L¨ osungen zur Serie 9

Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich

D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 09

L¨ osungen zur Serie 9

1. Der Definitionsbereich besteht aus die untere Teil der Kreisscheibe um (0,0) mit Radius 5.

Da die Funktion zu beiden Hauptachsen Spiegelsymmetrisch ist f(x, y) = f(−x, y) =f(x,−y) =f(−x,−xy) sollten die Extremalstelle sich an die gleiche Symmetrie anpassen.

Die Extremalstellen innerhalb vonD erf¨ullen

∇f(x, y) =

−4x 2y

= 0! ⇔ (x, y) = (0,0)

Ein eigenwert ist positiv und der andere negativ: die Hessesche Matrix ist also indefinit und somit (0,0) ist ein Sattelpunkt.

Um die Extremalstelle auf dem Rand ∂D zu bestimmen, mussen wir die beiden Strecken die ∂D aufstellen parametrisieren.

P₁P₂ :=n

(x, y)∈∂D⊂R²

x∈[−3,3], y = 4o Hier kann man g(x) :=f(x,4) =−2x²+ 15 definieren.

Dann ist

g⁰(x) =−4x= 0^! ⇒ x= 0

und da g⁰⁰(x) = −4 < 0 f¨ur alle x ∈ P₁P₂ gilt, ist (x, y) = (0,4) ein lokales Maximum. Insbesondere ist g(0) =f(0,4) = 15.

_

P1P2: = n

(x, y)∈∂D⊂R²

x²+y² = 25, y ≤4 o

=

=n

x= 5 cost , y = 5 sint

t∈[0,2π]\_[t0,π−t0]

o , wobei t₀ = arctan(4/3) ist.

AufP^_₁P₂ definieren wir h(t) =f(5 cost,5 sint) = 25 sin²t−50 cos²t−1. Dann ist

h⁰(t) = 50 sintcost−100 cost(−sint) = 150 sintcost0^! ⇒ t = 0,π

2, π ,3π 2 Wir betrachten dann die 2. Ableitung

h⁰⁰(t) := 150 (sint(−sint) + costcost) = 150 (cos²t−sin²t)

Es gilt¹ h⁰⁰(0) = h⁰⁰(π) = 150 >0 und h⁰⁰(³₂^π) =−150 <0: die Funktion besitzt zwei (lokale) Maxima bei (±5,0) und ein Minimum bei (0,−5).

Wenn wir alle obige Funktionswerte mit der Werten die dief bei den Eckpunkten annimnt (f(±3,4) = −3), k¨onnen wir schliessen, dass die gegebene Funktion besitzt:

• ein globales Maximum bei (0,−5) mitf(0,−5) = 24;

• zwei globale Minima bei (±5,0) mitf(±5,0) =−51.

1Wir lassen den Punkt t= ^π₂ weg, da ^π₂ ∈[t₀, π−t₀] ist und somith(^π₂)∈/ ∂D.

2. • Der Gradient von S ist

∇S(m, q) = ∂S

∂m(m, q)

∂S

∂q(m, q)

=

2Pn

j=1x_j(mx_j+q−y_j) 2Pn

j=1(mx_j+q−y_j)

= 2

mS_xx+qS_x−S_xy mS_x+nq−S_y

= 2

S_xx S_x S_x n

m q

−2 S_xy

Sy

wobei

S_xx =

n

X

j=1

x²_j, S_xy =

n

X

j=1

x_jy_j,

S_x =

n

X

j=1

x_j, S_y =

n

X

j=1

y_j.

Ein Punkt (m₀, q₀) ist kritisch genau dann wenn∇S(m₀, q₀) = 0 oder ¨aquiv- alent:

S_xx S_x S_x n

m₀ q0

= S_xy

Sy

⇔ m₀

q₀

=

S_xx S_x S_x n

⁻¹ S_xy

S_y

= 1

nS_xx−S_x²

n −S_x

−Sx Sxx

S_xy S_y

= 1

nS_xx−S_x²

nS_xy −S_xS_y S_xxS_y−S_xyS_x

.

Dieser kritische Punkt ist eindeutig, solange die Determinante der zu in- vertierenden Matrix nicht verschwindet, was immer der Fall ist, da die x_j paarweise verschieden sind (siehe Erg¨anzungen).

• F¨ur jede Richtung ^v_v^m

q

∈S² ={v ∈R²||v|= 1}bilden wir den Pfadγ(t) :=

vm

vq

t vom Ursprung nach ∞ (t∈[0,∞). Dann gilt:

S(γ(t)) =

n

X

j=1

(t(v_mx_j+v_q)−y_j)².

• Der Graph vonS ist somit ein nach oben ge¨offnetes Paraboloid (nicht unbe- dingt rotationssymmetrisch, siehe Erg¨anzungen) mit dem Minimum beim kritischen Punkt.

Erg¨anzungen:

• nSxx−S_x² 6= 0:

Sieht man ein in dem man schreibt:

S_xx =|x|² S_x =hx,(1, . . . ,1)^Ti, wobei x= (x₁, . . . , x_n), denn dann gilt:

S_x² =hx,(1, . . . ,1)^Ti² ≤ |x|²· |(1, . . . ,1)^T|² =nS_xx

mit Gleichheit nur dann, wenn x und (1, . . . ,1)^T (anti-)parallel sind. Dies kann aber nicht sein, da die x_i paarweise verschieden sind. Somit ist auch die Determinante ungleich Null.

• Um das Paraboloid besser beschreiben zu k¨onnen, bietet sich die Tayloren- twicklung um den kritischen Punkt (m₀, q₀) an. Da S(m, q) ein Polynom 2.

Grades in den Variablen m und q ist, ist die Taylorentwicklung mit dem 2.

Glied bereits vollst¨andig:

S(m, q) =S(m₀, q₀) +h∇S(m₀, q₀),(m−m₀, q−q₀)^Ti +1

2(m−m₀, q−q₀)H(m₀, q₀)(m−m₀, q−q₀)^T,

wobei H die Hessematrix von S ist. Da (m₀, q₀) gerade so gew¨ahlt wurde, dass ∇S(m₀, q₀) = 0, gilt sogar:

S(m, q) = S(m₀, q₀) + 1

2(m−m₀, q−q₀)H(m₀, q₀)(m−m₀, q−q₀)^T. Die Niveaulinien von S sind somit Ellipsen um den kritischen Punkt mit den Eigenvektoren der Hessematrix als Hauptachsen (L¨ange entspricht den Eigenwerten), da die zugeh¨origen Gleichungen gerade verallgemeinerte El- lipsengleichungen sind (zerlege (m−m₀, q−q₀) in eine Linearkombination aus den normierten Eigenvektoren).

3. a)

-4 -2 0 2 4 -4

-2 0 2 4

-4

-2

0

2

4 -4

-2 0

2 4

-100 0 100 200

-4

-2

0

2

4 -4

-2 0

2 4

b)Die kritische Stellen der gegeben Funktion sind die Nullstellen des Gradienten

∇f(x, y) =

2x+ 6y 2y+ 6x

!

= 0

0

⇔

( x=−3y x=−1

3y ⇒ (x, y) = (0,0) Wir mussen also nur den Ursprung nachpr¨ufen. Die Hessesche Matrix vonf an der Stelle (0,0) lautet

Hf(0,0) =

2 6 6 2

.

Das zugeh¨orige charakterische Polynom det(Hf −λ1) =

2−λ 6 6 2−λ

=λ²−4λ−32 = (λ−8)(λ+ 4)

hat zwei Nullstellen λ₁ = 8 > 0 und λ =−4 <0: die Hessesche Matrix ist im Punkt (0,0) indefinit, ergo ist der Ursprung ein Sattelpunkt.

c) Die in der obigen Unteraufgaben angestellte Berechnung zeigt, dass (x₀, y₀) auch ein Sattelpunkt sein kann, obwohl∇f(x₀, y₀) = 0 sowie ^∂_∂x^2f2(x₀, y₀)>0 und

∂²f

∂y²(x0, y0)>0 ist.

4. Die Arbeit eines Vektorfeldes F entlang eines Weges γ ∈ R² von A bis B ist gegeben durch

−1

wobei γ : [u, v] → R² eine (beliebige) Parametrisierung des Weges γ ⊂ R² ist.

(mit γ(u) =A und γ(v) = B)

a) Wir wh¨alen die folgende Parametrisierung γ(t) =

1−t 2t

mit t ∈ [0,1].

Dann ist ˙γ(t) = −1

2

und F(γ(t)) = γ₁t

γ₂(t)

=

1−t 2t

. Die Arbeit ist

A= Z 1

0

1−t 2t

· −1

2

dt = Z 1

0

(5t−1)dt= 5

2t²−t²

1 0 = 3

2. b) Den Parabelbogen parametrisieren wir durch γ(t) =

t t²

mit t ∈ [0,1].

Dann ist ˙γ(t) = 1

2t

und F(γ(t)) =

γ₁t γ₂t

−γ₂(t)

= t³

−t²

. Insgesamt

A= Z 1

0

t³

−t²

· 1

2t

dt = Z 1

0

(t³−2t³)dt =−t⁴ 4

1 0 =−1

4. c) Wir w¨ahlen die gew¨onliche Parameterdarstellung des Kreises:

γ(t) =

cost sint

mit t∈[0,2π]. Daraus ergibt sich

˙ γ(t) =

−sint cost

und F(γ(t)) =

2γ₁(t)−γ₂(t) γ₁(t) + 2γ₂(t)

=

2 cost−sint cost+ 2 sint

.

und somit A=

Z 2π 0

2 cost−sint cost+ 2 sint

·

−sint cost

dt=

= Z 2π

0

−2 sintcost+ sin²t+ cos²

| {z }

=1

+2 sintcost

! dt=

= Z 2π

0

1dt =t

2π

0 = 2π .

d) Eine Ellipse um (x₀, y₀) mit Halbachsena, b erf¨ullt die Gleichung (x−x0)²

a² + (y−y0)² b² = 1.

Aus der Parameterdarstellung des Kreises kann man leicht eine Parame- triesierung der obigen Ellipse herleiten, in den man x bzw. y mit a bzw. b skaliert und dann um x₀ bzw. y₀ verschiebt. Dann ist

γ(t) = x(t)

y(t)

=

x₀ +a cost y0+b sint

mit t∈[0,2π]. Insbesondere lautet die Parameterdarstellung der gegebenen Ellipse γ(t) =

1 + cost

−2 + 2 sint

und somit

˙ γ(t) =

−sint 2 cost

und F(γ(t)) = 1 2

−γ₂(t) γ₁(t)

= 1 2

2−2 sint 1 + cost

.

Die Arbeit ist dann A=

Z 2π 0

2−2 sint 1 + cost

·1 2

−sint 2 cost

dt =

= 1 2

Z 2π 0

−2 sint+ 2 sin²t+ 2 cost+ 2 cos²t dt =

= Z 2π

0

sin²t+ cos²t

| {z }

=1

dt=t

2π 0

= 2π .

In der obigen Berechnung haben wir die Eigenschaft der Sinus- und Cosi- nusfunktion verwendet, umR2π

0 sint dtsowie R2π

0 cost dt wegzukurzen.

e) Bei b) k¨onnten wir z.B. den Parabelbogen wie folgt parametrisien γ(t) =

√ t t

mit t ∈[0,1], γ(t) =˙ 1

2√ t

1

und F(γ(t)) = t√

t

−t

Dann ist A=

Z 1 0

t√ t

−t

· 1

2√ t

1

dt = Z 1

0

t 2 −t

dt =−t² 4

1 0 =−1

4.

Wir haben also verifiziert, dass die Arbeit unab¨angig von Wahl der Parametrisierung ist.

5. Wir parametrisieren die zu betrchtenden Kurven wie folgt

a)γ₁(t) = t

2t

, t ∈[0,1] und γ˙₁(t) = 1

2

b)γ2(t) = t

2t²

, t ∈[0,1] und γ˙2(t) = 1

4t

c)γ₃(t) = t²

2t

, t∈[0,1] und γ˙₃(t) = 2t

2

Dann ist f¨ur F(x, y) = (x y,2y²)^T a)

A₁ = Z

γ1

F ·ds= Z 1

0

2t² 2t²

· 1

2

ds= Z 1

0

6t²dt = 2t³

1 0

= 2

b)

A₂ = Z

γ2

F ·ds= Z 1

0

2t³ 2t²

· 1

4t

ds = Z 1

0

10t³dt = 10 4 t⁴

1 0

= 5 2 c)

A₃ = Z

γ3

F ·ds= Z 1

0

2t³ 2t⁴

· 2t

2

ds= Z 1

0

8t⁴dt = 8 5t⁵

1 0

= 8 5