Elementare Geometrie Vorlesung 16

Elementare Geometrie Vorlesung 16

Markus Rost

3.6.2019 ¹

1

[5.6.2019 14:00: Korrekturen: S.12: AB → AB, S.17+S.27: Reihenfolge

der Geraden korrigiert]

Kleine Bemerkung zu Menelaos/Ceva

Die S¨ atze von Menelaos/Ceva betrachten die Relation

∣BX∣

∣ CX ∣

⋅

∣CY ∣

∣ AY ∣

⋅

∣AZ ∣

∣ BZ ∣

= 1 Anwendung:

Kennt man 2 der Teilverh¨ altnisse an den Seiten, etwa zu X und Z:

∣ BX ∣ ∶ ∣ CX ∣ , ∣ AZ ∣ ∶ ∣ BZ ∣ so kennt man auch das dritte Teilverh¨ altnis:

∣ AY ∣

∣CY ∣

=

∣ BX ∣

∣CX ∣

⋅

∣ AZ ∣

∣BZ∣

Siehe z.B. Aufgabe 25.

Teilverh¨ altnis mit Vorzeichen I

Wir sind jetzt eindimensional: Alles spielt sich auf einer Geraden ab.

Wir betrachten 2 Punkte A, B (A ≠ B) und auf der Geraden AB einen weiteren Punkt P .

Zun¨ achst betrachten wir den Fall, daß der Punkt P im Inneren der Strecke AB liegt:

Wir betrachten das Teilverh¨ altnis (auch: Teilungsverh¨ altnis) d =

∣ AP ∣

∣ BP ∣

= ∣ AP ∣ ∶ ∣ BP ∣

Teilverh¨ altnis mit Vorzeichen II

d 1 =

∣ AP 1 ∣

∣BP ₁ ∣

= 1 3 = 1 / 3 d 2 =

∣ AP 2 ∣

∣BP ₂ ∣

= 2 2 = 1 d 3 =

∣ AP 3 ∣

∣BP ₃ ∣

= 3 1 = 3

Sonderf¨ alle: P ₀ = A und P ₄ = B d 0 =

∣ AA ∣

∣BA∣ = 0 4 = 0 d 4 =

∣ AB ∣

∣AA∣ = 4

0 = ∞

Teilverh¨ altnis mit Vorzeichen III

Haben A, B den Abstand 1 und haben wir das Teilverh¨ altnis d =

∣ AP ∣

∣BP ∣ so gilt

∣ AP ∣ = d

1 + d , ∣ P B ∣ = 1 1 + d Tats¨ achlich gilt:

d 1 + d /

1

1 + d = d , d 1 + d +

1 1 + d = 1

Formaler Beweis: Aufl¨ osen von d = x/y, x + y = 1 nach x, y. Siehe externen Link.

Teilverh¨ altnis mit Vorzeichen IV

Allgemein gilt:

∣AP ∣ = ∣AB∣ ⋅ d

1 + d , ∣P B∣ = ∣AB∣ ⋅ 1 1 + d Folgerung:

Der Punkt P auf AB ist durch das Teilverh¨ altnis d festgelegt.

Konstruktion von P aus d: Man trage auf AB von A die Strecke

∣AB∣ ⋅ d 1 + d in Richtung B ab.

Dies gilt nur, wenn der Punkt P zwischen A und B liegt—Beispiel kommt gleich.

Teilverh¨ altnis mit Vorzeichen V

Jetzt betrachten wir Punkte auf der Geraden AB die auch außerhalb der Strecke AB liegen:

F¨ ur die Verh¨ altnisse der Entfernungen zu A und B ergibt sich

∣ AP ∣

∣ BP ∣

= 2 6 = 1 / 3

∣ AQ ∣

∣ BQ ∣

= 2 2 = 1

∣ AR ∣

∣ BR ∣

= 6 2 = 3

Hier haben P , Q, R dieselben Verh¨ altnisse wie bei P ₁ , P ₂ bzw. P ₃

oben.

Teilverh¨ altnis mit Vorzeichen VI

Beim Punkt Q ist das klar (Q und P ₂ sind die Mittelpunkte von AB).

Die Punkte P und R liegen aber außerhalb der Strecke.

Wie kann man auch in diesem Fall aus dem Entfernungs-Verh¨ altnis den Punkt zur¨ uck bekommen?

Die kurze Antwort ist: Liegt der Punkt außerhalb, so muß man

“ d ” durch “ − d ” ersetzen.

Die genauere L¨ osung besteht in folgender Definition:

Teilverh¨ altnis mit Vorzeichen VII

Definition

Es seien A, B (A ≠ B) zwei Punkte und es sei P ein Punkt auf der Geraden AB.

Das (vorzeichenbehaftete) Teilverh¨ altnis von P auf zu A, B ist die Zahl d mit

Ð→ AP = d ⋅ Ð→ P B Bezeichnung:

d = T ( ABP ) = Ð→ AP Ð→ P B

(Wir sind hier eindimensional, Vektoren sind also praktisch nur

relle Zahlen.)

Teilverh¨ altnis mit Vorzeichen VIII

Das Teilverh¨ altnis

d = T ( ABP ) = Ð→ AP Ð→ P B ist also die Zahl, mit der man den Vektor Ð→

P B multiplizieren muß, um den Vektor Ð→

AP zu erhalten.

Es gilt

d = T ( ABP ) =

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎩ +

∣ AP ∣

∣ BP ∣

falls: P liegt zwischen A und B

−

∣ AP ∣

∣ BP ∣

falls: P liegt außerhalb von AB

Im ersten Fall haben die Vektoren die gleiche Richtung, im zweiten

Fall haben die Vektoren entgegengesetzte Richtung.

Teilverh¨ altnis mit Vorzeichen IX

Bei den Beispielen

ergibt sich

T ( ABP ) = Ð→ AP Ð→ P B

=

− 2

+6 = − 1 / 3 T (ABQ) =

Ð→ AQ Ð→ QB

= +2 + 2 = 1 T(ABR) =

Ð→ AR Ð→ RB

= +6

− 2 = −3

Teilverh¨ altnis mit Vorzeichen X

Obwohl ein Punkt außerhalb die Strecke nicht im eigentlichen Sinne “teilt”, spricht man vom Teilverh¨ altnis. (Die Alternative:

“Entfernungsverh¨ altnis mit Vorzeichen” ist einfach zu lang.) Jetzt gilt allgemein die Formel:

P = A + d 1 + d ⋅

Ð→ AB

Dies ergibt folgende Rekonstruktion von P aus d: Man trage auf von A aus den Vektor

d 1 + d ⋅

Ð→ AB ab.

Der Punkt P auf der Geraden AB ist also durch das Teilverh¨ altnis (mit Vorzeichen) d festgelegt.

(Weitere Beispiele: ¨ Ubungen?)

Pause I

Pause ! (?)

Nach der Pause wollen wir uns den Satz von Menelaos nochmal

genauer anschauen.

Satz von Menelaos - Erinnerung I

Dreieck ABC + Gerade g: 3 Skizzen zum Satz von Menelaos

Satz von Menelaos - Erinnerung II

Satz von Menelaos - Erinnerung III

Satz von Menelaos - mit Vorzeichen I

Satz (Satz von Menelaos mit Vorzeichen) Gegeben sei ein Dreieck ABC.

Drei Punkte X, Y , Z auf den Geraden BC, CA, bzw. AB liegen genau dann auf einer Geraden wenn

T ( BCX ) ⋅ T ( CAY ) ⋅ T ( ABZ ) = − 1 (1) Dies ist eine Zusammenfassung der ersten Fassung des Satzes von Menelaos mit der Bedingung

∣BX∣

∣ CX ∣

⋅

∣CY ∣

∣ AY ∣

⋅

∣AZ ∣

∣ BZ ∣

= 1 (2)

und der Bemerkung, daß 1 oder 3 der Punkte X, Y , Z außerhalb

liegen m¨ ussen.

Satz von Menelaos - mit Vorzeichen II

Liegt n¨ amlich ein Punkt außerhalb (und also zwei innerhalb), so muß man in (2) einmal ein Vorzeichen “ − ” einf¨ ugen.

Liegen alle Punkte außerhalb, so muß man in (2) drei Vorzeichen

“ − ” einf¨ ugen.

In beiden F¨ allen erh¨ alt man insgesamt den Faktor − 1.

Umgekehrt: Das − 1 auf der rechten Seite von (1) besagt, das eine ungerade Anzahl der 3 Teilverh¨ altnisse negativ sein muß.

Es m¨ ussen also 1 oder 3 der Punkte X, Y , Z außerhalb liegen.

(Siehe auch den externen Link.)

Pause II

Pause ! (?)

Nach der Pause wollen wir uns den Satz von Ceva nochmal

genauer anschauen.

Dreiecke - Regionen I

Ein Dreieck zerlegt die Ebene in sieben (1 + 3 + 3) Regionen.

Dreiecke - Regionen II

W¨ ahle einen Punkt P in einer der Regionen und zeichne die Geraden durch die Eckpunkte A, B, C des Dreiecks.

Man erh¨ alt die Schnittpunkte X, Y , Z mit den Seitengeraden:

X = P A ∩ BC Y = P B ∩ CA Z = P C ∩ AB Bemerkung

Von den Schnittpunkten X, Y , Z liegen 3 oder 1 (alle oder einer) im Inneren der jeweiligen Dreiecks-Strecke (also am Rand des Dreiecks).

Diese Beobachtung wurde nicht formal bewiesen. Illustration auf

den n¨ achsten Seiten.

Dreiecke - Regionen III

X, Y , Z innen:

Dreiecke - Regionen IV

X innen, Y , Z außen:

Dreiecke - Regionen V

X innen, Y , Z außen:

Satz von Ceva - mit Vorzeichen I

Folgerung aus dem Satz von Ceva:

Satz (Variante des Satzes von Ceva)

Gegeben sei ein Dreieck ABC und ein Punkt P ( ≠ A, B, C). F¨ ur die Schnittpunkte

X = P A ∩ BC Y = P B ∩ CA Z = P C ∩ AB gilt

T ( BCX ) ⋅ T ( CAY ) ⋅ T ( ABZ ) = + 1 (3)

Satz von Ceva - mit Vorzeichen II

Dies folgt aus dem Satz von Ceva und der m¨ oglichen Anzahl von Punkten außen (0 oder 2, jedenfalls eine gerade Anzahl).

Denn diesmal m¨ ussen wir in die bekannte Relation

∣ BX ∣

∣ CX ∣

⋅

∣ CY ∣

∣ AY ∣

⋅

∣ AZ ∣

∣ BZ ∣

= 1 (4)

keine oder zwei Vorzeichenwechsel einf¨ ugen. Man erh¨ alt immer + 1.

Satz von Ceva - mit Vorzeichen III

Zum Abschluß noch den vollst¨ andigen Satz von Ceva, formuliert mit den vorzeichenbehafteten Teilverh¨ altnissen.

Satz (Satz von Ceva)

Gegeben sei ein Dreieck ABC und drei Punkte X, Y , Z auf den Geraden BC, CA bzw. AB.

Die drei Dreieckstransversalen AX, BY , CZ schneiden sich in einem Punkt genau dann wenn

T (BCX) ⋅ T (CAY ) ⋅ T(ABZ) = +1 (5) Das + 1 auf der rechten Seite von (5) besagt, das eine gerade Anzahl der 3 Teilverh¨ altnisse negativ sein muß.

Es m¨ ussen also 0 oder 2 der Punkte X, Y , Z außerhalb liegen.