Theoretische Physik I 4. Übung

Institut für Theoretische Physik Rochus Klesse

Universität zu Köln Christopher Max

Theoretische Physik I 4. Übung

Wintersemester 18/19

13 Arbeit im konservativen Kraftfeld (10)

Wieviel Arbeit kostet es, einen Körper unter einer konservativen Kraft vonA nachB zu bewegen? Hängt diese Arbeit davon ab, welchen Weg man dazu wählt? Oder davon, wie schnell der Körper längs dieses Weges bewegt wird? Gibt es einen einfachen Weg diese Arbeit zu bestimmen? Die Bearbeitung dieser Aufgabe gibt Ihnen Antworten.

Ein Massenpunkt der Masse m unterliegt der konservativen Kraft F~(~r) mit Potenzial U(~r). Mittels einer zusätzlichen, zeitabhängigen, externen Kraft F~^ex(t) wird der Mas- senpunkt für t < 0 auf Position A gehalten, während 0 < t < T von A nach B längs eines Wegs c bewegt und dort für t > T ruhend gehalten. Der Weg csei parametrisiert durch die Abbildug ~γ : [0, T] → R³, t 7→ ~γ(t) mit ~γ(0) = ~r_A (= Ortsvektor von A),

~γ(T) = ~r_B (= Ortsvektor von B). Die Parametrisierung sei so gewählt, dass Anfangs- und Endgeschwindigkeit jeweils verschwinden, d.h.~γ(0) = ˙˙ ~γ(T) =~0.

a) Zeigen Sie, dass eine externe KraftF~^ex(t) gegeben durch

F~^ex(t) =







−F~(~r_A) :t <0

−F~(~γ(t)) +m~γ(t)¨ : 0≤t≤T

−F~(~r_B) :T < T

den Massenpunkt aus der RuhepositionAexakt längs des Wegscin die Ruheposition B bringt.

Lösung: Die GesamtkraftF~^ges(~r, ~t) =F~(~r) +F~^ex(t)auf den Massenpunkt verschwin- det offenbar für t < 0 bei ~rA und für t > T bei ~rB. Nach Newton darf also der Massenpunkt für t < 0 bei A und für t > T bei B ruhen. Für t ∈ [0, T] erhal- ten wir mit Gesamtkraft F~^ges(~r, ~t) = F~(~r) +F~^ex(t) = F~(~r)−F~(~γ(t)) +m~¨γ(t) die Bewegungsgleichung

m~r(t) =¨ F~^ges(~r(t), t) = F~(~r(t))−F~(~γ(t)) +m~γ(t)¨ .

Offenbar ist~r(t) :=~γ(t)eine spezielle Lösung dieser Gleichung mit~r(0) =~r_A,~r(T) =

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~r_B, und~r(0) = ˙˙ ~r(T) =~0. Damit ist gezeigt, dass

~ r(t) =







~

r_A :t <0

~γ(t) : 0≤t ≤T

~

r_B :t > T

eine Bahn des Massenpunkts unter der Gesamtkraft F~ +F~^ex ist.

b) Die unter a) angegebene externe Kraft verrichtet die Arbeit W^ex=

Z T 0

hF~^ex(t),~γ(t)i˙ dt .

Zeigen Sie, dass W^ex =U(~rB)−U(~rA).

W^ex = Z T

0

hgradU(~γ(t)),~γ(t)i˙ dt + m Z T

0

h~¨γ(t),~γ(t)i˙ dt

= Z T

0

d

dtU(~γ(t))dt + m 2

Z T 0

d

dt|~γ˙(t)|²dt

= U(~γ(T))−U(~γ(0)) + m

2(|~γ(T˙ )|²− |~γ(0)|˙ ²)

= U(~r_B)−U(~r_A).

c) Beantworten Sie alle anfangs aufgeführten Fragen.

b), nein, nein, ja: b)

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14 Eindimensionale Bewegung (10)

15 Förderband (10)

Gegeben sei ein System bestehend aus einem Reserviour von Masseteilchen, die auf ein unendlich langes Förderband fallen. Der Massestrom vom Reservoir auf das Förderband sei zeitlich konstant und es wirke eine äus-

sere Kraft auf das Förderband, s.d. die Geschwindigkeit~v des Förderbandes kon- stant ist. Bestimmen Sie diese Kraft unter der Annahme, dass sich das Förderband entlang der x-Richtung bewege und der Massestrom senkrecht auf das Förderband fällt.

Lösung:

Zu einem Zeitpunkt t lautet der Implus des Förderbandes, mit aufliegender Masse

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m(t), ~p(t) = m(t)~v(t). ~v ist zeitlich kon- stant. Die Änderung des Impluses ist da- mit gegeben durch~p(t) = ˙˙ m(t)~v.m(t) =˙ I

ist die zeitliche Änderung der Masse auf dem Förderband. Aus der Gleichung F~_ex = ˙p~ folgt damit

F~_ex =I~v.

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