Elementare Geometrie Vorlesung 11

(1)

Elementare Geometrie Vorlesung 11

Markus Rost

12.5.2019

¹

1

[12.5.2019 23:30: Korrektur der ersten beiden S¨ atze auf S. 7]

(2)

Kreis und Gerade I

Sekante, Tangente und Passante (#Schnittpunkte = 2, 1, 0):

Quelle Graphik: Wikipedia

(3)

Kreis und Gerade II

A, B zwei Punkte auf dem Kreis: Die Gerade AB heißt Sekante, die Strecke AB heißt Sehne (liegt innerhalb des Kreises).

Grenzfall (Limes) A → B : Die Sekante wird zur Tangente bei

A = B.

(4)

Kreis und Winkel - Einleitung

φ (phi) = Umfangswinkel (gegen¨ uber unterem Kreisbogen) µ (mu) = Mittelpunktswinkel (gegen¨ uber unterem Kreisbogen) τ (tau) = Sehnentangentenwinkel

Quelle Graphik: Wikipedia

(5)

Winkel (orientiert)

Einschub: Winkel-Notationen, jetzt mit Orientierung.

math. positiver Sinn = entgegengesetzter Uhrzeigersinn

φ = ∠BAC ψ = ∠CAB φ + ψ = 360

^○

(6)

Umfangswinkel I

Umfangswinkel (Peripheriewinkel) zu zwei Punkten A, B und einem dritten Punkt P bzw. Q auf einem Kreis.

φ = ∠AP B ψ = ∠BQA φ + ψ = 180

^○

(7)

Umfangswinkel II

Im ersten Fall liegen der Kreismittelpunkt M und der dritte Punkt (hier P) auf der gleichen Seite der Sehne.

Im zweiten Fall liegen der Kreismittelpunkt M und der dritte Punkt (hier Q) auf verschiedenen Seiten der Sehne.

Die Gleichung φ + ψ = 180

^○

wird erst sp¨ ater bewiesen (folgt aus Mittelpunktswinkelsatz/Umfangswinkelsatz).

Zur Beschreibung betrachtet man auch einen Kreisbogen.

Im ersten Fall: Man geht aus vom kurzen Kreisbogen. φ ist der gegen¨ uberliegende Umfangswinkel. Der Punkt P liegt gegen¨ uber (also nicht darauf).

ψ ist der Umfangswinkel zum l¨ angeren Kreisbogen.

(8)

Kreisbogen

φ ist der Umfangswinkel zum Kreisbogen c.

(9)

Kreissektor

Ein Kreisbogen definiert einen Kreissektor (Mittelpunktswinkel:

Winkel an M im Kreissektor):

(10)

Mittelpunktswinkel I

Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel zu einer Sehne AB und einem dritten Punkt P, der auf der gleichen Seite von AB liegt wie der Kreismittelpunkt M (kurzer Kreisbogen.)

φ = ∠AP B µ = ∠AM B µ = 2 ⋅ φ

(11)

Mittelpunktswinkel II

Mittelpunktswinkelsatz (Zentriwinkelsatz, Kreiswinkelsatz):

Satz

Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel:

∠AM B = 2∠AP B Beweis folgt gleich.

Alternativer Beweis: siehe externen Link.

(12)

Mittelpunktswinkel III

(13)

Mittelpunktswinkel IV

Die gleich-bezeichneten Winkel (mit α, β, bzw. γ ) sind als Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck gleich.

Winkelsumme im Dreieck ABC :

180

^○

= (β + γ ) + (γ + α) + (α + β) = 2(α + β) + 2γ

Winkelsumme im Dreieck AM B :

180

^○

= γ + µ

C

+ γ = µ

C

+ 2γ Daher

µ

C

= 2(α + β)

Q.E.D.

(14)

Umfangswinkelsatz I

Korollar

Der Umfangswinkel ∠AP B ist unabh¨ angig von der Wahl von P (solange P auf dem gleichen Kreisbogen liegt).

Satz

Gegen¨ uberliegende Umfangswinkel erg¨ anzen sich zu 180

^○

:

∠AP B + ∠BQA = 180

^○

Beweis:

(15)

Umfangswinkelsatz II

(16)

Umfangswinkelsatz III

Die gleich-bezeichneten Winkel (mit α, β, γ bzw. δ) sind als Umfangswinkel zum gleichen Kreisbogen gleich groß.

Winkelsumme im Dreieck ABC :

180

^○

= α + (β + δ) + γ

Man kann hier auch ein anderes Teildreieck verwenden, oder die Winkelsumme im Viereck ABCD:

360

^○

Elementare Geometrie Vorlesung 11

Elementare Geometrie Vorlesung 11

Markus Rost

12.5.2019

[12.5.2019 23:30: Korrektur der ersten beiden S¨ atze auf S. 7]

Kreis und Gerade I

Sekante, Tangente und Passante (#Schnittpunkte = 2, 1, 0):

Kreis und Gerade II

A, B zwei Punkte auf dem Kreis: Die Gerade AB heißt Sekante, die Strecke AB heißt Sehne (liegt innerhalb des Kreises).

Grenzfall (Limes) A → B : Die Sekante wird zur Tangente bei

A = B.

Kreis und Winkel - Einleitung

φ (phi) = Umfangswinkel (gegen¨ uber unterem Kreisbogen) µ (mu) = Mittelpunktswinkel (gegen¨ uber unterem Kreisbogen) τ (tau) = Sehnentangentenwinkel

Winkel (orientiert)

Einschub: Winkel-Notationen, jetzt mit Orientierung.

math. positiver Sinn = entgegengesetzter Uhrzeigersinn

φ = ∠BAC ψ = ∠CAB φ + ψ = 360

Umfangswinkel I

Umfangswinkel (Peripheriewinkel) zu zwei Punkten A, B und einem dritten Punkt P bzw. Q auf einem Kreis.

φ = ∠AP B ψ = ∠BQA φ + ψ = 180

Umfangswinkel II

Im ersten Fall liegen der Kreismittelpunkt M und der dritte Punkt (hier P) auf der gleichen Seite der Sehne.

Im zweiten Fall liegen der Kreismittelpunkt M und der dritte Punkt (hier Q) auf verschiedenen Seiten der Sehne.

Die Gleichung φ + ψ = 180

wird erst sp¨ ater bewiesen (folgt aus Mittelpunktswinkelsatz/Umfangswinkelsatz).

Zur Beschreibung betrachtet man auch einen Kreisbogen.

Im ersten Fall: Man geht aus vom kurzen Kreisbogen. φ ist der gegen¨ uberliegende Umfangswinkel. Der Punkt P liegt gegen¨ uber (also nicht darauf).

ψ ist der Umfangswinkel zum l¨ angeren Kreisbogen.

Kreisbogen

φ ist der Umfangswinkel zum Kreisbogen c.

Kreissektor

Ein Kreisbogen definiert einen Kreissektor (Mittelpunktswinkel:

Winkel an M im Kreissektor):

Mittelpunktswinkel I

Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel zu einer Sehne AB und einem dritten Punkt P, der auf der gleichen Seite von AB liegt wie der Kreismittelpunkt M (kurzer Kreisbogen.)

φ = ∠AP B µ = ∠AM B µ = 2 ⋅ φ

Mittelpunktswinkel II

Mittelpunktswinkelsatz (Zentriwinkelsatz, Kreiswinkelsatz):

Satz

Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel:

∠AM B = 2∠AP B Beweis folgt gleich.

Alternativer Beweis: siehe externen Link.

Mittelpunktswinkel III

Mittelpunktswinkel IV

Die gleich-bezeichneten Winkel (mit α, β, bzw. γ ) sind als Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck gleich.

Winkelsumme im Dreieck ABC :

180

= (β + γ ) + (γ + α) + (α + β) = 2(α + β) + 2γ

Winkelsumme im Dreieck AM B :

180

= γ + µ

+ γ = µ

+ 2γ Daher

µ

= 2(α + β)

Q.E.D.

Umfangswinkelsatz I

Korollar

Der Umfangswinkel ∠AP B ist unabh¨ angig von der Wahl von P (solange P auf dem gleichen Kreisbogen liegt).

Satz

Gegen¨ uberliegende Umfangswinkel erg¨ anzen sich zu 180

:

∠AP B + ∠BQA = 180

Beweis:

Umfangswinkelsatz II

Umfangswinkelsatz III

Die gleich-bezeichneten Winkel (mit α, β, γ bzw. δ) sind als Umfangswinkel zum gleichen Kreisbogen gleich groß.

Winkelsumme im Dreieck ABC :

180

= α + (β + δ) + γ

Man kann hier auch ein anderes Teildreieck verwenden, oder die Winkelsumme im Viereck ABCD:

360

= 2(α + β + γ + δ)

In jedem Fall erh¨ alt man die Behauptung ¨ uber die Winkelsumme gegen¨ uberliegender Umfangswinkel:

(β + δ) + (γ + α) = 180

oder

(α + δ) + (γ + β) = 180

Q.E.D.

Sehnentangentenwinkelsatz. . .

Sehnentangentenwinkelsatz: Am Donnerstag oder als