Elementare Geometrie Vorlesung 7
Markus Rost
29.4.2019
Die Euler-Gerade V
Wir wollen nun geometrisch zeigen, daß die 3 Punkte Schwerpunkt S (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden) Umkreismittelpunkt U (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) H¨ ohenschnittpunkt H
auf einer Geraden e liegen (genannt die Eulersche Gerade).
Dabei gilt ∣ HS ∣ = 2 ∣ SU ∣ :
Die Euler-Gerade VI
Der folgende Beweis geht indirekt vor.
Man geht aus von den bekannten Punkten S (Schwerpunkt) und U (Umkreismittelpunkt) und konstruiert den Punkt H aus S und U wie vorgegeben:
Also man definiert einen (zun¨ achst neuen) Punkt H, etwa durch U H = 3 ⋅ U S
Danach zeigt man, daß die 3 Geraden durch diesen Punkt H und die Punkte A, B, C die H¨ ohen h a , h b bzw. h c sind.
Es folgt, daß unser Punkt H auf allen H¨ ohen liegt und deshalb der
H¨ ohenschnittpunkt ist.
Die Euler-Gerade VII
Es sei also
h = AH einer dieser Geraden.
Die H¨ ohe h a ist die Gerade durch A parallel zur Mittelsenkrechten m a = U A ′
Wenn wir also wissen, daß
h ∥ m a (1)
folgt
h = h a
Die Euler-Gerade VIII
Zum Beweis von (1) verwenden wir den 3. Strahlensatz mit Zentrum S:
Es gilt
∣ SH ∣
∣ SU ∣
= 2 =
∣ SA ∣
∣ SA ′ ∣
Die erste Gleichung gilt nach Konstruktion von H, die zweite Gleichung ist das bekannte Verh¨ altnis am Schwerpunkt.
Es folgt (3. Strahlensatz)
U A ′ ∥ HA also (1).
Diese Seite ist auch als Vorlage zu einer Formulierung des 3. Strahlensatzes geeignet.
Die Euler-Gerade IX
Der Feuerbachkreis—Einleitung I
Der Feuerbachkreis oder Neun-Punkte-Kreis von einem Dreieck ABC ist der Kreis der folgende 9 Punkte enth¨ alt:
1
die Seitenmitten A ′ , B ′ , C ′ , also die Mittelpunkte der Seiten BC, CA, AB
2
die Mittelpunkte der sogennanten “oberen H¨ ohenabschnitte”
AH, BH, CH
3
die Fußpunkte der H¨ ohen (Lotfußpunkte)
F A , F B , F C
Der Feuerbachkreis—Einleitung II
Hierzu ist einiges zu zeigen. Zun¨ achst einige Notationen:
Definition (Notation)
Zu einem Dreieck ∆ = ABC benutze ich die Notationen:
Umkreis:
K = K ( ∆ ) = K ( ABC ) (Mittelpunkt U ) Feuerbachkreis:
F = F (∆) = F (ABC) (Mittelpunkt N )
Der Feuerbachkreis—Einleitung III
1
und
2kann man so zusammenfassen:
Satz
Auf dem Feuerbachkreis liegen die 6 Mittelpunkte der 6 Seiten des vollst¨ andigen Vierecks ABCH .
Ein “vollst¨ andiges Viereck” ist ein Viereck ABCD wie gew¨ ohnlich, aber man betrachtet nicht nur die 4 Seiten (AB, BC, CD, DA) sondern auch noch die beiden Diagonalen AC, BD als “Seiten”.
Dadurch werden Vierecke ¨ ubersichtlicher: Zu 4 verschiedenen Punkten A i gibt es eben
( 4 2 ) = 4!
2!2! = 6
Geraden A i A j (i ≠ j). (Genaueres dazu sp¨ ater.)
Der Feuerbachkreis—Einleitung IV
3
bedeutet:
Satz Es gilt
K ( A ′ B ′ C ′ ) = K ( F A F B F C ) (Beweis kommt sp¨ ater.)
Weil auf dieser Seite noch Platz ist , , eine Randnotiz: F¨ ur die Lotfußpunkte gilt die Formel
F
A= BC − AH B + C − A − H
wenn man die Punkte A usw. als komplexe Zahlen auffaßt (A = x + iy statt
A = (x, y)).
Der Feuerbachkreis—Einleitung V
Manche Autoren definieren (nach
3) den Feuerbachkreis als den Umkreis des Dreiecks der Lotfußpunkte :
F = K ( F A F B F C )
Ich finde es praktischer, den Feuerbachkreis zu definieren (nach
1) als den Umkreis des Mittendreiecks 1 :
F = K(A ′ B ′ C ′ )
—ist auch weniger unheimlich. . .
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