Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich
D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 09
L¨ osungen zur Serie 8
1. a) Wir betrachten die folgende zwei Kurven die durch den Punkt
0,0, f(0,0) gehen
g(x) := f(x,0) =e−(x2−2x+2) h(y) :=f(0, y) = e−(y2+3y+2) Aus die Ableitungen
g0(x) = e−(x2−2x+2)(2−2x) ⇒ g0(0) = 2e−2 h0(y) =e−(y2+3y+2)(−3−2y) ⇒ h0(0) =−3e−2 folgt, dass die Vektoren
vg = (1,0,2e−2)T und vh = (0,1,−3e−2)T
die gesuchte Ebene E an das Bild vonf im Punkt (0,0) aufspannen.
x y z
=
0 0 e−2
+µ
1 0 2e−2
+λ
0 1
−3e−2
.
Die Koordinatengleichung (implizite Darstellung) kann man aus die Gle- ichunghvg×vh,(x, y, z)Ti=f(0,0) herleiten: ausvg×vh = (−2e−2,3e−2,1)T folgt
E =
(x, y, z)∈R3
z = 2e−2x−3e−2y+e−2 .
Das gleiche Resultat k¨onnte man kriegen, in den man im obigen System nachλ und µeliminiert (x=µ und y=λ).
In der linearen Approximation gilt
f(x, y) = f(0,0) +h∇f(0,0),(x, y)Ti,
und da ∇f(x, y) = e−(x2+y2−2x+3y+2)(−2x + 2,−2y− 3)T ist, lautet die obige Formel
f(x, y) =e−2+e−2(2x−3y).
Die lineare Approximation von f entspricht also der Koordinatengleichung
b) Die Niveaulinie durch O(0,0) ist definiert als (x, y)∈R2
f(x, y) =f(O) = e−2 , d.h.
x2+y2−2x+ 3y = 0.
Wenn wir obigen Ausdruck in (x−1)2+(y+32)2 = 134 umformulieren, k¨onnen wir einen Kreis um M(1,−32) mit Radius R=
√ 13
2 anerkennen.
Andererseits ist der Gradient im Punkt (0,0)
∇f(0,0) =e−2 2
−3
parallel zu (1,−32)T und somit steht er senkrecht auf der Niveaulinie, da er in die Richtung des Radius zeigt.
c) Die Tangentialebene ist parallel zur (x, y)−Ebene falls g0(x) = 0
h0(y) = 0
⇔a) (x, y) = (1,−3 2) Die Niveaulinie durch (1,−32) lautet
(x, y)∈R2
f(x, y) =f(1,−3
2) =e−5/4
. Der Punkt (1,−32) ist ein Maximum, da aus
f(x, y) =e−d, mit d= (x−1)2+ (y− 3 2)2−5
4
folgt, dassd =−54 minimal ist und f somit bei (1,−32) maximal wird.
d) Aus die vorherige Argumentation folgt, dass jede Niveaulinie einen Kreis entspricht.
f(x, y) 3 2.5 2 1.5 1 0.5
−1−0.5 0 0.5
1 1.5 2 2.5 x 3
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5 0
y 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
2. a) Definitionsbereich D(f)⊆R2:
F¨ur (x, y) 6= (0,0) ist x2+y2 6= 0 und somit f(x, y) = x2+yy 2 . F¨ur (x, y) = (0,0) ist f(x, y) nicht definiert. Also istD(f) =R2\ {(0,0)}.
Wertebereich W(f)⊆R:
Es istf(x,0) = 0 f¨ur allex6= 0, und f¨ur festes a6= 0 haben wirf 0,1a
=a.
Also ist W(f) = R.
b) Zur Bestimmung der Niveaulinien muss die Gleichung x2+yy 2 = c f¨ur festes c∈R gel¨ost werden.
Im Fall c = 0 ist die Niveaulinie die x-Achse ohne den Punkt (0,0), d. h.
{(x,0) :x∈R\ {0}}.
Im Fall c 6= 0 schreiben wir x2 +y2 − yc = 0, erg¨anzen quadratisch und erhalten
x2+ y− 1
2c 2
= 1
4c2 , (x, y)6= (0,0).
Dies ist ein Kreis mit Mittelpunkt 0,2c1
und Radius r = 2|c|1 ohne den Punkt (0,0).
c) Die Gleichung der Tangentialebene des Graphen von f ¨uber dem Punkt (x0, y0) lautet
z =f(x0, y0) + ∂f
∂x(x0, y0) (x−x0) + ∂f
∂y(x0, y0) (y−y0).
Die partiellen Ableitungen sind
∂f(x, y) = −2xy
, ∂f
(x, y) = x2−y2
=⇒
∇f(1,1) = −12
0
. Die gesuchte Tangentialebene hat also die Gleichung
z = 1 2− 1
2(x−1) oder x+ 2z = 2.
d) Die RichtunsableitungDvf ist per Konstruktion maximal, wennv k ∇f ist, d.h. in Richtung von
v = ∇f(1,1)
|∇f(1,1)| = 1 1/2
−12 0
= −1
0
.
Der zugeh¨orige Wert ist dann Dvf(1,1) =|∇f(1,1)|= 12.
3. a) Die gegebene Funktion ist wohldefiniert sobald das Argument des Logarith- mus positiv ist, d.h.
Df =n
(x, y)∈R2
(x2−1)y >−1o .
Um den Definitionsbereich zu skizzieren ist die folgende Fallunterscheidung n¨utzlich:
i) wenn |x|<1 ist, mussy < −1
x2−1 = 1
1−x2(>0) sein;
ii) wenn |x|>1 ist, mussy >− 1
x2−1(<0) sein;
iii) wenn x = ±1(sowie wenn y = 0) ist, ist die Funktion f¨ur alle y ∈ R (bzw. f¨ur alle x∈R) wohldefiniert.
Der Gradient lautet
∇f(x, y) = ∂f
∂x
∂f
∂y
=
2x y
(x2−1)y+ 1 + 4, x2−1 (x2−1)y+ 1
T
,
und insbesondere ∇f(1,1) = 6
0
.
Der Wert der Niveaulinie vonf inP(1,1) ist definitionsgem¨assf(1,1) = 4.
Ein Tangentialvektor~tan die Niveaulinie steht senkrecht auf dem Gradien- ten ∇f und hat per Konstruktion keine Komponente inz−Richtung, w¨ahle also etwa~t= (0,1,0)T.
b) Das Bild von f ist
F=n
(x, y, z)∈R3
f(x, y) =zo , also Niveaufl¨ache der Funktion
F(x, y, z) :=f(x, y)−z zum Niveau 0.
Der Normalenvektor~n der Tangentialebene an F im Punkt
ist gelich dem Gradienten vonF inQ, also mit∇F(x, y, z) = (∇f(x, y),−1)T
~
n =∇F(1,0,4) = (∇f(1,0),−1)T = (4,0,−1)T .
Die Koordinatengleichung der Tangentialebene ist dann~n·(~x−Q) = 0, d.h.
4 0
−1
·
x−1
y z−4
= 0 ⇔ 4x−z = 0.
4. a) Die verkettete Funktion h:R2 →R2 lautet
h(u, v) = g
f(u, v)
=
ln(eu+v) + ln(e−u) e2u+v eu+veu
= v
e2u
.
Mit Hilfe der expliziten Formel f¨ur h k¨onnen wir die Ableitung direkt bes- timmen
dh(u, v) =
∂h1
∂u
∂h1
∂v
∂h2
∂u
∂h2
∂v
=
0 1 2e2u 0
.
Um die Kettenregel zu verwenden brauchen wir zun¨achst die Ableitungen von f und g
df(u, v) =
eu+v eu+v
−e−u 0 2e2u+v e2u+v
,
dg(x, y, z) =
1 x
1
y 0
− z
x2y − z x y2
1 x y
,
und somit
dg(f(u, v)) =
e−(u+v) eu 0
−eu−v −e3u e−v
Aus der Matrzienmultiplikation ergibt sich die Ableitung vonhals verkettete Funktion
dh(u, v) =dg(f(u, v)) · df(u, v) =
=
1−1 + 0 1 + 0 + 0
−e2u +e2u+ 2e2u −e2u +e2u
=
0 1 2e2u 0
. Wir haben also explizit verifiziert, dass die Kettenregel stimmt.
b) Die Tangentialebene an F in dem zu (0,0) geh¨origen Fl¨achenpunkt wird aufgespannt durch die Vektoren fu(0,0) undfv(0,0), wobei
fu(u, v) =
eu+v
−e−u 2e2u+v
=⇒ fu(0,0) =
1
−1 2
,
und
fv(u, v) =
eu+v
0 e2u+v
, =⇒ fv(0,0) =
1 0 1
.
Der Normalenvektor ~n der Tangentialebene an F in (0,0) steht senkrecht dazu:
~
n =fu(0,0)×fv(0,0) =
1
−1 2
×
1 0 1
=
−1 1 1
.
Man k¨onnte dann zus¨atlich~nnormieren (|~n|=√
3) und eventuell pr¨ufen ob
~n nach aussen zeigt.
5. MitMapleund dem Packetlinalgoder mitMathematicakann man schlussendlich seine Resultate verifizieren.
