Analysis I für M, LaG/M, Ph 11.Tutorium
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010
Dr. Robert Haller-Dintelmann 24./25.06.2010
David Bücher
Christian Brandenburg
Tutorium
Aufgabe T1 (Gleichmäßige Konvergenz)
Für jedesn∈Nsei fn:[0, 1]→Rgegeben durch fn(x):=n2x(1−x)n. Zeigen Sie:
(a) Die Funktionenfolge(fn)n∈Nkonvergiert auf dem Intervall[0, 1]punktweise gegen die Nullfunktion.
Hinweis: Wurzelkriterium.
(b) Die Konvergenz in (a) ist nicht gleichmäßig.
(c) Für jedesλ∈(0, 1)konvergiert(fn)gleichmäßig auf[λ, 1].
Aufgabe T2 (Gleichmäßige Konvergenz) Zeigen Sie: Die geometrische ReiheP∞
n=0xnist auf(−1, 1)nicht gleichmäßig konvergent.
Aufgabe T3 (Vertauschung von Grenzübergängen) Beweisen Sie die folgende Aussage:
Sei D⊆Rund sei(fn)eine Folge stetiger Funktionen, die auf Dgleichmäßig gegen f konvergiert. Ist dann(xn)eine Folge inD, die gegenx0∈Dkonvergiert, so giltlimn→∞fn(xn) =f(x0).
Fussballspiel
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