Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich
D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 12
L¨ osungen zur Serie 1
1. Siehe separates pdf.
2. Df1 ={(x, y)∈R2
x6= 0}.
f1(Df1) =R; Df2 ={(x, y)∈R2
x2+y2 ≤1}
f2(Df2) = [0,1];
Df3 ={(x, y)∈R2
x+y >0}
f3(Df3) =R;
Df4 =R2 f4(Df4) = R≥0; F¨ur die Niveaulinien erhalten wir:
f1(x, y) = c ⇔ y = cx. Die Niveaulinien zu f1 sind also Geraden durch den Nullpunkt.
f2(x, y) = c ⇔ x2+y2 = 1−c2. Hier sind die Niveaulinien also konzentrische Kreise um den Ursprung.
f3(x, y) =c⇔y=ec−x. Die Niveaulinien sind Geraden mit Steigung −1 und positivem Achsenabschnitt.
f4(x, y) = c ⇔ x2 +y2 = c. Dies sind konzentrische Kreise mit Mittelpunkt 0 und Radius √
c.
−10
−5 0
5
x 10−10
−5 0
5 10
y
−40
−30
−20
−10 0 10 20 30 40
f2(x, y) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
−1−0.8
−0.6−0.4
−0.2 0 0.2 0.4
0.6 0.8 1
x −1−0.8−0.6−0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
f3(x, y) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 −0.5
−10
−5 0
5
x 10−10
−5 0
5 10
y
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
f4(x, y) 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20
−10
−5 0
5
x 10−10
−5 0
5 10
y 0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
3. a) Die Niveaulinien lassen erf¨ullen die Gleichung x+y+z =c, also parallele Geraden in der xy-Ebene.
Siehe n¨achstes Blatt!
b) 1. Den gesuchten Definitionsbereich kann man bestimmen, in dem manalle F¨alle betrachtet f¨ur dieab existiert.
Offensichtlich, wenn a > 0 (und b beliebig) ist, kann man ab := ebloga setzten.
Wenn a < 0 ist, kann man nur b =n ∈Z oder b =p/q ∈ Q (mit p und q teilerfremd) w¨ahlen um eine sinnvolle Definition zu erhalten.
Im ersten Fall ist an := a·a· · ·a
| {z }
nmal
f¨ur n ≥ 0 oder an:= 1 a·a· · ·a
| {z }
ciao
f¨ur n <0.
Im zweiten Fall setzt man ap/q := (√q
a)p, was wohldefiniert ist, sobald q ungerade ist.
00 ist ein Spezialfall, f¨ur den keine endg¨ultige Argumentation gibt.
Die Konvention 00 = 1 ist also aus praktischen Gr¨unden sinnvoll, weil sie die Formulierung vieler mathematischer Ausdr¨ucke vereinfacht. 00 = 1 per Definition bedeutet aber keineswegs, dass die Funktion ab an der Stelle a=b= 0 stetig w¨are.1
Der Definitionsbereich der gegebenen Funktion ist dann D=A∪B∪C, mit
A=
(x, y)∈R2
sinx >0, y ∈R B =
(x, y)∈R2
sinx <0, y = p
, p∈Z, n ∈N
stimmt f(x, y)'fπ
6 ,2 +∂f
∂x π
6,2
· x− π
6
+∂f
∂y π
6 ,2
·(y−2) =
= sinπ
6 2
+ 2 cosπ 6
sinπ
6 2−1
x− π 6
+ log sinπ
6 sinπ 6
2
(y−2) =
= 1 4+
√3 2
x− π
6
+ log1 2· 1
4(y−2) Insbesondere, wenn wir x= 31◦ = 31π
180 und y= 1.98 einsetzen (sin 31◦)1.98=f
31π 180,1.98
' 1
4 +
√3 2
π
180 + log 2·0.02
4 '0,26858 3. In aller Punkten, in welchen die partiellen Ableitungen existieren, stim-
men fxy und fyx ¨uberein
fx =y cosx(sinx)y−1 ⇒ fxy = cosx(sinx)y−1+y cosx log sinx(sinx)y−1 =
= cosx(sinx)y−1(1 +y log sinx) fy = log sinx(sinx)y ⇒ fyx = cosx
sinx (sinx)y+y log sinx cosx(sinx)y−1 =
= cosx(sinx)y−1(1 +y log sinx)
4. a) Der Definitionsbereich ist
D={(x, y)∈R2
(x2−1)y >−1}
Fallunterscheidung:
i)|x|<1 : y < −1
x2−1 = 1
1−x2 (>0), ii)|x|>1 : y > −1
x2−1 (<0).
Die Skizze der Grenzen des Definitionsbereiches D sieht wie folgt aus:
Siehe n¨achstes Blatt!
Der Gradient ist allgemein
gradf =
∂f
∂f∂x
∂y
=
2xy
(x2−1)y+ 1 + 4 x2−1 (x2−1)y+ 1
,
und im Punkt P(1,1)
gradf (1,1)
= 6
0
.
Der Wert der Niveaulinie vonf inP(1,1) ist
f(1,1) = ln((12−1)·1 + 1) + 4·1 = ln(1) + 4 = 4.
Ein Tangentialvektor an die Niveaulinie steht senkrecht auf dem Gradienten gradf; w¨ahle also etwa
~t= 0
1
.
b) Um die kritischen Punkte von f zu bestimmen, muss man die Gleichung gradf = 0l¨! osen. Aus a)folgt nun
x2−1
