Elementare Geometrie Vorlesung 23

Elementare Geometrie Vorlesung 23

Markus Rost

4.7.2019

Orthozentrische Vierecke A-I

Erinnerung: Orthozentrische Vierecke (siehe “Vorlesung 10”) Durch 4 Punkte A, B, C, D gehen immer 6 Geraden.

Dies ist reine Kombinatorik: Die Anzahl der 2-elementigen Teilmengen einer 4-elementigen Menge ist 6.

Diese ordnen sich zu 3 Paaren (den sog. Diagonalenpaaren) an:

AB und CD AC und BD AD und BC

Kobinatorisch gesehen: Jedes solche Paar besteht aus einer

2-elementigen Teilmenge und ihrem Komplement.

Orthozentrische Vierecke A-II

Ein besonderer Fall liegt vor, wenn sich jedes Diagonalenpaar jeweils senkrecht schneidet:

AB ⊥ CD AC ⊥ BD AD ⊥ BC

Man spricht dann von einem orthozentrischen Viereck.

Auf den ersten Blick mag es als fast unm¨ oglich erscheinen, daß so etwas existiert, ist es aber nicht:

Jedes Dreieck ABC erg¨ anzt sich zu einem orthozentrischen Viereck ABCD, wobei der zus¨ atzliche Punkt der Schnittpunkt der H¨ ohen ist:

D = H(ABC)

Orthozentrische Vierecke A-III

Orthozentrische Vierecke A-IV

Das Besondere ist nun, daß jedes orthozentrischen Viereck ABCD so entsteht.

Dabei ist es egal, welchen der 4 Punkte man wegl¨ aßt: Bei einem orthozentrischen Viereck ist jeder der 4 Punkte der Schnittpunkt der H¨ ohen des Dreiecks der restlichen 3 Punkte.

Satz

In einem orthozentrischen Viereck ABCD ist jeder Punkt der H¨ ohenschnittpunkt des Dreiecks der anderen drei Punkte:

A = H(BCD)

B = H ( ACD )

C = H ( ABD )

D = H ( ABC )

Orthozentrische Vierecke A-V

Dies mag erstmal ¨ uberaschend klingen.

Das liegt wohl daran, daß man gerne vergißt, daß bei einem stumpfwinkligen Dreieck (ein Winkel > 90

) der H¨ ohenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks liegt. (Hier betrachtet man dann die H¨ ohengerade, nicht nur die Lote als Strecken.)

Die meisten Zeichnungen zum H¨ ohenschnittpunkt gehen von einem spitzwinkligen Dreieck aus. Man sollte aber immer auch den Fall des stumpfwinkligen Dreiecks vor Augen haben.

Gleiches gilt ¨ ubrigens f¨ ur den Umkreismittelpunkt U (der liegt aber auf der “anderen Seite”).

Der Schwerpunkt G und der Inkreismittelpunkt I liegen dagegen

immer im Inneren des Dreiecks.

Orthozentrische Vierecke A-VI

Man kann dies alles in der Grafik sehen:

Man hat das spitzwinklige Dreieck ABC

und die 3 stumpfwinkligen Dreiecke

BDC, ADC, ADB

Der stumpfe Winkel ist dabei immer in D (= H¨ ohenschnittpunkt des spitzwinkligen Dreiecks ABC ).

Jedes dieser 4 Dreiecke erg¨ anzt sich durch Hinzunahme des

jeweiligen H¨ ohenschnittpunktes zu demselben orthozentrischen

Viereck.

Orthozentrische Vierecke A-VII

Der Beweis des Satzes ergibt sich ganz formal.

Die drei Orthogonalit¨ atsrelationen AB ⊥ CD AC ⊥ BD AD ⊥ BC

sind nur eine Umformulierung der Orthogonalit¨ atsrelationen f¨ ur die

3 H¨ ohen, separat f¨ ur jedes der 3 Dreiecke.

Orthozentrische Vierecke A-VIII

Nat¨ urlich muß man wissen, daß die H¨ ohen im Dreieck sich in einem Punkt schneiden, sonst k¨ onnte man die Grafik gar nicht so machen.

Test: Warum schneiden sich die H¨ ohengeraden eines Dreiecks

∆ = ABC in einem Punkt?

Antwort: Die H¨ ohengeraden von ∆ = ABC sind die

Mittelsenkrechten vom Seitenparallelendreieck ∆ ̃ = ̃ A B ̃ C. Und die ̃

Mittelsenkrechten schneiden sich wegen. . .

Orthozentrische Vierecke A-IX

Aus der Grafik wird ebenfalls ersichtlich, daß die drei Lotfußpunkte (= Schnittpunkte der H¨ ohengeraden mit den Seitengeraden) E, F, G dieselben sind f¨ ur alle 4 Dreiecke.

Es sind n¨ amlich die Schnittpunkte der 3 Diagonalenpaare des orthozentrischen Vierecks:

G = AB ∩ CD F = AC ∩ BD E = AD ∩ BC

Das Dreieck EF G heißt ¨ ubrigens das H¨ ohenfußpunktdreieck.

Orthozentrische Vierecke A-X

Test: Wie heißt der Umkreis des H¨ ohenfußpunktdreiecks EF G?

Antwort: Feuerbachkreis.

Abschließend kann man sagen: Der Begriff “orthozentrisches Viereck” wird betrachtet, weil man damit einige S¨ atze und Bemerkungen gut darstellen kann.

Beispielsweise wird leicht klar, daß ABC und ABD

(D = H ( ABC ) ) den gleichen Feuerbachkreis haben.