Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich
D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 10
L¨ osungen zur Serie 11
1. Die Randkurven legen es nahe,
u=x2+y2 und v =x2−y2
zu setzen. Somit finden wir f¨urx und y in Abh¨angigkeit von u und v x(u, v) =
ru+v
2 und y(u, v) =
ru−v 2 Mit
h(u, v) =
x(u, v) y(u, v)
findet man
dh(u, v) =
∂x
∂u(u, v) ∂x
∂v(u, v)
∂y
∂u(u, v) ∂y
∂u(u, v)
=
1 4
r 2 u+v
1 4
r 2 u+v 1
4 r 2
u−v −1 4
r 2 u−v
.
Dies f¨uhrt auf die Determinante
det (dh(u, v)) =−1 4
√ 1
u2 −v2. Deshalb ist
Z Z
Ω
f(x, y)dx dy= Z Z
Ω˜
f(x(u, v), y(u, v))|det (dh(u, v))|du dv =
1 4
4
Z
1
9
Z
4
f
ru+v 2 ,
ru−v 2
! 1
√u2−v2
! du
dv= 1
4
4
Z
1
9
Z
4
ru+v 2 ·
ru−v
2 · 1
√u2−v2
! du
dv= 1
8
4
Z
1
9
Z
4
1du
dv= 5 8
4
Z
1
1dv= 15 8 .
Bitte wenden!
2. Mithilfe der Skizze
-1.0 -0.5 0.5 1.0
x 0.2
0.4 0.6 0.8 1.0 y
ist leicht ersichtlich, dass Z Z
B
ey2dx dy=
1
Z
0
y
Z
−y
ey2dx
dy=
1
Z
0
xey2
y
−y
! dy =
1
Z
0
2yey2dy =
1
Z
0
2y 1 2y
d
dyey2dy=e−1
3. Der obere Rand des K¨orpers, ¨uber den integriert werden soll, gen¨ugt der Glei- chung
z =δ(x, y) = c ab
pa2b2−b2x2−a2y2.
Diese Fl¨ache schneidet die x−y−Ebene (also z = 0) in der Kurve y=β(x) = b
a
√a2−x2
x y z
Siehe n¨achstes Blatt!
Wir k¨onnen den K¨orper als die Menge aller Punkte
0≤x≤a, 0≤y≤β(x) und 0≤z ≤δ(x, y) cahrakterisieren. Dies F¨uhrt zu
a
Z
0
β(x)
Z
0
δ(x,y)
Z
0
yz dz
dy
dx=
a
Z
0
b a
√ a2−x2
Z
0
c ab
√
a2b2−b2x2−a2y2
Z
0
yz dz
dy
dx=
1 2
a
Z
0
b a
√ a2−x2
Z
0
yz2
c ab
√
a2b2−b2x2−a2y2
0
dy
dx= c2
2a2b2
a
Z
0
b a
√ a2−x2
Z
0
(a2b2−b2x2)y−a2y3 dy
dx= c2
2a2b2
a
Z
0
a2b2−b2x2
2 y2−a2 4y4
b a
√ a2−x2
0
! dx= c2
4a4
a
Z
0
(a2b2−b2x2)(a2−x2)− b2
2(a2−x2)2
dx= c2
4a4
a
Z
0
a4b2
2 −a2b2x2+ b2 2x4
dx= c2 4a4
a4b2
2 x−a2b2
3 x3+ b2 10x5
a
0
= c2
4a4
a5b2
2 −a5b2
3 + a5b2 10
=ab2c2 1
8 − 1 12+ 1
40
= 1 15ab2c2
4. a) Ein Tetraeder kann in einer offensichtlichen Weise zu einem Spat erg¨anzt werden, dessen Volumen das sechsfache des Tetraeders besitzt. Das Volumen eines durch die Vektoren~a,~bund~c aufgespannten Spats ist gegeben durch
VSpat =|(~a×~b)·~c|.
Bitte wenden!
Somit findet man, mit
~a=AB=B~ −A~ =
1 0 5
−
0 2 4
=
1
−2 1
~b=AC =C~ −A~ =
2 2 4
−
0 2 4
=
2 0 0
~c=AD=D~ −A~ =
3 1 4
−
0 2 4
=
3
−1
−4
, f¨ur das Volumen des Tetraeders
1
6| AB×AC
·AD|= 1 6
1
−2 1
×
2 0 0
·
3
−1
−4
= 1
6
0 2 4
·
3
−1
−4
= 1
6| −18|= 3 b) Die Fl¨ache eines Dreiecks ist gegeben durch
F4 = a·ha
2 = |~a×~c|
2 wobei
~a=BC =C~ −B~ =
5 6 5
−
4 3 1
=
1 3 4
~c=BA =A~−B~ =
−3
−2 0
−
4 3 1
=
−7
−5
−1
Mit
|~a×~b|=
1 3 4
×
−7
−5
−1
=
−17
−27
−16
=√
172+ 272+ 162 =√
1274 =√ 26·49
a=|~a|=
1 3 4
=√
1 + 32+ 42 =√ 26 findet man schliesslich
ha=
√26·√
√ 49
26 =√ 49 = 7
