KZO
AM C6a ; 2003 / Kh
Serie 1: L¨ osungen
Aufgabe 1: Darstellungen a) M = 0.5 −0.2 0.1
−0.1 −0.4 −0.3
! .
Aufgabe 2: Abbildungen
A•B =
43 −50 57 54 −69 84 39 −48 57
undB•A=
0 8 12
3 −23 −33
−6 38 54
a) mit A:
x y z
=
19 23 17
+t
44 31 30
, mitB:
x y z
=
7
−16 25
+t
2
−3 4
,
und mit A•B:
x y z
=
157 222 153
+t
26 43 28
b) P(1,1,3), Q(0,0,3) und R(2,1,1) sind Punkte der Ebene E : 2x−2y+z−3 = 0.
mitA: 35x+ 42y−95z−12 = 0, mitB:x+ 2y+z= 0 und mit B•A:x+ 2y+z= 0
Aufgabe 3: Matrizen von Abbildungen
a)
1 0 0 0 1 0 0 0 −1
b)
−1 0 0 0 −1 0
0 0 1
c)
3 0 0 0 3 0 0 0 3
d)
1 0 0
0 −0.5 0
0 0 −0.5
e)
1 0 0
0 1.5 0
0 0 1
f)
0 0 0 0 1 0 0 0 1
Aufgabe 4: Projektionen
a) 121
9 −1 1
−12 8 4
15 5 7
b) 111
2 −3 3
−3 10 1
3 1 10
2
Aufgabe 5: Verkn¨upfungen von Abbildungen
a)
1 0 0 0 1 0 0 0 −3
und dann
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
gibt:
0 −1 0
1 0 0
0 0 −3
b)
1 0 0
0 √
3/2 −1/2
0 1/2 √
3/2
und dann
2 0 0 0 1 0 0 0 2
gibt:
2 0 0
0 √
3/2 −1/2
0 1 √
3
c)
1 0 0 0 1 0 0 0 0
und dann
√2/2 0 √ 2/2
0 1 0
−√
2/2 0 √ 2/2
gibt:
√2/2 √ 2/2 0
0 1 0
−√
2/2 √ 2/2 0
Aufgabe 6: Verkn¨upfungen von Bewegungen
P0(−2,−3,−1) mit Matrix
−1 0 0 0 −1 0
0 0 1
(axiale Streckung an derz-Achse)
Aufgabe 7: Bewegungen
a) 19
−1 −4 −8
−4 −7 4
−8 4 −1
b) 19
1 4 8
4 7 −4
8 −4 1
Aufgabe 8: Fixelemente
A: keine B:t
16
−1
−9
C: 3x−2y+ 5z= 0 D:t
2 2 1
Aufgabe 9: Fixelemente und Parameter a) a= 14, da dann det(M−E) = 0 ist.
b) Menge aller Fixvektoren: t
8 4 1
Aufgabe 10: Art der Bewegung
A: ist Geradenspiegelung mit Achset
1 2 2
B: ist Drehung um die Achset
2 2 1
mit Winkel 90◦ C: ist Ebenenspiegelung an der Ebene 2x−2y+z= 0
