Elementare Geometrie Vorlesung 2
Markus Rost
8.4.2019 1
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[Korrigierte Fassung vom 14.4.2019]
Die H¨ ohe oder das Lot
Definition
Gegeben sei eine Gerade g und ein Punkt P .
Das Lot (oder die H¨ ohe) von P auf g ist die Gerade h die senkrecht auf g steht und durch P geht:
h ⊥ g (1)
P ∈ h (2)
Der Schnittpunkt L von g mit h heißt der Lotfußpunkt:
g ∩ h = {L}
F¨ ur einen Punkt P , der auf g liegt (P ∈ g), gilt L = P und die
H¨ ohengerade h ist die Senkrechte zu g im Punkt P .
Wir erlauben uns, zu schreiben (keine Mengenklammern):
g ∩ h = L statt g ∩ h = {L}
[Zeichnungen gestohlen von Wikipedia, andere Bezeichnungen sind
m¨ oglich]
Dreiecke I
Definition
Ein Dreieck ∆ = ABC besteht aus drei Punkten A, B, C, die nicht auf einer Geraden liegen.
Man betrachtet zu den Punkten A, B, C die anliegenden Winkel α, β, γ und die gegen¨ uberliegenden Seiten
a = BC
b = CA
c = AB
Dreiecke II
Dreiecke III
Der Begriff des Winkels wird sp¨ ater behandelt (Grad, Bogenmaß, Außenwinkel, Innenwinkel, . . . ).
Zum Thema geh¨ oren auch der Inkreis und die Exkreise.
Hier nur soviel:
Satz (Winkelsumme im Dreieck)
α + β + γ = 180 ◦ = π
Dreiecke IV
Man unterscheidet verschiedene Typen von Dreiecken:
1
Spitzwinklige Dreiecke (α, β, γ < 90 ◦ )
2
Rechtwinklige Dreiecke (ein rechter Winkel, z.B. α = 90 ◦ , β + γ = 90 ◦ )
3
Stumpfwinklige Dreiecke (ein Winkel > 90 ◦ )
4
Gleichschenklige Dreiecke (zwei gleich lange Seiten oder zwei gleiche Winkel )
5
Gleichseitige Dreiecke (a = b = c, α = β = γ = 60 ◦ )
6
? “Unregelm¨ aßige” oder “allgemeine” Dreiecke (alle Seiten verschieden, alle Winkel verschieden, kein rechter Winkel?)
7
Degenerierte Dreiecke (alle Punkte auf einer Geraden)
8
Sehr degenerierte Dreiecke (zwei Punkte gleich, etwa A = B)
9
