Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich
D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 09
L¨ osungen zur Serie 5
1. Es gilt: ∂xf = 2, ∂zf =−1, √1
3(∂xf+∂yf+∂zf) =√ 3.
⇒∂yf = 2⇒ ∇f =
2 2
−1
.
Die Richtungsableitung h∇f, vi ist maximal in Richtungv = k∇fk∇f = 13
2 2
−1
und nimmt dabei den Werth∇f, vi= 3 an. v steht gleichzeitig auch normal auf die Niveaufl¨ache in Q.
2. a) |f(u, v)|2 = cos2(u) cos2(v) + sin2(u) cos2(v) + sin2(v)
= (cos2(u) + sin2(u))
| {z }
1
cos2(v) + sin2(v)
= cos2(v) + sin2(v) = 1.
b) Die Koordinatenlinien v = v0 : u 7→ f(u, v0) sind Kreise parallel zur x− y-Ebene mit Mittelpunkt (0,0,sin(v0)) und Radius cos(v0). Somit ist K rotationssymmetrisch bez¨uglich der z-Achse.
c) Die Koordinatenlinieu= 0 :v 7→f(0, v) ist der Halbkreis in derx−z-Ebene wo x≥0 um den Ursprung mit Radius 1.
d) K ist die Einheitssph¨are. u ist der L¨angengrad, v der Breitengrad - jeweils im Bogenmass.
3. Gegeben ist
x: R2 → R3 (u, v) 7→ x(u, v)
Bitte wenden!
mit
x(u, v) =
x1(u, v) x2(u, v) x3(u, v)
:=
cos(u)(3 + cos(v)) sin(u)(3 + cos(v))
sin(v)
a)
Setzen wir zun¨achstv = 0.
(u,0)7→x(u,0) =
4 cos(u) 4 sin(u)
0
Die induzierte Kurve ist ein Kreis mit Mittelpunkt (0,0,0) und Radius 4 in der (x1, x2)−Ebene.
F¨uru= 0 kriegen wir
(0, v)7→x(0, v) =
3 + cos(v) 0 sin(v)
Dieise Kurve ist wieder ein Kreis, aber mit Mittelpunkt (3,0,0) und Radius 1, der in der (x1, x3)−Ebene liegt.
Analoge ¨Uberlegungen f¨urv =−π 2, π,π
2 undu= π 2, π,3π
2 liefern weitere Kreise, sodass alle Kurven zusammen einenTorus bilden.
Siehe n¨achstes Blatt!
b) Gesucht ist eine Funktiong :R3 →R, so dass
g(x1(u, v), x2(u, v), x3(u, v)) = 1.
Mit Hilfe des gegebenen Hinweis k¨onnen wir die Fuktion x(u, v) umformen, bis wir die obige Identit¨at erreichen. Zun¨achst betrachten wir
x1(u, v)2+x2(u, v)2 = cos2u+ (3 + cosv)2+ sin2u(3 + cosv)2 =
= (cos2u+ sin2u)(3 + cosv)2 = (3 + cosv)2. Dann ist
px1(u, v)2+x2(u, v)2 = 3 + cosv
⇓ p
x1(u, v)2+x2(u, v)2−3 2
= cos2v = 1−sin2v und mit x3(u, v) = sinv
p
x1(u, v)2+x2(u, v)2−32
= 1−x3(u, v)2
⇓ p
x1(u, v)2+x2(u, v)2−32
+x3(u, v)2 = 1
Bitte wenden!
Da die letzte Identit¨at f¨ur alle u und v (im Definitionsbereich) gilt, k¨onnen wir die drei Funktionenx1,x2 und x3 durch drei beliebige Variablen ersetzen.
Die gesuchte Funktion lautet dann g(x, y, z) :=p
x2+y2−32
+z2.
4. Seien r die Abstandfunktion und V das Potential wie in der Aufgabe gegeben.
a) Die erste partielle Ableitung kann man wie folgt bestimmen
∂r
∂x = 1
2p
x2+y2 +z2 ·2x= x r(x, y, z).
b) In ¨anlicher Weise bestimmt man die andere 2 partielle Ableitungen und somit
dr(x, y, z) = x
r ,y r ,z
r
= 1 r~xT . c) Das Resultat von a)kann man hier verwenden
∂
∂x 1
r =− 1 r2
∂r
∂x =−x r3 . d) ∇V(x, y, z) =dVT(x, y, z) =
∂V
∂x,∂V∂y,∂V∂zT
.
∂V
∂x = 1
r3 +x−3 r4
∂r
∂x = 1
r3 −3x2 r5
∂V
∂y = −3x r4
∂r
∂y =−3x y r5
∂V
∂z = −3x r4
∂r
∂z =−3x z r5
