~r,t)

∂t ψ(~r,t) Schrödingergleichung

i~∂ψ

∂t = ˆHψ

−i~∂ψ^∗

∂t = ˆHψ^∗

∂ρ

∂t =ψ^∗1 i~

Hψˆ − 1 i~

Hψˆ ^∗ ψ

= 1 i~

ψ^∗

−~²

2m∇²+V

ψ−

−~²

2m∇²+V

ψ^∗

ψ

=− ~

2mi ψ^∗∇^∗ψ− ∇²ψ^∗ ψ

=− ~

2mi∇(ψ^∗∇ψ−(∇ψ^∗)ψ)

⇒Wahrscheinlichkeitsstrom

~j = ~

2mi(ψ^∗∇ψ−(∇ψ^∗)ψ) ψ(~r,t) =|ψ(~r,t)|

| {z }

A(~r,t)

e^iS(~r,t)

~j = ~

2mi Ae^−iS ∇Ae^iS+A∇e^iS

−((∇A) e^−iS+A ∇e^−iS Ae^iS

= ~

mA²~rS= ~

m|ψ|²∇S

1.3 Messung und Unschärferelation

h~ri= ˆ

d³r ψ^∗(~r,t)~rψ(~r,t) h~pi= ~

i ˆ

d³r ψ^∗(~r,t)∇ψ(~r,t) h~pi^∗=−~

i ˆ

d³r ψ(~r,t)∇ψ^∗(~r,t) h~pi − h~pi^∗= ~

i ˆ

d³r (ψ^∗∇ψ−ψ∇ψ^∗)

= ~ i

ˆ

d³r∇(ψ^∗ψ)

De Brogliesche Materiewellen Messung und Unschärferelation

wenn|ψ|² →0am Rand = 0

beliebiger OperatorO, der eine Observable darstelltˆ

⇒D OˆE

ist reel damit das erfüllt ist, muss gelten, dass

ˆ

d³r ψ^∗Oψˆ = ˆ

d³r Oψˆ

∗

ψ Oˆ ist hermitesch, selbstadjungiert

Oϕˆ n=onϕ

ϕ_n Eigenfunktionen vonOˆ o_n Eigenwerte

ˆ

ϕ^∗_nOϕˆ nd³r=on

ˆ

ϕ^∗_nϕnd³r ˆ

ϕ_n Oϕˆ _n∗

d³r=o^∗_n ˆ

ϕ^∗_nϕ_nd³r selbstandjungiert⇒on=o^∗_n

Eigenwerte von selbstadjungierten Operatoren sind reell ˆ

d³r ϕ^∗_mOϕˆ n=on

ˆ

d³r ϕ^∗_mϕn

ˆ

d³r ϕ^∗_nOϕˆ m =om

ˆ

d³r ϕ^∗_nϕm

ˆ ⇓ d³r

Oϕˆ n

∗

ϕm

⇒ ˆ

d³r ϕ^∗_mϕn= 0

O = (o_n−o_m) ˆ

d³r ϕ^∗_mϕ_n unterschiedliche Eigenfunktionen sind orthogonal zueinander

Eigenfunktionen von selbstadjungierten Operatoren können immer nur als orthonormal an- genommen werden

ˆ

ϕ^∗_nϕ_md³r=δ_n,m

De Brogliesche Materiewellen Messung und Unschärferelation

Es gilt (Vollständigkeit)

X

n

ϕ^∗_n(~r)ϕ ~r⁰

=δ ~r−~r⁰ ψ(~r) =X

n

a_nϕ_n(~r)

jede Funktion kann nach einem Satz vollständiger Eigenfunktionen entwickelt werden

DOˆE

=X

n

a^∗_na_m ˆ

d³r ϕ^∗_nOϕˆ _m

=X

n

a^∗_namom

ˆ

d³r ϕ^∗_nϕm

| {z }

δn,m

=X

n

|a_n|²o_n

ˆ

d³r ϕ^∗_m(~r)ψ(~r) =X

n

a_n ˆ

ϕ^∗_m(~r)ϕ_n(~r) dr

| {z }

δn,m

=am

ψ(~r) = ˆ

d³r⁰δ ~r−~r⁰ ψ ~r⁰

= ˆ

d³r⁰ X

n

ϕ^∗_n ~r⁰

ϕ_n(~r)ψ ~r⁰

=X

n

anϕn

29.4.

ψ(x) = ˆ

dp f(p) e^ipx

Betrachte Abweichungen einer ObservablenO von seinem ErwartungswertD OˆE

∆ ˆO= ˆO− hOi D

∆ ˆOE

= 0

Die Varianz, welche die mittlere (quadratische) Abweichung einer Messgröße ist (Oˆ = ˆO^†)

De Brogliesche Materiewellen Messung und Unschärferelation

D

∆ ˆO E

= ˆ

d³x ψ^∗(x)

∆ ˆO 2

ψ(x)

= ˆ

d³x

∆ ˆOψ^∗(x)∗

∆ ˆOψ(x)

= ˆ

d³x

∆ ˆOψ(x)

2

| {z }

≥0

WennOˆ eine Observable ist, die im Zustandψ(x) exakt bestimmt gemessen werden kann, so muss gelten

∆ ˆO2

= 0

∆ ˆOψ(x)

2

= 0

∆ ˆOψ(x) = 0

⇒Oψˆ (x) =D OˆE

ψ(x)

DamitOˆ scharf gemessen werden kann, muss der Zustandψ(x)eine Eigenfunktion vonOˆ sein!

Betrachte zwei OperatorenOˆ undPˆ mit gemeinsamen Eigenfunktionen Oψˆ _n(x) =o_nψ_n

P ψˆ _n(x) =p_nψ_n Bsp.Oˆ = ˆx und Pˆ = ˆx²

dann gilt

OˆP ψˆ _n(x) = ˆOp_nψ_n(x)

=pnOψˆ n(x)

=pnonψn(x)

=o_np_nψ_n(x)

=o_nP ψˆ _n(x)

= ˆPOψˆ n(x) Die OperatorenPˆ undOˆ vertauschen also

OˆPˆ−PˆOˆ = hO,ˆPˆ

i

= 0

Wenn Oˆ und Pˆ gemeinsame Eigenfunktionen haben, so können sie auch gleichzeitig scharf gemessen werden!

De Brogliesche Materiewellen Messung und Unschärferelation

1.3.1 Dirac-Notation

ˆ

d³~r ψ^∗ϕ(~r) =hψ|ϕi

bra hψ|abstrakte Funktion ket |ϕi abstrakte Funktional Skalarprodukt ~a,~b

~a^∗·~b=X

i

a^∗_ib_i Eigenschaften

~a^∗· λ~b

=λ~a^∗·~b λ∈C

~a^∗·~b=

~b^∗·~a∗

~a^∗·

~b+~c

=~a^∗·~b+~a^∗·~c

~a^∗·~a≥0 außerdem muss aus~a^∗·~a= 0 direkt~a=~0folgen

hψ|λϕi=λhψ|ϕi hψ|ϕi^∗ =hϕ|ψi

hψ|ϕ₁+ϕ₂i=hψ|ϕ₁i+hψ|ϕ₂i

Wellenfunktionen bilden einen Funktionenraum undhψ|ϕibildet ein Skalarprodukt auf diesem Raum

⇒Wellenfunktionen bilden einen Hilbertraum

DOˆE

= ˆ

d³~r ψ^∗(~r) ˆOψ(~r) =D ψ

Oψˆ E ψ

O ψ⁰

= ˆ

d³~r ψ^∗(~r) ˆOψ⁰(~r) = D

ψ Oψˆ ⁰

E

ˆ

d³~r ϕ^∗Oψˆ = ˆ

d³~r Oϕˆ

∗

ψ

De Brogliesche Materiewellen Messung und Unschärferelation

Oˆ ist selbstadjungiert, adjungierter Operator zu O:ˆ Oˆ^† ˆ

d³~r ϕ^∗Oψˆ = ˆ

d³~r Oˆ^†ϕ∗

ψ

⇒selbstadjungiert, wenn Oˆ = ˆO^† D

ϕ

Oψˆ E

=D Oˆ^†ϕ

ψE D

ϕ

Oψˆ E

= DOˆ^†ϕ

ψ

E

= D

ψ Oˆ^†ϕ

E∗

=

Oˆ^††

ψ

ϕ ∗

=

ϕ

Oˆ^††

ψ

⇒ Oˆ^††

= ˆO

OˆPˆ †

= ˆP^†Oˆ^†

D ϕ

OˆP ψˆ E

= DOˆ^†ϕ

P ψˆ E

=

* Oˆ^†Pˆ^†

| {z } (^OˆPˆ)^†

ϕ

ψ +

(~r·~p)^†=~p^†·~r^†=~p·~r

=~r·~p+ [~p,~r]

ψ(~r) =X

i

anϕn(~r) ˆ

ϕ^∗_nϕ_md³r=δ_nm

|ψi=X

n

a_n|ϕ_ni=X

n

a_n|ni hψ|=X

a_nhn|

De Brogliesche Materiewellen Messung und Unschärferelation

D ψ

Oˆ

ψE

=X

n,m

a^∗_nam

D n

Oˆ

mE D

ψ

Oˆ ψE

= ˆ

d³r ψ^∗(~r) ˆOψ(~r)

hn|mi=δn,m

|ψi=X

n

an|ni hm|ψi=X

n

a_nhm|ni

=a_m

6.5.

hψ|ϕi= ˆ

d³r ψ^∗(~r)ϕ(~r)

Oˆ =λ Multiplikation mit einer komplexen Konstante

DOˆ^†ψ ϕE

=D ψ

Oϕˆ E

= ˆ

d³r ψ^∗(~r)λϕ(~r)

= ˆ

d³r (λ^∗ψ(~r))^∗ϕ(~r)

⇒Oˆ^†=λ^∗

Aˆ= i ˆB

⇒Aˆ^†= ˆB^†(i)^∗

=−i ˆB^†

De Brogliesche Materiewellen Messung und Unschärferelation

|ψi=X

n

an|ni Oˆ|ni=on|ni D

ψ Oˆ

ψ

E

=X

n

|a_n|²on

X

n

|a_n|² = 1 hn|mi=δ_n,m hm|ψi=X

i

a_nhm|ni=a_m

1 =X

n

hψ|ni hn|ψi

=hψ|I|ψi I =X

n

|ni hn|=Einheitsoperator

Rˆ_lm=|li hm|

Rˆ_lm|ϕi=|li hm|ϕi Rˆlmϕ(~r) =

ˆ

d³r⁰Φ^∗_m ~r⁰ ϕ(~r)

·Φl

2 Matritzendarstellung der Quantenmechanik

2.1 Stationäre Schrödingergleichung

Hˆ|ψi=E|ψi

betrachte einen beliebigen Satz vollständiger Funktionen{|ni}

|ψi=X

n

a_n|ni Hˆ X

n

a_n|ni=EX

n

a_n|ni X

n

anHˆ|ni=EX

n

an|ni X

n

D m

Hˆ

n

E

an=Eam

H_mn=D m

Hˆ nE (~a)_n=a_n

(H~a)_m=Eam

H~a=E~a

D m

OˆPˆ ψE

=X

l

D m

OˆPˆ lE

a_l

=X

ln

D m

Oˆ

n

E

| {z }

Omn

D n

Pˆ

l

E

| {z }

P_nl

al

= (OP|~a)_m

Matritzendarstellung der Quantenmechanik Heisenbergsche Unschärferelation

O_lm =D l

Oˆ

mE O^†

lm =D l

Oˆ^†mE

=D Olˆ

mE

=D m

Olˆ E∗

=D m

Oˆ lE∗

=O_ml^∗

O^†= O^T∗

2.2 Heisenbergsche Unschärferelation

wennh O,ˆ Pˆi

= 0 ⇒ haben gemeinsame Eigenfunktionen Oˆ|li=o_l|li PˆOˆ|li=olPˆ|li

= ˆOPˆ|li

⇒Pˆ|lisind Eigenfunktionen von Oˆ mit dem gleichen Eigenwert o_l Pˆ|li ∼ |li

können simultan gemessen werden was passiert, wenn

hO,ˆ Pˆ i

= i ˆR6= 0

Rˆ = 1 i

OˆPˆ−PˆOˆ betrachte selbstadjungierte Operatoren

Oˆ^†= ˆO Pˆ^†= ˆP

Rˆ^†=−1 i

PˆOˆ−OˆPˆ

= ˆR Abweichungen vom Mittelwert

Matritzendarstellung der Quantenmechanik Heisenbergsche Unschärferelation

Oˆ ⇒∆ ˆO = ˆO−D OˆE DOˆE

=D ψ

Oˆ ψE

∆ ˆO 2

;

∆ ˆP 2

?

h

∆ ˆO,∆ ˆPi

=h Oˆ−D

OˆE ,Pˆ−D

PˆEi

= i ˆR Schwarzsche Ungleichung

|αi;|βi hα|αi ≥0;hβ|βi ≥0 (nicht notwendigerweise normiert)

hα|αi hβ|βi ≥ |hα|βi|²

|γi=|αi+λ|βi

⇒ hγ|γi ≥0 (hα|+λ^∗hβ|) (|αi+λ|βi)≥0 für beliebigesλ∈C, d.h. auch für

λ=−hβ|αi hβ|βi wennhβ|βi>0

hα|αi −hα|βi hβ|βi

| {z }

λ^∗

hβ|αi −hβ|αi hβ|βi

| {z }

λ

hα|βi+hβ|αi hα|βi hβ|βi²

| {z }

λ^∗λ

≥0

hα|αi −|hα|βi|² hβ|βi ≥0

hα|αi hβ|βi ⇒ ≥ |hα|βi|²

Matritzendarstellung der Quantenmechanik Heisenbergsche Unschärferelation

|αi= ∆ ˆO|ψi

|βi= ∆ ˆP|ψi

hα|αi=

ψ

∆ ˆO2

ψ hβ|βi=

ψ

∆ ˆP2

ψ hα|βi=

D ψ

∆ ˆO∆ ˆP ψ

E

∆ ˆO2

∆ ˆP2

≥ D

∆ ˆO∆ ˆPE

2

∆ ˆO∆ ˆP = 1 2

∆ ˆO∆ ˆP −∆ ˆP∆ ˆO + 1

2

∆ ˆO∆ ˆP + ∆ ˆP∆ ˆO

= 1 2i ˆR+ 1

2

∆ ˆO∆ ˆP + ∆ ˆP∆ ˆO

D

∆ ˆO∆ ˆPE

2

=

1 2i ˆR+1

2

∆ ˆO∆ ˆP+ ∆ ˆP∆ ˆO

2

= 1 2iD

RˆE +1

2 D

∆ ˆO∆ ˆP+ ∆ ˆP∆ ˆOE

2

= 1 4

DRˆ E2

+1 4

D

∆ ˆO∆ ˆP+ ∆ ˆP∆ ˆO E2

≥ 1 4

DRˆ E2

∆ ˆO2

∆ ˆP2

≥ 1 4

DhO,ˆPˆiE

2

[ˆp_αrˆ_β] = ~ iδ_α,β

D (∆ˆpα)²

E D (∆ˆrβ)²

E

≥ ~² 4 δα,β

8.5.

Matritzendarstellung der Quantenmechanik Impulsdarstellung

2.3 Impulsdarstellung

ψ(~r)→ |ψi=X

n

an|ni= ˆ

d³p ap|~pi

= ˆ

d³r a_r|~ri ar=ha|ψi

ψ(~r) =h~r|ψi ψ(~p) =h~p|ψi

|ψi= ˆ

d³p hp|ψi |pi

= ˆ

d³p |pi hp|ψi I =

ˆ

d³p |pi hp|

Operator D

~r

~ˆr ψE

=~rh~r|ψi D

~ r

~ˆ p ψE

= ˆ

d³p⁰

~r ~p⁰D

~ p⁰

~ˆ p ψE

= ˆ

d³p⁰

~r ~p⁰

~ p⁰

~ p⁰

ψ

~r|~p⁰

~p⁰ = 1

√. . .e^i~p0·~~r~p⁰

= ~ i

∂

∂~r

√1

. . .e^i~p0·~~r

= ~ i∇_~r

~r ~p⁰ D

~ r

~ˆ p ψE

= ~ i∇_~r

ˆ d³p⁰

r

~p⁰ ~p⁰ ψ

= ~

i∇_rhr|ψi

Matritzendarstellung der Quantenmechanik Impulsdarstellung

D

~ p

~ˆ p ψE

=~ph~p|ψi D

~ p

~ˆr ψ

E

= ˆ

d³r⁰ p

~r⁰D

~r⁰

~ˆr ψ

E

= ˆ

d³r⁰ p

~r⁰

| {z }

√1 2π~e^−i~

p·~r0

~

~r⁰

~ r⁰

ψ

= i~∇_~r ˆ

d³r⁰

~ p

~r⁰ ~r⁰ ψ

= i~∇_~rh~p|ψi

Hˆ = pˆ²

2m−V (~r) Ortsdarstellung

Hˆ =−~²∇²

2m +V (~r) Impulsdarstellung

Hˆ = pˆ²

2m +V (i~∇_p)

3 Der harmonische Oszillator

V(x) = k 2x² klassisch ω=

rk m H=−~² 2m

d² dx² +k

2x² stat. SG. Hψ=Eψ

−~² 2m

d²ψ(x) dx² + k

2x²ψ(x) =Eψ(x)

[k] = Energie L¨ange² [~ω] = Energie

mω²

~ω = mω

~ ξ=

rmω

~ x(dimensionslos) ε= E

~ω (dimensionslos) d²ψ(ξ)

dξ² + ε−ξ²

ψ(ξ) = 0 fürξ max (ε,1)

d²ψ(ξ)

dξ² =ξ²ψ(ξ) d

dξ dψ

dξ 2

= 2dψ

dξξ²ψ=ξ²dψ² dξ² d

dξ

dψ dξ

2

−ξ²ψ²

!

= 2ξψ²

| {z }

→0fürξ→∞

Der harmonische Oszillator

dψ dξ

2

−ξ²ψ² =C dψ

dξ =±p

C+ξ²ψ² ψ(ξ→ ∞) = 0

dψ(ξ → ∞)

dξ = 0

⇒C = 0 ˆ dψ

ψ =± ˆ

ξdξ ln ψ

ψ0

=±1 2ξ² ψ(ξ)∼e^−12ξ2 ψ(ξmax (ε,1))∼e^−12ξ2

„–“, da ansonstenψ im Unendlichen nicht verschwinden würde Ansatz

ψ(ξ) =h(ξ) e^−12ξ2

h⁰⁰(ξ)−2ξh⁰(ξ) + (ε−1)h(ξ) = 0 Potenzreihenanzatz

h(ξ) =

∞

X

n=0

anξⁿ

ξh⁰(ξ) =

∞

X

n=0

a_nnξⁿ

h⁰⁰(ξ) =

∞

X

n=2

a_nn(n−1)ξⁿ⁻²

=X

n=0

an+2(n+ 2) (n+ 1)ξⁿ X

n

bnξⁿ= 0 bn= 0

b_n=a_n+2(n+ 2) (n+ 1)−2a_nn+ (ε−1)a_n

Der harmonische Oszillator

a_n+2(n+ 2) (n+ 1) + (ε−2n−1)a_n= 0

a_n+2 = 2n+ 1−e (n+ 2) (n+ 1)a_n

großes n→a_n+2' 2 na_n

e^ξ2 =

∞

X

n=0

1 n!ξ²ⁿ

ε= 2n+ 1 ε= 2E

~ω E =~ω

n+1

2

13.5.

e^ξ2 =

∞

X

n=0

1 n!ξ^2m

= X

ngerade

1 (ⁿ/2)!ξⁿ

a_n= 1 (ⁿ/2)!

1 2^n/2 a_n+2 = 1

(ⁿ/2)!ⁿ⁺²₂ = e na_n nur dann normierbare Lösungen, wenn

ε= 2n+ 1 E =~ω(2n+ 1)

Abhängig davon, obn0 gerade oder ungerade, muss man auch noch an= 0 bzw.an= 0 setzen h(ξ) = (−1)ⁿh(ξ)

an+2= 2n+ 1−e (n+ 2) (n+ 1)an

= 2 (n−n₀) (n+ 2) (n+ 1)a_n

Der harmonische Oszillator Weitere Herleitung

Hermitpolynome

Hn0(ξ) = e

ξ2 n0

ξ− d

dξ n0

e⁻

ξ2 n0

ˆ

dξ H_n(ξ)H_m(ξ) e^−ξ2 =√

π2ⁿn!δ_n,m ψn(x) =CnHn

rmω

~ x

e^−mω2~x2 C_n= 2^−n/2

√ n!

mω

~π ¹/4

3.1 Weitere Herleitung

ˆ a=

rmω 2~

ˆ x+ i

mωpˆ

= 1

√ 2

ξ+ d

dξ

ˆ a^†=

rmω 2~

ˆ x− i

mωpˆ

= 1

√ 2

ξ− d

dξ

h ˆ a,ˆa^†

i

= mω 2~

ˆ x+ i

mωp,ˆˆx− i mωpˆ

= mω 2

i

mω[ˆp,ˆx]− i mω[ˆx,ˆp]

= i

~[ˆp,~x] = 1

ˆ x=

r

~ 2mω

ˆ a+ ˆa^†

ˆ

p= r

~ 2mω

mω i

ˆ a−ˆa^†

Hˆ = pˆ²

2m +mω² 2 xˆ²

=−~mω 2

ˆ a−ˆa^†

+mω² 2

~ 2mω

ˆ a+ ˆa^†

= ~ω 4









ˆ a+ ˆa^†

2

− ˆ a−aˆ^†

2

| {z }

2ˆaˆa^†+2ˆa^†ˆa









Hˆ =~ω

ˆ a^†aˆ+1

2

Der harmonische Oszillator Weitere Herleitung

Nˆ = ˆa^†aˆ Nˆ|ni=n|ni hN ,ˆˆ ai

= ˆa^†aˆˆa−ˆaˆa^†aˆ=−ˆa hN ,ˆˆ a^†

i

=−ˆa^†

Nˆˆa|ni= ˆaNˆ|ni+h N ,ˆˆ ai

| {z }

−ˆa

|ni

= (n−1) ˆa|ni Nˆaˆ^†|ni= ˆa^†Nˆ|ni+h

N ,ˆˆ a^†i

|ni

= (n+ 1) ˆa^†|ni

c|n−1i= ˆa|ni

Vernichtungsoperator (Absteigeoperator) c⁰|n+ 1i= ˆa^†|ni

Erzeugungsoperator (Aufsteigeoperator)

n=D n

Nˆ nE

=D n

ˆa^†aˆ

nE

=|c|²hn−1|n−1i

|c|² =n

ˆ

a|ni=√

n|n−1i ˆ

a^†|ni=√

n+ 1|n+ 1i nach unten beschränktes Spektrum vonE_n → ngeradzahlig

ˆ

a|0i= 0 xˆ

ˆ0 0

= 0

=

ξ

ξ+ d dξ

0

⇒

ξ+ d dξ

hξ|0i= 0

Der harmonische Oszillator Weitere Herleitung

15.5.

ˆ

a|ni=√

n|n−1i ˆ

a^†|ni=√

n+ 1|n+ 1i Das Spektrum ist nur dann nach unten beschränkt, wennn∈N0

⇒Gesamtzustand

ˆ

a|0i= 0 hx|ˆa|0i= 0

ξ+ d

dξ

hξ|0i=

ξ+ d dξ

ψ0(ξ) = 0

−ξψ₀ = dψ dξ

ψˆ0(ξ⁰)

ψ0(ξ=0)

dψ₀ ψ₀ =

ξ⁰

ˆ

0

ξdξ

ln

ψ₀(ξ⁰) ψ0(0)

=−1 2ξ⁰²

ψ0∼e^−12ξ2

⇒angeregte Zustände

|1i= 1

√ 1ˆa^†|0i

|2i= 1

√

2ˆa^†|1i 1

√ 2·1

ˆ a^†

2

|0i

|ni= 1

√ n!

ˆ a^†n

|0i

ψn(ξ) =hξ|ni= 1

√ n!

D ξ

ˆ a^†

n 0

E

= 1

√n!

ξ− d

dξ n

e^−ξ

2 2

Der harmonische Oszillator Weitere Herleitung

H_n(ξ) = e^ξ

2 2

ξ− d

dξ n

e^−ξ

2 2

| {z }

∼ψ_n(ξ)

ψ_n(ξ)∼H_n(ξ) e^−ξ

2 2

hn|xˆ|mi= ˆ

d³r ψ_n^∗(x)xψ_m(x) ˆ

a|mi=√

m|m−1i hn|aˆ|mi=√

mhn|m−1i=√

mδn,m−1

D n

aˆ^†

mE

=√

m+ 1hn|m+ 1i=√

m+ 1δ_n,m+1

n xˆ²

m

=X

e

hn|xˆ|ei he|xˆ|mi

4 Eindimensionale Probleme

Stufenpotential

V (x) =

(0 x <0 V0 x >0 x <0

−~² 2m

d²ψ dx² =Eψ

ψ(x) =Ae^ikx−Be^−ikx k=

√ 2mE

~

j = ~ 2mi

ψ^∗dψ

dx −ψdψ^∗ dx

j_inc = ~

2mi

A^∗e^−ikxA(ik) e^ikx−Ae^ikxA^∗(−ik) e^−ikx

= ~k m |A|² jref =−~k

m |B|² Reflexionskoeffizient

R=

j_ref j_inc

=

B A

2

x >0

−~² 2m

d²ψ

dx² = (E−V₀)ψ ψ=C⁰e^ik0x+^XXB⁰e^−ikXXX^0x k⁰ =

p2m(E−V0)

~

Eindimensionale Probleme

fürE > V₀

wennE < V₀

ψ(x) =Ce^−kx+^HDeH^kxH k=

p2m(V0−E)

~

jtrans= ~k⁰ m

C⁰

2

Transmissionskoeffizient

T =

jtrans

jinc

= k⁰ k

C⁰ A Stromerhaltung

∂j

∂x = 0 j(x→ ∞)−j(x→ −∞) = 0

Eindimensionale Probleme

j_trans=j_inc+j_ref

|j_trans|=|j_inc| − |j_ref| T = 1−R Bestimmung von ^C0/A, ^B/A

ψ 0⁻

=ψ 0⁺ ψ⁰ 0⁻

=ψ⁰ 0⁺ Wellenfunktion und Ableitung sollen stetig sein

A+B =C⁰ k(A−B) =k⁰C⁰

A−B = k⁰ kC⁰ 2A=

1 +k⁰

k

C⁰

C⁰

A = 2 1 +^k_k⁰

C⁰ = 2A 1 +^k_k⁰ A 1− 2

1 +^k_k⁰

!

=−B

B

A = 1−^k_k⁰ 1 +^k_k⁰

T = 4^k_k⁰ 1 +^k_k⁰2

k⁰ k

=

rE−V₀ E

2

T = 4

q 1−^V_E⁰

1 + q

1−^V_E⁰ 2

Eindimensionale Probleme

jtrans= ~k⁰ m

C⁰

2

E < V₀

A+B =C ik(A−B) =−kC

C

A = 2 1 +^iκ_k B

A = 1−^iκ_k 1 +^iκ_k B

A = z^∗ z

ψ(x <0) =A

e^ikx−e^−i(kx+2Φ) Φ = arctanκ

k 20.5.

V (x) =







0 x <−a V0 −a≤x≤a 0 x > a E > V₀

x <−a −a≤x≤a x > a Ae^ikx+B^−ikx Ce^ik0x+D^−ik0x Fe^ikx+G^−ikx

k=

√ 2mE

~ k⁰ =

p2m(E−V₀)

~ T = |j_trans|

|j_inc| = |F|²

|A|² R= |B|²

|A|²

Eindimensionale Probleme

ψ −a−0⁺

=ψ −a+ 0⁺ ψ⁰ −a−0⁺

=ψ⁰ −a+ 0⁺ setzen A= 1 (legitim für T,R)

e^−ika+Be^ika=Ce^−ik0a+De^ik0a k

e^−ika−Be^ika

=k⁰

Ce^−ik0a−De^ik0a Ce^ik0a+De^−ik0a=Fe^ika

k⁰

Ce^ik0a−De^−ik0a

=kFe^ika

Ce^ik0a−De^−ik0a= k k⁰Fe^ika Ce^ik0a= F

2

1 + k k⁰

e^ika De^−ik0a= F

2

1− k k⁰

e^ika

e^−ika+Be^ika= F 2e^ika

1 + k

k⁰

e^−2ik0a+

1−k⁰ k

e^2ik0a

e^−ika−Be^ika= k⁰ k

F 2e^ika

1 + k

k⁰

e^−2ik0a−

1−k⁰ k

e^2ik0a

e^−ika+Be^−ika=Fe^ikacos 2k⁰a

−iFe^ikasin 2k⁰a e^−ika−Be^−ika=Fe^ikacos 2k⁰a

−iFe^ikasin 2k⁰a

e^−ika=F

e^ikacos 2k⁰a

−i1 2

k k⁰ + k⁰

k

e^ikasin 2k⁰a

F = e^−2ika

cos (2k⁰a)−₂^ik2_kk^+k0⁰² sin (2k⁰a) 2B = ik⁰²−k²

kk⁰ Fsin 2k⁰a

|B|²+|F|²= 1 R+T = 1

Eindimensionale Probleme

1 T = 1

|F|² = cos² 2k⁰a +1

4

k²+k⁰² kk⁰

2

sin² 2k⁰a

= 1 +1 4

k²+k⁰² kk⁰

2

− 2kk⁰

kk⁰ 2!

sin² 2k⁰a

= 1 +1 4

k²−k⁰² kk⁰

2

sin² 2k⁰a

~²k² 2m =E

~k⁰²

2m =E−V₀

T = 1

1 +¹_4E(E−V^V02

0)sin²(2k⁰a) E < V0

k⁰ = ip

2m(V₀−E)

k ≡iκ

F = e^−2ika

sinh (2κa)−₂^ik2_kκ^−κ2 sinh (2κa)

T = 1

1 +¹_4E(V^V02

0−E)sinh²(2κa)

≈ 16E(V0−E)

V₀² e^−(2κa)2

22.5.

P ψˆ (x) =ψ(−x) Paritätsoperator,Pˆ ist selbstadjungiert

hP ,ˆ Hˆ i

= 0 Eigenwerte

P =±1

5 Drehimpuls und Spin

27.5.

5.1 Teilchen auf einer Kreisbahn

Schrödingergleichung in Zylinderkoordinaten (r=R,z= 0)

−~²

2m∆ψ(r) =Eψ(r)

1 r∂r(r∂r)− 1

r²∂_Φ² +

∂_z²

− ~²

2mR²∂_Φ²ψ(Φ) =Eψ(Φ) Lösung

ψ_n(Φ) = 1

√2πe^inΦ En= ~²n²

2mR² Eindeutigkeit der Wellenfunktion

ψ_n(Φ) =ψ_n(Φ = 2π) e^inΦ= e^in(Φ+2π)

⇒n∈Z Alternative

Lagrangefunktion (klassisch) für die Bewegung auf einem Kreis

~r=



 cos Φ sin Φ

0



 L

Φ,Φ˙

= 1

2m~r˙²−V (Φ)

= mR²

2 Φ˙²−V (Φ)

Drehimpuls und Spin Drehimpulsoperator

kanonischer Impuls

pΦ = ∂L

∂Φ =mR²Φ˙ Hamiltonfunktion

H(Φ,p_Φ) =p_ΦΦ˙ −L Φ,Φ˙

= mR²

2 Φ˙²+V (Φ)

= p²_Φ

2mR² +V (Φ) Quantisierungsregels

x→x p→ ~

i∂x

Φ→Φ pΦ → ~

i∂Φ

[Φ,p_Φ] = i~ Hamiltonoperator

Hˆ =− ~²∂_Φ²

2mR² +V (Φ)

5.2 Drehimpulsoperator

klassisch:L~ =~r×~p quantenmechanisch:

~L= ~r×~p−p~×~r

2 = ~

2i





y∂z−z∂y−∂yz+∂zy z∂_x−x∂_z−∂_zx+∂_xz x∂_y−y∂_x−∂_xy+∂_yx





=~r× ~

i∇

=~r×~p

Drehimpuls und Spin Drehimpulsoperator

Drehimpulsinvarianz & Rotationssymmetrie

Analog zu klassischen Systemen (⇒Noether-Theorem) können wir aus der Invarianz eines phy- sikalischen Systems unter bestimmten Transformationen (Symmetrie) auf eine Erhaltungsgröße schließen:

Symmetrie⇒Erhaltungsgröße Betrachte eine infinitesimale Rotation

~r→~r+δ~r=~r+~ω×~r Wellenfunktion

ψ(~r)→ψ(~r+δ~r) =ψ(~r) +δ~r· ∇ψ(~r) +O ω²

=ψ(~r) + (~ω×~r)· ∇ψ(~r)

=ψ(~r) + (~r× ∇)·~ωψ(~r) infinitesimaler Rotationsoperator

R_~ω = 1 +~ω(~r× ∇) = 1 + iL~ ·~ω

~ Für endlicheω:

R_~ω= eⁱ

L·~~ω

~

T_~α= e^−~i~p·~α

Ein System / Hamiltonoperator ist invariant unter infinitesimalen Drehungen, wenn gilt:

Hψˆ (~r) =Eψ(~r) H ψˆ (~r+δ~r)

| {z }

Rˆ~ω(~r)

=Eψ(~r+δ~r)

Es macht fürHˆ also keinen Unterschied, ob es auf ψ(~r) oderψ(~r+δ~r) wirkt Wir können aber auch schreiben

Hψˆ (~r) =Eψ(~r) ⇔HˆRˆ_~ωψ(~r) =ERˆ_ωψ(~r) Rˆ_~ωHψˆ (~r) =ERˆ_~ω(~r) ⇔Rˆ_~ωHˆ = ˆHRˆ_~ω

Drehimpuls und Spin Drehimpulsoperator

⇒h H,ˆ Rˆ_~ωi

= 0

⇒h H,ˆ Lˆi

= 0 Damit gilt, dass, wennH rotationsinvariant ist:

1. Lˆ eine Erhaltungsgröße ist:

∂t

D~L E

t=

Dh~L,H iE

t= 0

⇒D

~LE

t= const.

2. Energie und Drehimpuls gleichzeitig scharf gemessen werden können

Kommutatoralgebra

Einzelne Komponenten:

L_j =ε_jklx_kp_l L~ =





x2p3−x3p2

x3p1−x1p3

x₁p₂−x₂p₂



 Mit[xj,pk] = i~δjk folgt:

[Lx,Ly] =ε1abε2cd[xapb,xcpc]

| {z }

xa[p_b,x_cp_d]

| {z }

δbci~pd

+[x_a,x_cp_d]

| {z }

δadi~xc

pb

= i~ε_1abε_2cd(δ_adx_cp_b−δ_bcx_ap_d)

= i~ε_1abε_2ca

| {z } ε_ab1ε_a2c

| {z }

δb2δc1−

δbcδ12

x_cp_b−i~ε_1abε_2bd

| {z } ε_b1aε_bd2

| {z }

δ1dδa2−

^δ12δad x_ap_d

= i~(x1p2−x2p1) = i~Lz

Analog:

[Ly,Lz] = i~Lx

[L_z,L_x] = i~L_y Zusammengefasst finden wir die „Drehimpulsalgebra“