Theoretische Physik I 3. Übung

Institut für Theoretische Physik Rochus Klesse

Universität zu Köln Christopher Max

Theoretische Physik I 3. Übung

Wintersemester 18/19

Abgabe der Aufgaben 9,10 und 11 bis Mittwoch, den 31.10.2018, 11:00 Uhr in den entsprechenden Briefkästen vorm Eingang des Instituts für Theoretische Physik.

9 Hamsterrad auf der Waage (3+7)

Fritz der Hamster (Masse m _F ) bekommt ein neues Hamsterrad. Das Rad mit Masse m _R und Radius R stehe auf einer Waage.

a) Das neue Rad funktioniert anfangs einwandfrei. Bei Benutzung befindet sich Fritz annähernd ortsfest am untersten Punkt des Rades. Was zeigt die Waage an, wenn Fritz in seinem neuen Hamsterrad läuft?

Lösung:

M R ~ ¨ _ges = F ~ _ext = F ~ _G + F ~ _W

F ~ _G = −(m _R + m _F )g~ e _z = −M g~ e _z

F ~ W ist die Kontaktkraft der Waage, W die gesuchte Komponente, die die Waage anzeigt.

W := 1

g F _W ^z = 1

g (M R ¨ ^z _ges − F _G ^z ) Der Hamster bleibt annähernd ortsfest:

~ ¨

R _ges = 0 ⇒ F ~ _W = − F ~ _G W = 1

g F _W ^z = − 1

g F _G ^z = M

b) Nach einiger Zeit ist das Hamsterrad festgerostet und dreht sich nicht mehr. Fritz

benutzt es in seinem Enthusiasmus trotzdem weiter. Folglich läuft er mit konstanter

Winkelgeschwindigkeit ω im Rad. Was zeigt die Waage nun an?

Lösung:

Der Schwerpunkt des Hamsters bewegt sich nun:

R ~ _F = R



 0 sin(ωt)

− cos(ωt)



 ⇒ R ~ ¨ _ges = m _F M

~ ¨

R _F = m _F M Rω ²



 0

− sin(ωt) cos(ωt)





damit folgt

W = 1

g (M R ¨ _ges ^z − F _G ^z )

= 1

g (M m _F

M Rω ² cos(ωt) + M g)

= m _F ω ² R

g cos(ωt) + M

10 (Dreh-)Impulserhaltung (7+3)

In der Vorlesung haben Sie bereits die Impulserhaltung und Drehimpulserhaltung kennen gelernt. Aufgrund der großen Bedeutung dieser beiden Erhaltungssätze sollen Sie in dieser Aufgabe diese beiden Sätze im Detail für ein N -Teilchensystem beweisen.

a) Zeigen Sie, dass der Gesamtimpuls und der Gesamtdrehimpuls in einem abgeschlos- senen N -Teilchensystem, dessen Kräfte F ~ _ij (~ r _i ; ~ r _j ) das dritte Newtonsche Axiom er- füllen, erhalten sind.

Lösung:

Gesamtimpuls: P ~ = P N

i=1 m i ~ r ˙ i .

Zeitliche Änderung des Gesamtimpules:

~ ˙ P =

N

X

i=1

m _i ~ r ¨ _i

=

N

X

i=1

m _i F ~ _i (~ r ₁ , . . . , ~ r _n ) =

N

X

i=1 N

X

j=1,j6=i

F ~ _ij (~ r _i , ~ r _j )

= 1 2

N

X

i=1 N

X

j=1,j6=i

F ~ ij (~ r i , ~ r j ) + F ~ ji (~ r j , ~ r i )

| {z }

=0 (3. New. Axiom)

=0

In der dritten Gleichheit wird benutzt, dass die Summen P N i=1

P N

j=1,j6=i F ~ _ij (~ r _i , ~ r _j ) und P N

j=1

P N

i=1,i6=j F ~ _ji (~ r _j , ~ r _i ) gleich sind. Dies gilt offensichtlich, da nur die Namen der Summationsindizes vertauscht sind. Desweiteren gilt P N

j=1

P N

i=1,i6=j F ~ _ji (~ r _j , ~ r _i ) = P N

i=1

P N

j=1,j6=i F ~ _ji (~ r _j , ~ r _i ).

Gesamtdrehimpuls: L ~ = P n

i=1 m i ~ r i × ~ r ˙ i . Zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpules:

~ ˙ L =

N

X

i=1

m _i ~ r ˙ _i o × ~ r ˙ _i + ~ r _i × ~ r ¨ _i

=

N

X

i=1

m _i ~ r _i × ~ r ¨ _i =

N

X

i=1 N

X

j=1,j6=i

~

r _i × F ~ _ij (~ r _i ; ~ r _j )

= 1 2

N

X

i=1 N

X

j=1,j6=i

~

r _i × F ~ _ij (~ r _i ; ~ r _j ) + ~ r _j × F ~ _ji (~ r _j ; ~ r _i )

= 1 2

N

X

i=1 N

X

j=1,j6=i

~

r i × F ~ ij (~ r i ; ~ r j ) − ~ r j × F ~ ij (~ r i ; ~ r j )

= 1 2

N

X

i=1 N

X

j=1,j6=i

(~ r _i − ~ r _j ) × F ~ _ij (~ r _i ; ~ r _j ) = 0

Die Umformungen der Summen sind analog zum Gesamtimpuls. Das letzte Gleich- heitszeichen gilt, da die Kraft F ~ _ij parallel zum Vektor ~ r _i − ~ r _j ist.

b) Was passiert, wenn die Kräfte auch von den Geschwindigkeiten abhängen, d.h. F ~ ij (~ r i , ~ r ˙ i ; ~ r j , ~ r ˙ j ), wobei das dritte Newtonsche Axiom weiterhin erfüllt ist?

Lösung:

Da das 3. Newtonsche Axiom immer noch erfüllt ist, stimmt die Rechnung aus Teil a) auch für Kräfte, die auch von der Geschwindigkeiten abhängen können.

11 Konservative Vektorfelder (1+6+5)

Im Folgenden sei α ∈ R , ~a ∈ R ³ und n ∈ N .

a) Was ist ein konservatives Vektorfeld und welche Eigenschaften besitzt es?

Lösung:

Ein Vektorfeld ist konservativ genau dann, wenn ein Potential existiert, s.d. dessen Gradient gleich diesem Vektorfeld ist.

b) Berechnen Sie für folgende Potentiale das entsprechende Vektorfeld:

(i) U(~ r) = α(x ² + z ² ) (ii) U(~ r) = _|~ ^α _r|

(iii) U(~ r) = α ln |~ r|

(iv) U(~ r) = α|~ r|

(v) U(~ r) = |~ r| ⁿ

(vi) U(~ r) = cos(x) + cos(y) + cos(z) Lösung:

(i) F ~ (~ r) = −2α



 x 0 z





(ii) F ~ (~ r) = _{|~ r|} ^α

~ e r

(iii) F ~ (~ r) = − _|~ ^α _r| ~ e _r (iv) F ~ (~ r) = −α~ e _r

(v) F ~ (~ r) = −n|~ r| ⁿ⁻² ~ r (vi) F ~ (~ r) =



 sin(x) sin(y) sin(z)





c) Geben Sie für folgende Vektorfelder ein Potential an, falls es sich um ein konservatives Feld handelt. Zeigen Sie andernfalls, dass das Vektorfeld nicht konservativ ist.

(i) F ~ (~ r) = _{|~ r|} ^α

~ e _r

(ii) F ~ (~ r) = ~a

(iii) F ~ (~ r) = (~a · ~ r)~ r

(iv) F ~ (~ r) = − exp(−|~ r| ² )~ r (v) F ~ (~ r) =



 sin(x) sin(y) sin(z)





Lösung:

(i) U(~ r) = _|~ ^α _r|

(ii) U(~ r) = −~a · ~ r

(iii) nicht konservativ, da ∂ _i F _j = r _j a _i 6= r _i a _j = ∂ _j F _i (iv) U(~ r) = − ¹ ₂ exp(−|~ r| ² )

(v) U(~ r) = cos(x) + cos(y) + cos(z)