Elementare Geometrie Vorlesung 6

Elementare Geometrie Vorlesung 6

Markus Rost

25.4.2019

1

[28.4.2019: Korrektur auf S. 10:

durch

ersetzt (2x)]

Das Seitenmittendreieck B-0

A

= A

B

= B

C

= C

A

= A e B

= B e C

= C e

Das Seitenmittendreieck B-I

Bemerkung

F¨ ur die Punkte des Seitenmittendreiecks ∆

= A

B

C

des Dreiecks ∆ = ABC gelten die Formeln

A

= B + C

2 B = C

+ A

− B

B

= C + A

2 A = B

+ C

− A

C

= A + B

2 C = A

+ B

− C

Die Formeln links sind die bekannten Formeln f¨ ur die Seitenmittelpunkte des Dreiecks ABC.

Die Formeln rechts sind die bekannten Formeln f¨ ur die Punkte des

Parallelendreiecks des Dreiecks A

B

C

.

Das Seitenmittendreieck B-II

Die 3 Formeln links sind ¨ aquivalent zu den 3 Formeln rechts.

Man erh¨ alt die Formeln rechts aus den Formeln links durch Aufl¨ osen nach A, B, C.

Man erh¨ alt die Formeln links aus den Formeln rechts durch Aufl¨ osen nach A

, B

, C

.

Das Aufl¨ osen von mehreren Gleichungen (“Gleichungssystem”) ist normalerweise nicht so einfach. Eigentlich handelt es sich bei unseren Gleichungen um eine Inversion einer 3 × 3-Matrix.

Gl¨ ucklicherweise kennen wir die Aufl¨ osungen bereits: sie stehen ja da. Daher kann man die Formeln rechts mit Hilfe der Formeln links beweisen durch Einsetzen (“Probe machen”).

Und umgekehrt.

Das Seitenmittendreieck B-III

Allerdings kennen wir auch einen geometrischen Grund f¨ ur die Aquivalenz der Gleichungssysteme ¨

A

= B + C

2 B = C

+ A

− B

B

= C + A

2 ⇐⇒ A = B

+ C

− A

C

= A + B

2 C = A

+ B

− C

N¨ amlich, f¨ ur = ⇒ :

Das Parallelendreieck des Seitenmittendreicks ist das urspr¨ ungliche Dreieck (hier: ABC).

Und umgekehrt, f¨ ur ⇐ = :

Das Seitenmittendreick des Parallelendreiecks ist das urspr¨ ungliche

Dreieck (hier: A

B

C

).

Das Seitenmittendreieck B-IV

Wir hatten gesehen, daß alle drei Dreiecke den gleichen Schwerpunkt haben:

S = S

= S e = A + B + C 3

Jetzt wollen wir die Formeln etwas anders formulieren:

A

= B + C

2 = A + B + C − A

2 = 3S − A 2 = 3

2 S − 1 2 A

A e = B + C − A = A + B + C − 2A = 3S − 2A

Diese Rechnungen hatten wir schon!

Das Seitenmittendreieck B-V

Entsprechendes gilt f¨ ur die anderen Punkte, also ergibt sich:

A

= 3 2 S − 1

2 A A e = 3S − 2A B

= 3

2 S − 1

2 B B e = 3S − 2B C

= 3

2 S − 1

2 C C e = 3S − 2C Ich pers¨ onlich schreibe daf¨ ur einfach

∆

= 3 2 S − 1

2 ∆ ∆ = 3S e − 2∆

Das Seitenmittendreieck B-VI

Wir nehmen nun an, daß S = 0. Liegt das Dreieck etwa in der (x, y)-Ebene, so verschiebe man dazu das Dreieck so, daß der Schwerpunkt der Nullpunkt (0, 0) ist.

Dann werden die Formeln besonders ¨ ubersichtlich:

A

= − 1

2 A A e = −2A B

= − 1

2 B B e = −2B C

= − 1

2 C C e = −2C bzw.

∆

= − 1

2 ∆ ∆ = e −2∆

Das Seitenmittendreieck B-VII

Konkret heißt das f¨ ur den Fall S = (0, 0):

Man erh¨ alt das Seitenmittendreieck ∆

aus ∆ durch Halbieren der Koordinaten und einer Multiplikation mit −1.

Man erh¨ alt das Parallelendreieck ∆ e aus ∆ durch Verdoppelung der Koordinaten und einer Multiplikation mit −1.

A = (1, 2) = ⇒ A

= (−1/2, −1), A e = (−2, −4) Stauchung/Streckung + Punktspiegelung

(Punktspiegelung = Drehung um 180

)

[Dies wird klar an den Graphiken.]

Das Seitenmittendreieck B-VIII

Ubungsaufgabe: ¨

A e = 4A

− 3S B e = 4B

− 3S C e = 4C

− 3S Mit S = 0:

A e = 4A

B e = 4B

C e = 4C

Man erh¨ alt das Parallelendreieck aus dem Seitenmittendreieck

durch eine Streckung um den Faktor 4 vom gemeinsamen

Schwerpunkt S aus gesehen.

H¨ ohen und Mittelsenkrechten

Definition

Gegeben sei ein Dreieck ∆ = ABC . Bezeichnung f¨ ur die H¨ ohen: h

, h

, h

. Schnittpunkt der H¨ ohen:

H = h

∩ h

∩ h

Bezeichnung f¨ ur die Mittelsenkrechten: m

, m

, m

. Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

U = m

∩ m

∩ m

Der Umkreis I

Die Punkte A, B, C haben alle den gleichen Abstand r von U : r = |U A| = |U B| = |U C|

Der Kreis um U mit diesem Radius r heißt der Umkreis des Dreiecks ABC .

U nennt man entsprechend den Umkreismittelpunkt.

Der Umkreis II

H¨ ohen und Mittelsenkrechten im Seitenmittendreieck

Satz

Die Mittelsenkrechten in einem Dreieck ∆ sind die H¨ ohen im Seitenmittendreieck ∆

von ∆:

m

= h

m

= h

m

= h

Daher ist der Umkreismittelpunkt U von ∆ der Schnittpunkt H

der H¨ ohen des Seitenmittendreiecks ∆

:

U = H

[siehe Blatt 1, Aufgabe 3]

H¨ ohen und Mittelsenkrechten im Parallelendreieck I

Es wird sp¨ ater einfacher, wenn wir das Parallelendreieck betrachten.

Satz

Die H¨ ohen in einem Dreieck ∆ sind die Mittelsenkrechten im Parallelendreieck ∆ e von ∆:

h

= m e

h

= m e

h

= m e

Daher ist der Schnittpunkt H der H¨ ohen von ∆ der Umkreismittelpunkt des Parallelendreiecks ∆: e

H = U e

H¨ ohen und Mittelsenkrechten im Parallelendreieck II

F

= Lotfußpunkt

H¨ ohen und Mittelsenkrechten im Parallelendreieck III

Die Euler-Gerade I

Es gilt

H = U e Andererseits gilt wegen

A e = 3S − 2A B e = 3S − 2B C e = 3S − 2C die Formel

U e = 3S − 2U Damit ergibt sich

H = 3S − 2U

Die Euler-Gerade II

Nach Umstellung ergibt dies die Euler-Gleichung 3S = H + 2U

Satz

Die Punkte H, S, U eines beliebigen Dreiecks liegen auf einer Gerade, der sog. Eulerschen Gerade.

Dabei zerlegt S die Strecke HU im Verh¨ altnis 2 : 1:

|HS| = 2|SU |, S − H = 2(U − S)

Erinnerung: 3S = A + 2A

⇐⇒ S zerlegt die Seitenhalbierende

im Verh¨ altnis 2 : 1.

Die Euler-Gerade III

Die Euler-Gerade IV

Die Euler-Gerade. . .

Geometrischer Beweis zur Euler-Geraden?

Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises liegt ebenfalls auf der

Euler-Geraden.