Elementare Geometrie Vorlesung 15

Elementare Geometrie Vorlesung 15

Markus Rost

27.5.2019 ¹

1

[30.5.2019 13:00: Korrektur des Satzes von Ceva S. 9]

Negative Potenzen I

Es sei a eine reelle Zahl.

Die n-te Potenz von a wird bekanntermaßen bezeichnet durch a ⁿ = a ⋅ a ⋅ a ⋯ a

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

n Faktoren

Dabei kann n = 0 sein. Man vereinbart a ⁰ = 1

Ist a ≠ 0, so kann der Exponent auch negativ sein. Man nimmt dann die entsprechende Potenz des Kehrwertes:

a ⁻ⁿ = 1 a ⁿ = ( 1

a )

n

( n ≥ 0 )

Negative Potenzen II

Der Kehrwert schreibt sich also als a ⁻¹ = 1

a

Weitere Beispiele a ⁻² = 1

a ² = 1 a ⋅ a = 1

a ⋅ 1 a = ( 1

a )

2

a ⁻³ = 1 a ³ =

1 a ⋅ a ⋅ a =

1 a ⋅

1 a ⋅

1 a = (

1 a )

3

Die bekannten Rechenregeln

a ^n+m = a ⁿ ⋅ a ^m , a ^nm = (a ⁿ ) ^m

gelten f¨ ur beliebige ganze Zahlen n und m (siehe auch externen

Link.)

Satz des Menelaos - Wiederholung

∣BX∣

∣ CX ∣

⋅

∣CY ∣

∣ AY ∣

⋅

∣AZ ∣

∣ BZ ∣

= 1

∣ BX ∣ ⋅ ∣ XC ∣ ⁻¹ ⋅ ∣ CY ∣ ⋅ ∣ Y A ∣ ⁻¹ ⋅ ∣ AZ ∣ ⋅ ∣ ZB ∣ ⁻¹ = 1

Satz des Menelaos XII

Nachtrag zum Satz des Menelaos:

Gegeben ein Dreieck ABC und eine Gerade g. Es gibt 2 Hauptf¨ alle:

Die Gerade g schneidet das Dreieck im Inneren. Dann liegen 2 der 3 Schnittpunkte mit den Seitengeraden im Inneren des Dreiecks, 1 Schnittpunkt liegt außerhalb. (siehe Graphik) Die Gerade g trifft das Dreieck nicht (eine Passante). Dann liegen alle 3 Schnittpunkte mit den Seitengeraden außerhalb des Dreiecks. (siehe Graphiken Va, Vb am Ende von

“Vorlesung 14”)

Sonderf¨ alle (werden hier ausgeschlossen): Die Gerade g trifft einen

Eckpunkt des Dreiecks oder die Gerade g ist parallel zu einer Seite

des Dreiecks.

Satz von Ceva I

Gegeben sei ein Dreieck ABC.

Ahnlich wie beim Satz von Menelaos betrachten wir auf jeder Seite ¨ einen Punkt:

X ∈ BC (gegen¨ uber A)

Y ∈ CA (gegen¨ uber B )

Z ∈ AB (gegen¨ uber C)

Diesmal sollen alle drei Punkte (oder nur einer) innerhalb des Dreiecks liegen.

Wann schneiden sich die drei Dreieckstransversalen AX, BY, CZ

in einem Punkt? Wann also gilt

AX ∩ BY ∩ CZ ≠ ∅

Satz von Ceva II

Falls die drei Dreieckstransversalen AX, BY , CZ sich in einem Punkt P schneiden, gilt:

X und Y innen Ô⇒ Z innen

Satz von Ceva IIa

X und Y außen Ô⇒ Z innerhalb

X außen und Z innen Ô⇒ Y außen

Satz von Ceva III

Satz (Satz von Ceva)

Die drei Dreieckstransversalen AX, BY , CZ schneiden sich in einem Punkt genau dann wenn

∣ BX ∣

∣CX ∣

⋅

∣ CY ∣

∣AY ∣

⋅

∣ AZ ∣

∣BZ∣ = 1 (1)

Dies ist die gleiche Bedingung wie beim Satz von Menelaos!

Allgemein hat man folgende Voraussetzungen:

Beim Satz des Menelaos liegen von den drei Punkten X, Y , Z genau zwei oder keiner innerhalb der Dreiecksseiten. (2 oder 0 innerhalb.)

Beim Satz des Ceva liegen von den drei Punkten X, Y , Z alle

drei oder nur einer innerhalb des Dreiecksseiten. (3 oder 1

innerhalb.)

Satz von Ceva IV

Beim Beweis des Satzes von Ceva wollen wir annehmen, daß die drei Punkte X, Y , Z im Inneren des Dreiecks liegen.

F¨ ur die Fl¨ achen gilt:

2F (ACZ) = ∣AZ ∣ ⋅ h _c 2F(BCZ) = ∣BZ ∣ ⋅ h _c

wobei h _c die L¨ ange des Lotes von C im Dreieck ist (Abstand von C zu AB).

Daraus folgt

F ( ACZ ) F(BCZ) =

∣ AZ ∣

∣BZ∣

Satz von Ceva V

Fl¨ achenverh¨ altnis = Grundseitenverh¨ altnis

F ( ACZ ) ∶ F ( BCZ ) = ∣ AZ ∣ ∶ ∣ BZ ∣

Satz von Ceva VI

Man sieht: Bei festen A, B und Z auf AB h¨ angt das Fl¨ achenverh¨ altnis gar nicht vom Punkt C ab.

Ersetzt man den Punkt C durch irgendeinen anderen Punkt P (nicht auf der Geraden AB) so folgt genauso:

F (AP Z ) F ( BP Z )

=

∣AZ ∣

∣ BZ ∣

Man hat also das gemeinsame Verh¨ altnis

F (ACZ)

F ( BCZ )

= r =

F (AP Z) F ( BP Z )

(=

∣AZ ∣

∣ BZ ∣

)

Satz von Ceva VII

Wir nehmen nun an, daß sich die 3 Transversalen tats¨ achlich schneiden (im Punkt P ). Zu zeigen ist die Produktrelation (1).

Etwas Rechnen liefert F ( AP C )

F(BP C) = F ( ACZ ) − F ( AP Z )

F (BCZ) − F(BP Z) (Fl¨ achenaddition)

= rF ( BCZ ) − rF ( BP Z ) F (BCZ ) − F (BP Z )

(Einsetzen)

= r F ( BCZ ) − F ( BP Z ) F (BCZ ) − F (BP Z )

(Ausklammern)

= r =

∣ AZ ∣

∣BZ∣ (K¨ urzen)

Also F ( AP C )

F ( BP C )

=

∣ AZ ∣

∣ BZ ∣

Satz von Ceva VIIa

Fl¨ achenverh¨ altnis = Grundseitenverh¨ altnis

F ( AP C ) ∶ F ( BP C ) = ∣ AZ ∣ ∶ ∣ BZ ∣

Satz von Ceva VIII

Nach Vertauschen

A → B → C → A X → Y → Z → X

erh¨ alt man analog

F ( AP C ) F ( BP C )

=

∣ AZ ∣

∣ BZ ∣ F ( BP A )

F ( CP A )

=

∣ BX ∣

∣ CX ∣ F ( CP B )

F ( AP B )

=

∣ CY ∣

∣ AY ∣

Multiplikation der drei Gleichungen liefert die gesuchte

Produktrelation (1). (Die Fl¨ achen k¨ urzen sich weg.)

Q.E.D. (f¨ ur eine Richtung)

Satz von Ceva IX

Nun nehmen wir an, daß die Produktrelation (1) gilt.

Wir m¨ ussen zeigen, daß die drei Transversalen AX, BY, CZ

sich in einem Punkt schneiden.

Anders gesagt: Ist P der Schnittpunkt von AX und BY , so muß der Schnittpunkt

Z ^′ = CP ∩ AB gerade unser Punkt Z sein.

Wir wissen bereits, daß die Produktrelation (1) f¨ ur die Punkte X,

Y , Z ^′ gilt. Denn die zugeh¨ origen Transversalen schneiden sich.

Satz von Ceva X

Jetzt geht es weiter wie beim Beweis des Satzes von Menelaos:

Wir haben

∣BX∣

∣ CX ∣

⋅

∣CY ∣

∣ AY ∣

⋅

∣AZ ^′ ∣

∣ BZ ^′ ∣

= 1 (schon bewiesen)

∣BX ∣

∣ CX ∣

⋅

∣CY ∣

∣ AY ∣

⋅

∣AZ∣

∣ BZ ∣

= 1 (Annahme)

Daher gilt wieder

∣ AZ ^′ ∣

∣BZ ^′ ∣

=

∣ AZ ∣

∣BZ ∣ und es folgt

Z ^′ = Z

(eindimensionale Situation, mit + statt −, siehe Seite “Satz des

Menelaos XI”). Q.E.D.