Elementare Geometrie Vorlesung 20
Markus Rost
24.6.2019
Die Kreiszahl π - I
Die Kreiszahlπ.
Ungef¨ahrer Wert:
π≈3,14 Etwas genauer:
π≈ 22
7 =3,142857=3,142857 142857 142857. . . Der exakte Wert der Kreiszahl ist,
π=3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067
Die Kreiszahl π - II
L¨angen am Kreis: Radius r, Durchmesser d=2r UmfangU =πd=2πr.
Die Kreiszahl π - III
Notationen f¨ur L¨angen am Kreis:
r=Radius d=Durchmesser U =Umfang
Aus der Definition der Begriffe Radius/Durchmesser ist klar:
d=2r, r=d 2 Die Kreiszahlπ ist definiert als Verh¨altnis
π=U
d =Umfang∶Durchmesser am Kreis. Es gilt also
U =πd=2πr
Die Kreiszahl π - IV
Die Kreiszahlπ ist unabh¨angig von der Gr¨oße der Kreises. Das heißt, hat der Kreis vom Radiusr den Umfang U, so hat der Kreis vom Radiusx⋅r den Umfang x⋅U. Die Verh¨altnisse
π= x⋅U x⋅d = U
d sind also gleich.
Um dies einzusehen, teile man einen Kreis inngleich große Sektoren und approximiere diese durch Dreiecke (siehe Graphik n¨achste Seite). — Bei L¨angen und Fl¨achen am Kreis kommt nicht um Grenzbetrachtungen (Infinitesimalrechung) herum.
Multipliziert man den Radiusr mit dem Faktor x, so werden die Seitenamit dem gleichen Faktor multipliziert (Strahlensatz).
Daher wird auch der GrenzwertU (n→ ∞) mit dem Faktor x multipliziert.
Die Kreiszahl π - VI
α= 360n○, U ≈n⋅a (f¨ur großen)
Die Kreiszahl π - VII
F¨ur die Fl¨acheA des Kreises mit Radiusr gilt:
A=πr2= πd2 4
Hier ist eine Begr¨undung, wieder durch Approximation:
Quelle Graphik: Wikimedia
Pause I
Das war’s schon zuπ.
Pause ! (?)
Gleich geht es weiter mit den M¨ondchen des Hippokrates.
Satz des Pythagoras f¨ ur Halbkreise I
Satz des Pythagoras f¨ur Halbkreise: ∣Ha∣ + ∣Hb∣ = ∣Hc∣
Satz des Pythagoras f¨ ur Halbkreise II
Die Fl¨achenformel f¨ur den Kreis A= πd2
4
ergibt f¨ur die Fl¨achen der halben Thaleskreise:
∣Ha∣ = πa2
2 , ∣Hb∣ = πb2
2 , ∣Hc∣ =πc2 2 , Der Satz des Pythagoras (a2+b2=c2) liefert
∣Ha∣ + ∣Hb∣ = ∣Hc∣
Man kann den Satz des Pythagoras auch auf andere Figuren als Quadrate oder Kreise verallgemeinern.
Die M¨ ondchen des Hippokrates I
Am rechtwinkligen Dreieck — die M¨ondchen des Hippokrates:
rot + rot = gr¨un
Quelle Graphik: Wikimedia
Die M¨ ondchen des Hippokrates II
Am rechtwinkligen Dreieck — Die M¨ondchen des Hippokrates:
∣Mb∣ + ∣Ma∣ = ∣ABC∣
Die M¨ ondchen des Hippokrates III
In einem rechtwinkligen DreieckABC mit HypotenuseAB errichte man ¨uber jeder Seite einen Thales-Halbkreis.
Und zwar:
Uber der Hypotenuse¨ AB den Thales-HalbkreisHc′ zum Dreieck (also durch C).
Uber den Katheten¨ CA und CB die Thales-Halbkreise nach außen: Hb ¨uber b=CA,Ha ¨ubera=CB
Es entstehen die beiden “M¨ondchen” (in den Graphiken rot gezeichnet):
Mb =Hb ohne die Punkte von Hc′. Ma =Ha ohne die Punkte von Hc′.
Die M¨ ondchen des Hippokrates IV
Die Formel
∣Mb∣ + ∣Ma∣ = ∣ABC∣
folgt nun so:
Gesamtfl¨ache = Dreieck + Halbkreise ¨uber den Katheten Gesamtfl¨ache = M¨ondchen + Thales-Halbkreis
Nach dem Satz des Pythagoras f¨ur Halbkreise k¨urzen sich die Terme rechts weg und man erh¨alt
Dreieck = M¨ondchen In Formeln:
∣ABC∣ + ∣Hb∣ + ∣Ha∣ = ∣Mb∣ + ∣Ma∣ + ∣Hc′∣
∣Hb∣ + ∣Ha∣ = ∣Hc∣ = ∣Hc′∣ also
∣ABC∣ = ∣Mb∣ + ∣Ma∣
Pause II
Pause ! (?)
Nach der Pause geht es weiter mit dem Inkreis-Radius.
Der Inkreisradius I
Es sei∆=ABC ein beliebiges Dreieck.
Wie ¨ublich mit den Seitenbezeichnungen
a=BC, b=CA, c=AB
Definition Die Zahl
s= a+b+c 2 heißt der Semiperimeter des Dreiecks.
Der Semiperimeter ist also der halbe Umfang des Dreiecks.
(Die Bezeichnung “Semiperimeter” f¨ur den halben Umfang ist jedenfalls im Englischen gebr¨auchlich.)
Der Inkreisradius II
Satz
Istr der Radius des Inkreises des Dreiecks ∆=ABC, so gilt
∣∆∣ =r⋅s
oder, anders formuliert:
∣ABC∣ =r⋅a+b+c 2
Zum Beweis betrachtet man die Zerlegung des Dreiecks in die drei Dreiecke gegeben durch den InkreismittelpunktI:
Der Inkreisradius III
∣BIC∣ =a⋅r
2 , ∣CIA∣ =b⋅r
2 , ∣AIB∣ = c⋅r 2 ,
Der Inkreisradius IV
Die Fl¨achenformel (Fl¨ache = 1/2 Grundseite ⋅H¨ohe) ergibt
∣BIC∣ =a⋅r
2 , ∣CIA∣ =b⋅r
2 , ∣AIB∣ = c⋅r 2 , f¨ur die einzelnen Dreiecke.
F¨ur die Fl¨ache des Dreiecks folgt also
∣ABC∣ = ∣BIC∣ + ∣CIA∣ + ∣AIB∣
= ar 2 +br
2 +cr 2
= ar+br+cr
2 = a+b+c 2 ⋅r Q.E.D.
Der Inkreisradius V
Ubrigens:¨
Man kann damit umgekehrt den Radius des Inkreises bestimmen aus der Fl¨ache und den Seitenl¨angen:
r=2⋅ ∣ABC∣ a+b+c oder
Inkreisradius=2⋅ Fl¨ache Umfang
