Elementare Geometrie Vorlesung 14

(1)

Elementare Geometrie Vorlesung 14

Markus Rost

23.5.2019

(2)

Winkelhalbierende A-I

Satz

Eine Winkelhalbierende zerlegt die gegen¨ uberliegende Seite im Verh¨ altnis der anliegenden Dreiecksseiten.

b

1

∶ c

1

= b ∶ c

(3)

Winkelhalbierende A-II

Beweis (Kurzfassung): Man betrachte zur Winkelhalbierenden die Parallele durch einen weiteren Punkt des Dreiecks und benutze dann einen Strahlensatz vom dritten Punkt des Dreiecks aus.

Beweis (ausf¨ uhrlich, vgl. Skizze): Man betrachte zur Winkelhalbierenden w

_a

die Parallele g durch C. Es sei

D = g ∩ AB

der Schnittpunkt von g mit der Seitengeraden AB.

Die mit bzw. δ bezeichneten Winkel sind jeweils gleich

(Stufenwinkel an Parallelen bzw. Scheitelwinkel).

(4)

Winkelhalbierende A-III

Der erste Strahlensatz liefert

c

1

∶ b

1

= c ∶ b

^′

Weil wir die Winkelhalbierende betrachten, ist = δ = α

2 Das Dreieck DCA ist also gleichschenklig. Daher gilt b

^′

= b

Insgesamt erhalten wir

c

1

∶ b

1

= c ∶ b

Q.E.D

(5)

Winkelhalbierende A-IV

DC = g ∥ AP, = δ = α

2

(6)

Erinnerung

Fl¨ ache eines Dreiecks = 1/2 ⋅ Grundseite ⋅ H¨ ohe.

2F = ah

(7)

Satz des Menelaos I

Definition

Drei Punkte in der Ebene heißen kollinear wenn sie auf einer Geraden liegen.

Gegeben sei ein Dreieck ABC. Eine Gerade g hat normalerweise mit jeder Seitengerade einen Schnittpunkt.

Man w¨ ahle nun umgekehrt auf jeder Seitengeraden einen Punkt:

X ∈ BC

Y ∈ CA

Z ∈ AB

Wann sind diese Punkte kollinear?

(8)

Satz des Menelaos II

Bemerkung: Nicht alle drei Punkte X, Y , Z k¨ onnen auf den

Dreiecksseiten (BC etc.) liegen. Mindestens einer liegt außerhalb

auf einer Seitengerade.

(9)

Satz des Menelaos III

Die Antwort liefert:

Satz (Satz des Menelaos)

Die drei Punkte X, Y , Z liegen genau dann auf einer Geraden,

wenn ∣BX∣

∣CX ∣ ⋅ ∣CY ∣

∣AY ∣ ⋅ ∣AZ ∣

∣BZ∣ = 1 (1)

Bemerkung

Eine andere Formulierung der Gleichung ist

∣XB∣ ⋅ ∣Y C∣ ⋅ ∣ZA∣ = ∣XC∣ ⋅ ∣Y A∣ ⋅ ∣ZB∣

(10)

Satz des Menelaos IV

Man betrachte den geschlossenen Streckenzug B, X, C, Y, A, Z, B

Hier beginnt man in einem Dreieckspunkt (hier: B ) und l¨ auft auf einer der beiden Dreiecksseitengeraden zu dem auf ihr gew¨ ahlten Punkt (hier: X ∈ BC). Dann l¨ auft man weiter (oder zur¨ uck) zum anderen Dreieckspunkt (hier: C).

Nun l¨ auft man mit der gleichen Methode weiter zum dritten Dreieckspunkt. Und nochmal weiter zum Ausgangspunkt.

Das alternierende Produkt (abwechselnde Multiplikation und Division) der einzelnen Strecken ist nun 1:

∣BX ∣ ⋅ ∣XC∣

⁻¹

⋅ ∣CY ∣ ⋅ ∣Y A∣

⁻¹

⋅ ∣AZ ∣ ⋅ ∣ZB∣

⁻¹

= 1

Man kann geschlossenen Streckenzug irgendwo beginnen und auch

in umgekehrter Richtung durchlaufen. Man erh¨ alt immer den

gleichen Ausdruck oder seinen Kehrwert.

(11)

Satz des Menelaos V

Skizze zum Beweis:

(12)

Satz des Menelaos VI

Wir gehen zun¨ achst davon aus, daß die drei Punkte X, Y , Z auf einer Geraden g liegen. Es handelt sich also um die Schnittpunkte von g mit den Dreiecksseiten(-geraden).

Zu zeigen ist nun die Produktrelation (1).

Wir f¨ allen die Lote von den Dreieckspunkten auf die Gerade g. Die L¨ angen der Lote seien:

h = ∣Ag∣, j = ∣Bg∣, k = ∣Cg∣

Alle drei Lote sind nat¨ urlich parallel.

(13)

Satz des Menelaos VII

Dreimalige Anwendung des 2. Strahlensatzes (jeweils mit Zentrum X, Y und Z) liefert

∣XB∣

∣XC∣ = j

k , ∣Y C∣

∣Y A∣ = k

h , ∣ZA∣

∣ZB∣ = h

j

Multiplikation der drei Gleichungen liefert die gesuchte Produktrelation (1).

Q.E.D. (f¨ ur eine Richtung)

(14)

Satz des Menelaos VIII

Nun nehmen wir an, daß f¨ ur X, Y , Z die Produktrelation (1) gilt.

Wir m¨ ussen zeigen, daß die drei Punkte auf einer Geraden g liegen.

Anders gesagt: Ist g die Gerade durch X und Y , so muß der Schnittpunkt

Z

^′

= g ∩ AB gerade unser Punkt Z sein.

Wir wissen bereits, daß die Produktrelation (1) f¨ ur die Punkte X,

Y , Z

^′

gilt. Denn diese liegen ja auf der Geraden g.

(15)

Satz des Menelaos IX

Wir haben also

∣BX∣

∣CX ∣ ⋅ ∣CY ∣

∣AY ∣ ⋅ ∣AZ

^′

∣

∣BZ

^′

∣ = 1 (schon bewiesen)

∣BX ∣

∣CX∣ ⋅ ∣CY ∣

∣AY ∣ ⋅ ∣AZ∣

∣BZ ∣ = 1 (Annahme) Daher gilt

∣AZ

^′

∣

∣BZ

^′

∣ = ∣AZ∣

∣BZ ∣ (2)

Die Punkte A, B, Z , Z

^′

liegen alle auf einer Geraden. Wir haben

somit eine eindimensionale Situation.

(16)

Satz des Menelaos X

Es gilt (vgl. Skizze)

∣AB∣ = ∣AZ

^′

∣ − ∣BZ

^′

∣, ∣AB∣ = ∣AZ ∣ − ∣BZ ∣ Division durch ∣BZ

^′

∣ bzw. ∣BZ ∣ ergibt zusammen mit (2):

∣AB∣

∣BZ

^′

∣ = ∣AZ

^′

∣

∣BZ

^′

∣ − 1 = ∣AZ∣

∣BZ ∣ − 1 = ∣AB∣

∣BZ ∣

Also ∣BZ

^′

∣ = ∣BZ∣

Es folgt nun auch wieder wegen (2)

∣AZ

^′

∣ = ∣AZ∣

und damit

Z

^′

= Z

Q.E.D. (oder?)

(17)

Satz des Menelaos XI

Nachsatz:

Die Relation

∣AB∣ = ∣AZ

^′

∣ − ∣BZ

^′

∣ gilt nur wenn B zwischen A und Z

^′

liegt.

Wenn Z

^′

zwischen A und B liegt (auf Dreiecksseite), rechnet man genauso, aber mit

∣AB∣ = ∣BZ

^′

∣ + ∣AZ

^′

∣

Wenn A zwischen B und Z

^′

liegt, rechnet man mit

∣AB∣ = ∣BZ

^′

∣ − ∣AZ

^′

∣

Allerdings liegt mindestens einer Punkte X, Y , Z

^′

außerhalb des

Dreiecks. Daher braucht man nur den ersten Fall betrachten.

(18)

Satz des Menelaos Va

(19)