Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich
D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 09
L¨ osungen zur Serie 1
1. a) 5+16i1 = (5+16i)(5−16i)5−16i = 5−16i281 = 2815 −i28116
1
2+5i = (2+5i)(2−5i)2−5i = 2−5i29 = 292 −i295 b) (1 +i)n+ (1−i)n = (√
2eiπ/4)n+ (√
2e−iπ/4)n = √
2n(einπ/4 +e−inπ/4) = 2n/2·2 cos(nπ/4)
c) z+1z−1 = (z+1)(¯|z−1|z−1)2 = |z|2|z−1|−z+¯z−12 = |z|2−2iIm(z)−1|z−1|2 = (a−1)a2+b22−1+b2 −i(a−1)2b2+b2
2. (x+iy)2 = x2−y2 + 2ixy. Also muss gelten a = x2 −y2 und b = 2xy. Durch Multiplikation der 1. Gleichung mit 4x2 folgt
0 = 4x2a−4x4+ 4x2y2 =−4x4+ 4ax2+b2,
wobei f¨ur die 2. Gleichheit die 2. Gleichung verwendet wurde. Also ist x2 =
a±√ a2+b2
2 und y2 = −a±
√ a2+b2
2 .
3. 5iz2−(2+4i)z+6z−(1−i) = 5iz+ −(2+4i)z+6+5iz(1−i)
z−(1−i) = 5iz+(3+i)z+6z−(1−i) = 5iz+ (3 +i) + z−(1−i)10−2i
(1−i)z3−2z2+(2−2i)z+4
(1+i)−z =−(1−i)z2+(2−2i)z+4(1+i)−z =−(1−i)z2−2(1−i) + (1+i)−z8
4. Als erstes untersuchen wir das Bild der Menge Ω unter der Abbildungz 7→eπz2 . Dazu rechnen wir in Polarkoordinaten:
eπz2 =eπRe(z)2 ·eπIm(z)2 und sehen direkt
eπΩ2 ={z ∈C
0<arg(z)< π 2}.
Dann untersuchen wir das Bild einer horizontalen Geradeih+R={z ∈C|Im(z) = h} unter der Abbildung
z 7→ 1 z. Wieder in Polarkoordinaten:
Bitte wenden!
1
z = 1
|z|eiφ = e−iφ
|z| = e−iφsin(φ)
h = e−iφ eiφ−e2i−iφ
h = 1−e−2iφ
2ih =−i1−e−2iφ 2h
1
z bildet also eine horizontale Gerade auf der H¨ohe h auf einen Kreis mit Radius
1
2h, der die reelle Achse von unten am Nullpunkt ber¨uhrt ab (−ientspricht einer Drehung um−π/2).
Diese Tatsache k¨onnen wir jetzt benutzen, um die Menge g(Ω) zu bestimmen.
g(z) kann n¨amlich wie folgt als Hintereinanderschaltung von einfachen Abbil- dungen geschrieben werden:
z e
πz2
7→ eπz2 7→+i i+eπz2
1
7→z 1 i+eπz2
7→·2i 2i i+eπz2
7→−1 2i
i+eπz2 −1 = i−eπz2
i+eπz2 =g(z)
Und wir bekommen:
Ω ={z ∈C
0<Im(z)<1}
eπΩ2 ={z ∈C
0<arg(z)< π 2} i+eπΩ2 ={z ∈C
Re(z)>0,Im(z)>1}
1
i+eπΩ2 ={z ∈C
|z+ i
2|< 1
2,Re(z)>0}
2i
i+eπΩ2 ={z ∈C
|z−1|<1,Im(z)>0}
g(Ω) ={z ∈C
|z|<1,Im(z)>0}.
