Das Pascalsche Dreieck Das Pascalsche Dreieck

Das Pascalsche Dreieck

Das Pascalsche Dreieck

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20

8 28 56

1 70 56 28 8 1

Koordinatensystem Koordinatensystem

und Rekursion und Rekursion

00 11 22 33

00 11

22 33

44

44

55

55 n

Bezeichnung für die Zelle Bezeichnung für die Zelle in Zeile

in Zeile nn und Spalte und Spalte kk: : c(n,k)

c(n,k)

k

cc(n,k)(n,k)

cc(n+1,k) = (n+1,k) = cc(n,k-1) + (n,k-1) +

cc(n,0) = 1 (n,0) = 1

cc(n,n) = 1 (n,n) = 1

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20

8 28 56

1 70 56 28 8

9 36 84

1 126 126 84 36

10 45 120

1 210 252 210 120 45 10 1 9 1

1

00 11 22 33

00 11

22 33

44

44

55

55

Koordinatensystem Koordinatensystem

Andere Bezeichnung:

( , ) als n c n k

k

  

 

Dann gilt an den Rändern:

n 0







  1 und n n







  1

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20

8 28 56

1 70 56 28 8 1

00 11 22 33

00 11

22 33

44

44

55

55

Koordinatensystem Koordinatensystem

Symmetrie

n k







  n

n  k









Rekursion n 1

k







  n

k  1







  n k









Der binomische Lehrsatz Der binomische Lehrsatz

a  b

 ^{n  an  }_ ⁿ₁^_ ^{an1b  }_ ⁿ₂^_ ^{an2b2  }_ ⁿ₃^_ ^{an3b3  ...}_{ n}ⁿ_1^_ ^{a1bn1  bn}

 n

k







 a^nkb^k

k0

n

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20

8 28 56

1 70 56 28 8 1

00 11 22 33

00 11

22 33

44

44

55

55 n

k

Beweis?

Beweis?

Koordinatensystem Koordinatensystem

( , ) !

! ( )!

( 1)( 2)...( 1)

1 2 3 ...

n n

c n k

k k n k

n n n n k

k

       

   

    

explizite Form explizite Form

1

Die Dreieckszahlen Die Dreieckszahlen

1 + 2 = 3

3 + 3 = 6

6 + 4 = 10

10 + 5 = 15

15 + 6 = 21

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20

8 28 56

1 70 56 28 8

9 36 84

1 126 126 84 36

10 45 120

1 210 252 210 120 45 10 1 9 1

1

Dreiecks-Zahlen Dreiecks-Zahlen

1

Die Tetraederzahlen Die Tetraederzahlen

1 + 3 = 4

4 + 6 = 10

10 + 10 = 20

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20

8 28 56

1 70 56 28 8 1

Tetraeder-Zahlen Tetraeder-Zahlen

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20

8 28 56

1 70 56 28 8

9 36 84

1 126 126 84 36

10 45 120

1 210 252 210 120 45 10 1 9 1

1

Hockey

Hockey SchlägerSchläger

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20

8 28 56

1 70 56 28 8 1

Zeilensummen Zeilensummen

11 22 44 88 1616 3232 6464

Beweis Beweis?? 00

11 22 33

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20

8 28 56

1 70 56 28 8

9 36 84

1 126 126 84 36

10 45 120

1 210 252 210 120 45 10 1 9 1

1

Potenzen von

Potenzen von ¹¹¹¹

1=111=11⁰⁰ 11=11 11=11¹¹

121=11 121=11²²

00 11 22

33 1331=111331=11³³

14641=11 14641=11⁴⁴

7 21 35

1 35 21 7 1

1 7 21 35 35 21 7 1 1 7 21 35 35 21 7 1

1 9 4 8 7 1 7 1 = 11 1 9 4 8 7 1 7 1 = 11⁷⁷

11 77

11

22

77

33

88

33

44

22

99 11

3 3 1

1 1331=111331=11³³

3 3 1

1

1 4 6 4 1

0 0

1331·11 1331 1331 14641

14641 = 11

14641 = 11³³ · 11 = 11 · 11 = 11⁴⁴

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20

8 28 56

1 70 56 28 8 1

Potenzen von

Potenzen von (1+x)_(1+x)

11 1+x1+x

1+2x+1x 1+2x+1x²²

00 11 22

33 1+3x+3x1+3x+3x²²+1x+1x³³

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20

8 28 56

1 70 56 28 8

9 36 84

1 126 126 84 36

10 45 120

1 210 252 210 120 45 10 1 9 1

1

Fibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlen

11 2

3 5

8 13

21

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20

8 28 56

1 70 56 28 8 1

Fibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlen

8 13 21

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20 8 28 56

1 70 56 28 8

9 36 84

1 126 126 84 36

10 45 120

1 210 252 210 120 45 10 1

9 1 1 00

11 22 33

00 11

22 33

44

44

55

55

nn

kk nn

kk

1 1 1

2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20 8 28 56

1 70 56 28 8

9 36 84

1 126 126 84 36

10 45 120

1 210 252 210 120 45 10 1 9 1

1 00

11

22 33

44 55 00

11 22

33 44 55

nn kk

n+kn+k kk n+kn+k

kk

(n+k)!

(n+k)!

n!k!n!k!

==

Neues Koordinatensystem Neues Koordinatensystem

an Position

an Position (n,k) = (n,k) =

an Position

an Position (n,k) = (n,k) =

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 6 15 20 15 6 1 1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1 2 1 1 1 1

nn

kk

00 11 22 33 44 55 66 77

00 11 22 33 44 55 66 77

1 1

1 1 2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20 8 28 56

1 70 56 28 8

9 36 84

1 126 126 84 36

10 45 120

1 210 252 210 120 45 10 1

9 1 1 00

11 22 33

00 11

22 33

44

44

55

55

Koordinatensystem Koordinatensystem

n+kn+k kk n+kn+k

kk

(n+k)!

(n+k)!

n!k!n!k!

==

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 1 5 15 35 70 126 210 330 495 1 6 21 56 126 252 462 792 1 7 28 84 210 462 924 1 8 36 120 330 792 1 9 45 165 495 1 10 55 220

nn kk

0 1 2 3 4 5 6 7 0

1 2 3 4 5 6 7 1

1 1 2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20 8 28 56

1 70 56 28 8

9 36 84

1 126 126 84 36

10 45 120

1 210 252 210 120 45 10 1 9 1

1 00

11

22 33

44 55 00

11 22

33 44 55

nn kk Neues KoordinatensystemNeues Koordinatensystem

an Position

an Position (n,k) = (n,k) =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 1 5 15 35 70 126 210 330 495 1 6 21 56 126 252 462 792 1 7 28 84 210 462 924 1 8 36 120 330 792 1 9 45 165 495 1 10 55 220

kk

0 1 2 3 4 5 6 7 0

1 2 3 4 5 6 7 1

1 1 2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20 8 28 56

1 70 56 28 8

9 36 84

1 126 126 84 36

10 45 120

1 210 252 210 120 45 10 1 9 1

1 00

11

22 33

44 55 00

11 22

33 44 55

nn kk

cc(n,k) = (n,k) = cc(n-1,k) + (n-1,k) + cc(n,k-1)(n,k-1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 1 5 15 35 70 126 210 330 495 1 6 21 56 126 252 462 792 1 7 28 84 210 462 924 1 8 36 120 330 792 1 9 45 165 495 1 10 55 220

nn kk

0 1 2 3 4 5 6 7 0

1 2 3 4 5 6 7 1

1 1 2 3 3

1 1

1 1 1 1 5

6 7 21 1 15

1 35

1 5 1

6 21 7 15 1

35 1 6 10 10 4 4

20 8 28 56

1 70 56 28 8

9 36 84

1 126 126 84 36

10 45 120

1 210 252 210 120 45 10 1 9 1

1 00

11

22 33

44 55 00

11 22

33 44 55

nn kk Hockey SchlHockey Schlägeräger

cc(n,k) = (n,k) = cc(n-1,k) + (n-1,k) + cc(n,k-1)(n,k-1)

cc(n,0) = 1 (n,0) = 1

cc(0,k) = 1 (0,k) = 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 4 10 20 35 56

1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 1 7 28

1 8 36 1 9 45

n 1 10

n

1 2 3 4 5 6 7

Das Das Manhattan Manhattan TaxiTaxi Problem Problem

n + k

n + k BlöckeBlöcke

Entfernungen in Manhattan Entfernungen in Manhattan

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 4 10 20 35 56

1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 1 7 28

1 8 36 1 9 45

n 1 10

n

1 2 3 4 5 6 7

n + k

n + k BlöckeBlöcke Wieviele Wege Wieviele Wege?? Insgesamt

Insgesamt n+k n+k BlöckeBlöcke^,,

wähle wähle ^kk

Das Das Manhattan Manhattan TaxiTaxi Problem Problem

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 4 10 20 35 56

1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 1 7 28

1 8 36 1 9 45 1 10

kk nn

0 1 2 3 4 5 6 7 0

1 2 3 4 5 6 7

n + k

n + k BlöckeBlöcke Wieviele Wege Wieviele Wege?? Insgesamt

Insgesamt n+k n+k BlöckeBlöcke^,,

wähle wähle ^kk

Das Das Manhattan Manhattan TaxiTaxi Problem Problem

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 4 10 20 35 56

1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 1 7 28

1 8 36 1 9 45

n 1 10

n

1 2 3 4 5 6 7

n + k

n + k BlöckeBlöcke Wieviele Wege Wieviele Wege?? Insgesamt

Insgesamt n+k n+k BlöckeBlöcke^,,

wähle wähle ^kk

Das Das Manhattan Manhattan TaxiTaxi Problem Problem

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 4 10 20 35 56

1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 1 7 28

1 8 36 1 9 45 1 10

nn kk

0 1 2 3 4 5 6 7 0

1 2 3 4 5 6

7 rr WegeWege zum zum

ZielZiel überüber

Das Das Manhattan Manhattan TaxiTaxi Problem Problem

1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 4 10 20 35 56

1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 1 7 28

1 8 36 1 9 45

k 1 10

k

1 2 3 4 5 6 7

Das Das Manhattan Manhattan TaxiTaxi Problem Problem

ss WegeWege zum zum ZielZiel

überüber

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 4 10 20 35 56

1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 1 7 28

1 8 36 1 9 45 1 10

nn kk

0 1 2 3 4 5 6 7 0

1 2 3 4 5 6

7 r+s r+s Wege zumWege zum ZielZiel

überüber uundnd

Das Das Manhattan Manhattan TaxiTaxi Problem Problem

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 1 5 15 35 70 126 210 330 495 1 6 21 56 126 252 462 792 1 7 28 84 210 462 924 1 8 36 120 330 792 1 9 45 165 495 1 10 55 220

cc(n,k) = (n,k) = cc(n-1,k) + (n-1,k) + cc(n,k-1)(n,k-1)

cc(n,0) = 1 (n,0) = 1

cc(0,k) = 1 (0,k) = 1

17161716

792 924