Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich
D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 11
L¨ osungen zur Serie 2
1. Die Niveaulinien lassen erf¨ullen die Gleichung x+y+z =c, also parallele Geraden in der xy-Ebene.
-4 -2 2 4
-8 -6 -4 -2 2 4 6
2. a) Die Niveaulinien kann man wie folgt analytisch beschreiben LN =
{
(x, y)∈R2|y=±√
N ex2/3−x2 }
, wobei N das Niveau ist.
Eine zweite M¨oglichkeit w¨are die Taylorentiwicklung der Exponentialfunk- tion zu betrachten:
x2+y2 =N (
1 + x2 3 + x4
18 +· · · )
Der genaue Plot ist:
K3 K2 K1 0 1 x 2 3 y
K4 K2 2
b) Aus der Figur kann man schliessen, dass f¨ur kleine xund ysieht der Graph von f ungef¨ahr wie ein (elliptisches) Paraboloid aus.
F¨ur gr¨ossere x f¨allt die Exponentialfunktion seht schnell ab, somit ist der Graph im Bereich {|x| ≫1, y < x} fast flach.
In einer Umgebung dery−Achse stehen mehrere Niveaulinien senkrecht zur Achse, d.h. die Funktion steigt schnell in der y-Richtung.
Der genaue 3D−Plot ist:
Siehe n¨achstes Blatt!
-4
-2
0
2
4
-4 -2
0 2
4
0 10 20
-4
-2
0
2
4
3. a) Den gesuchten Definitionsbereich kann man bestimmen, in dem man alle F¨alle betrachtet f¨ur die ab existiert.
Offensichtlich, wenn a > 0 (und b beliebig) ist, kann man ab := ebloga setzten.
Wenn a < 0 ist, kann man nur b = n ∈ Z oder b =p/q ∈ Q (mit p und q teilerfremd) w¨ahlen um eine sinnvolle Definition zu erhalten.
Im ersten Fall ist an:=a| {z }·a· · ·a
nmal
f¨ur n≥0 oder an:= 1 a·a· · ·a
| {z }
ciao
f¨urn <0.
Im zweiten Fall setzt man ap/q := (√q
a)p, was wohldefiniert ist, sobald q ungerade ist.
00 ist ein Spezialfall, f¨ur den keine endg¨ultige Argumentation gibt.
Die Konvention 00 = 1 ist also aus praktischen Gr¨unden sinnvoll, weil sie die Formulierung vieler mathematischer Ausdr¨ucke vereinfacht. 00 = 1 per Definition bedeutet aber keineswegs, dass die Funktion ab an der Stelle a= b= 0 stetig w¨are.1
1(vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz (Mathematik))
mit
A={
(x, y)∈R2 sinx >0, y ∈R} B =
{
(x, y)∈R2 sinx <0, y = p
2n+ 1, p∈Z, n∈N }
C ={0} ×R+
b) Die lineare Approximation w¨urde mit Hilfe der Taylorentwicklung bestimmt f(x, y)≃f
(π 6 ,2
) +∂f
∂x (π
6 ,2 )·(
x− π 6
) +∂f
∂y (π
6 ,2
)·(y−2) =
= (
sinπ 6
)2
+ 2 cosπ 6
( sinπ
6 )2−1(
x− π 6
) + log
( sinπ
6 ) (
sinπ 6
)2
(y−2) =
= 1 4+
√3 2
( x− π
6 )
+ log1 2· 1
4(y−2) Insbesondere, wenn wir x= 31◦ = 31π
180 und y= 1.98 einsetzen (sin 31◦)1.98 =f
(31π 180,1.98
)
≃ 1 4 +
√3 2
π
180 + log 2· 0.02
4 ≃0,26858 c) In aller Punkten, in welchen die partiellen Ableitungen existieren, stimmen
fxy und fyx uberein¨
fx =y cosx(sinx)y−1 ⇒ fxy = cosx(sinx)y−1+y cosx log sinx(sinx)y−1 =
= cosx(sinx)y−1(1 +y log sinx)
fy = log sinx(sinx)y ⇒ fyx = cosx
sinx (sinx)y+y log sinx cosx(sinx)y−1 =
= cosx(sinx)y−1(1 +y log sinx)
4. a) Der Definitionsbereich ist
D={(x, y)∈R2(x2−1)y >−1} Fallunterscheidung:
i)|x|<1 : y < −1
x2−1 = 1
1−x2 (>0), ii)|x|>1 : y > −1
x2−1 (<0).
Die Skizze der Grenzen des Definitionsbereiches D sieht wie folgt aus:
Siehe n¨achstes Blatt!
-4 -2 2 4
-2 -1 1 2 3
Der Gradient ist allgemein
gradf =
∂f
∂f∂x
∂y
=
2xy
(x2−1)y+ 1 + 4 x2−1 (x2−1)y+ 1
,
und im Punkt P(1,1)
gradf (1,1)
= (6
0 )
.
Der Wert der Niveaulinie vonf inP(1,1) ist
f(1,1) = ln((12−1)·1 + 1) + 4·1 = ln(1) + 4 = 4.
Ein Tangentialvektor an die Niveaulinie steht senkrecht auf dem Gradienten gradf; w¨ahle also etwa
⃗t= (0
1 )
.
b) Um die kritischen Punkte von f zu bestimmen, muss man die Gleichung gradf = 0l¨! osen. Aus a)folgt nun
x2−1
(x2−1)y+ 1 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇒ x1,2 =±1 und damit
±2y+ 4 = 0 ⇒ y1 =−2, y2 = 2.
Die kritschen Punkte sind also (1,−2) und (−1,2).
