Elementare Geometrie Vorlesung 10
Markus Rost
9.5.2019
Vollst¨ andige Vierecke I
Zun¨achst etwas Kombinatorik:
Wir betrachten eine Menge
M= {A, B, C, D} = {A1, A2, A3, A4} mit 4 Elementen (hier auf zwei Weisen bezeichnet).
Die MengeM hat 6 2-elementige Teilmengen {A1, A2}, {A3, A4} {A1, A3}, {A2, A4} {A1, A4}, {A3, A2}
Vollst¨ andige Vierecke II
Diese teilen sich auf in 3 komplement¨are Paare.
So ein komplement¨ares Paar, etwa
{A1, A2}, {A3, A4} ist also eine “Halbierung” der MengeM. Die Menge der Halbierungen vonM
H = { {{A1, A2},{A3, A4}}
{{A1, A3},{A2, A4}}
{{A1, A4},{A3, A2}} } hat also 3 Elemente.
Vollst¨ andige Vierecke III
Definition
Unter einem vollst¨andigen Viereck versteht man 4 PunkteA,B, C,D in der Ebene.
Dabei legt man keinen Wert auf die Reihenfolge der Punkte.
Es gibt die 6 Seiten (auch Diagonalen genannt)
AB, AC, AD, CD, BD, BC
die sich in 3 Diagonalenpaare (komplent¨are Seiten)
AB, CD AC, BD AD, BC
aufteilen.
Vollst¨ andige Vierecke IV
Ein schematisches und ein r¨aumliches Bild:
Gleich wird es interessanter:
Vollst¨ andige Vierecke IVa
Vollst¨ andige Vierecke IVb
Vollst¨ andige Vierecke V
Jedes Diagonalenpaar schneidet sich in einem Punkt. (Der Fall paralleler Diagonalen wie im ersten Bild wird ausgeschlossen.) Im Bild sind das die 3 Punkte
E=AB∩CD F =AC∩BD G=AD∩BC Die Menge
H = {E, F, G}
ist also die Menge der Diagonalenschnittpunkte.
Auf diese Weise entsteht aus vier PunktenABCDein Dreieck, das DreieckEF Gder Diagonalenschnittpunkte.
Vollst¨ andige Vierecke VI
Es handelt sich hier um eine geometrische Veranschaulichung der 3-elementigen MengeH der Halbierungen der4-elementigen Menge{A, B, C, D}.
Die Bezeichnung “vollst¨andiges Viereck” (“complete quadrangle”) ist eigentlich irref¨uhrend. Man meint dabei lediglich, daß man die 4 Seiten und 2 Diagonalen eines “normalen” Vierecks als
gleichbrechtigt ansieht. Diese 6 Geraden (oder) Strecken werden dann alle als Seiten (oder als Diagonalen) des vollst¨andiges Viereck bezeichnet.
Orthozentrische Vierecke I
Eine besondere Variante von vollst¨andigen Vierecken sind die orthozentrischen Vierecke:
Definition
Ein orthozentrisches Viereck ist ein vollst¨andiges Viereck ABCD dessen 3 Diagonalenpaare sich senkrecht schneiden:
AB⊥CD AC⊥BD AD⊥BC
Orthozentrische Vierecke II
Betrachten wir diese Orthogonalit¨ats-Bedingungen separat und in Bezug auf das UnterdreieckABC.
Offensichtlich gilt:
AB⊥CD Ô⇒ CD=hc
wobeihc wie ¨ublich die H¨ohengerade durchC im DreieckABC bezeichnet.
Genauso gilt
AC⊥BD Ô⇒ BD=hb AD⊥BC Ô⇒ AD=ha
Orthozentrische Vierecke III
Satz
Schneiden sich in einem vollst¨andigen Viereck ABCDzwei Diagonalenpaare senkrecht, so auch das dritte.
Es handelt sich dann also um ein orthozentrisches Viereck. Ferner gilt:
Satz
In einem orthozentrischen ViereckABCD ist jeder Punkt der H¨ohenschnittpunkt des Dreiecks der anderen drei Punkte:
A=H(BCD) B=H(ACD) C=H(ABD) D=H(ABC)
Orthozentrische Vierecke IV
Beweis (von beiden S¨atzen): Es seien in ABCD also 2 Diagonalenpaare orthogonal, etwa
AC⊥BD, AD⊥BC
Wie wir vorher gesehen haben, sindBDund AD H¨ohen im DreieckABC:
BD=hb, AD=ha
Daher liegtDauf den beiden H¨ohen hb undha. Somit ist D der H¨ohenschnittpunkt des Dreiecks ABC:
D=H(ABC)
Dann ist aberCD die dritte H¨oheha und steht senkrecht auf AB:
CD⊥AB
Orthozentrische Vierecke V
Dies zeigt den ersten Satz.
(Wenn man mit anderen Diagonalenpaaren beginnt, vertauscht man eben die Bezeichnungen.)
Den zweiten Satz haben wir so nebenbei bekommen.
(Wieder gilt: Wenn man etwaA=H(BCD)zeigen will, vertausche man die Bezeichnungen.)
Außerdem gilt:
Bemerkung
Die drei Diagonalen-SchnittpunkteE,F,Gsind die Lotfußpunkte in jedem der vier Teil-Dreiecke.
Orthozentrische Vierecke VI
Zusammenfassung:
Bemerkung
Der erste Satz ist ¨aquivalent zum Satz, daß sich die H¨ohen im Dreieck in einem Punkt schneiden.
Ferner gilt:
Korollar
Jedes DreieckABC bildet zusammen mit seinem
H¨ohenschnittpunktH ein orthozentrisches Viereck ABCH.
Jedes orthozentrisches Viereck ist von dieser FormABCH.
Orthozentrische Vierecke VII
Es folgen 3 Graphiken.
Die n¨achste Graphik illustriert nochmal ein vollst¨andiges Viereck ABCDmit den 3 Schnittpunkten F GH der drei Diagonalenpaare.
Das ViereckABCDist diesmal orthozentrisch. Es dient daher auch als Illustration des H¨ohenschnittpunktes, und zwar f¨ur alle 4 TeildreieckeABC,BCD,CDAund DAB.
Orthozentrische Vierecke VIII
Orthozentrische Vierecke IX
Die n¨achste Graphik zeigt ein vollst¨andiges Viereck mit den Punkten
A1, A2, A3, A4
Die Schnittpunkte der drei Diagonalenpaare sind F12,34, F13,24, F14,23
Außerdem sind die Seitenmitten der 6 Seiten eingezeichnet:
M12, M13, M14, M23, M24, M34
Weil das Viereck orthozentrisch ist, liegen diese 9 Punkte auf einem Kreis, dem gemeinsamen Feuerbachkreis der 4 Teildreiecke A1A2A3,A1A2A4,A1A3A4 und A2A3A4 (siehe ¨ubern¨achste Graphik).
