Inkreise im gleichschenkligen Dreieck
San-Gaku R¨atsel No. 1.2.7, Nagano Prefekur 24. August 2014
c b
A B
C
c
r3
r2 b
r k
D E
M
Abbildung 1: Skizze zur Aufgabe
Gegeben sei das gleichschenklige Dreieck A, B, C mit den Seitenl¨angen b = AC =BC und 2c=AB. Dem Dreick ist der Inkreis k mit Radius r einbeschri- ben. Der Inkreis ber¨uhrt die Dreieckseiten AC, BC in den Punkten D, E. Dem Dreieck D, E, C ist ebenfalls der Inkreis mit Radius r2 einbeschrieben (Abb. 1).
Ein Kreis mit Radiusr3 ber¨uhrt den Inkreis vonA, B, C undD, E, F. Bestimme das Verh¨altnis der Radien r2÷r3
1
Inkreise im gleichschenkligen Dreieck
L¨ osungsvorschlag
c r m
c b-c-a
b-c
A B
C
r
a r2
a
c
D E
M
F r3
K
L
G
c
a
Abbildung 2: Skizze zur L¨osung
Die Punkte- und Streckenbezeichner seien nach Abbildung 2 gew¨ahlt. Vom Punkt B sind die Tangentenabschnitte an den Inkreis k gleich lang:
c=BD =BE (1)
ebenso die Tangentenabschnitte vom PunktEand den Inkreis von DreieckDEC:
a=EL=EG (2)
und vom Punkt C an den Inkreis k:
b−c=CD =CE (3)
Alle in Zeichnung 2 erkennbaren rechtwinkligen Dreicke sind einander ¨ahnlich.
Wir k¨onnen folgende Verh¨altnisse aufstellen:
b−c a = b
c → a = (b−c)·c
b (4)
und 2
Inkreise im gleichschenkligen Dreieck
c r m
c b-c-a
b-c
A B
C
r
a r2
a
c
D E
M
F r3
K
L
G
c
a
Abbildung 3: Skizze zur L¨osung
b−c−a
r2 = b−c
r → r2 = (b−c−a)·r
b−c (5)
Wir erstezen a mit dem Ergebnis aus (4) und erhalten:
r2 = (b−c−(b−c)·c
b )·r
b−c =r− r·c
b (6)
Aus der ¨Ahnlichkeit der Dreiecke CF B und ELM folgt:
m r = c
b → m = r·c
b (7)
Wir addieren jetzt m+r2 und erhalten:
m+r2 = r·c
b +r−r·c
b =r (8)
Damit ist gezeigt, dass die Strecke M K genau dem Radiusr entspricht. Es muss demnachr2 = 2·r3 gelten.
3
