Elementare Geometrie Vorlesung 21
Markus Rost
27.6.2019
Scherungen B-I
Wir wiederholen Scherungen.
Scherungen sind ein n¨utzliches Hilfsmittel um die Gleichheit von Fl¨achen nachzuweisen.
Im einfachsten Fall hat man eine StreckeAB gegeben und einen PunktC, den man parallelzur StreckeAB verschiebt nach C′.
Scherungen B-II
Bei einer Scherung bleiben die Punkte aufAB fest. Ansonsten werden Strecken auf Strecken abgebildet:
AusAC wird AC′.
Scherungen B-III
Die PunkteA,P,B bleiben fest. Aus den Strecken von diesen Punkten nachC werden die Strecken nachC′.
Aus den DreieckenABC,AP C,P BC werden die fl¨achengleichen DreieckeABC′,AP C′ bzw. P BC′.
Scherungen B-IV
Mit einer Scherung kann man aus einem Dreieck ein fl¨achengleiches rechtwinkliges Dreieck herstellen:
Scherungen B-V
Oder aus einem Parallelogram ein fl¨achengleiches Rechteck: Aus ABCDwird ABC′D′.
Scherungen B-II
Wichtig ist:
Alle Punkte auf der Geraden ABbleiben fest. Dies ist die Fixpunktgerade. Es handelt sich um eine Scherung entlang AB.
Die Punkte mit dem gleichen Abstand zu AB wie C, das sind die Punkte auf der gestrichelten Gerade) werden um den gleichen Betrag wieC verschoben (und nat¨urlich in die gleiche Richtung ,):
∣DD′∣ = ∣CC′∣
Verbindungsstrecken auf Verbindungsstrecken abgebildet: Aus AC wirdAC′, ausBD wird BD′, ausCD wirdC′D′, etc.
Parallele Geraden bleiben parallel.
Scherungen C-0
Noch eine Scherung:
Die PunkteA,B,C sind fest.
PunktZ wird auf paralleler Geraden verschoben.
Scherungen C-I
Scherungen C-II
Pythagoras mit Scherungen I
Pythagoras mit Scherungen II
Scherung entlangP A. Punkt C wird nachB verschoben.
Pythagoras mit Scherungen III
Ausf¨uhrlich:
Pythagoras mit Scherungen IV
Jetzt kommt eine Drehung um90○:
Pythagoras mit Scherungen V
Und noch eine Scherung, jetzt entlangAQ. PunktC wird nachC′ (= Lotfußpunkt) verschoben.
Pythagoras mit Scherungen VI
Wir bekommen den Kathetensatz des Euklid: b2=c⋅q, a2=c⋅p.
Pythagoras mit Scherungen VII
Pythagoras folgt wie ¨ublich aus dem Kathetensatz:
c2=c⋅c=c⋅ (p+q) =cp+cq=a2+b2
