Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Zürich
D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 10
FERIENSERIE, Aufgaben 1-5
1. a) Stellen Sie folgende Mengen in der komplexen ZahlenebeneCdar:
1. {z ∈C;|z|= 1}
2. {z ∈C;|z| ≥√ 5}
3. {z ∈C; argz= π4}
4. {z ∈C;|z| ≤3, π≤argz≤ 3π2 } 5. {z ∈C; 1 ≤ |z| ≤2}
6. {z ∈C; 2 ≤ |z| ≤4,−π3 ≤argz ≤ −π6} 7. {z ∈C; argz= π6, Rez ≤2}
8. {z ∈C;|z| ≤2, Imz ≥1}.
b) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Formz =a+ib: 1. z= −1+2i5−5i
2. z= (1+2i1 )3
2. Bestimmen Sie Rez,Imz,|z|,argz, wenn für die komplexe Zahlz gilt a)
|1/z|= 3, arg ¯z = 240◦
b)
z = −1 +i√ 3 1 +i√
3
c)
|i¯z|= 5, Re(i¯z) = 3
d)
arg(i¯z) = 300◦, Imz i = 2
Bitte wenden!
3. a) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Formz =a+ib,a, b∈R. i)
z1 = −√
3 + 1−i(√ 3 + 1) 1 +i
ii)
z2 = (√
3 +i)6(1−i) iii)
z3 =e−iπ/4 iv)
z4 = 1 e2π/3 v)
z5 =ie−iπ/6 vi)
z6 =ii
b) Bestimmen Sie zusätzlich i)
argz1 ii)
(z3)2z4
iii) z4
z5
Siehe nächstes Blatt!
4. Bestimmen Sie alle komplexen Zahlenz, für die gilt a)
z2 =i
b)
z3 =−1
c)
z4 = 81(√ 3 +i)
−√ 3 +i
d)
4zz¯+ (z−z)¯ 2 = 3
e)
iz2+ 2z+√ 3 = 0
5. a) Bestimmen Siesin 75◦, cos 75◦ sowiesin 105◦, cos 105◦theoretisch genau. Be- nützen Sie dazu die komplexe Exponentialfunktion eiϕ = cosϕ + isinϕ, ϕ∈R.
b) Drücken Siesin 3αrespektivecos 3αdurchsinαrespektivecosαaus, indem Sie wiederum die komplexe Exponentialfunktion verwenden.
c) Wie lautet die Linearfaktorzerlegung vonx4−2x2−8? d) Welches Polynom hat die drei Nullstellen 1,1 +i,1−i?
Abgabe:Freitag, 5. März 2010, in der Übungsstunde.
