L¨ osungen zur Serie 6

Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich

D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 10

L¨ osungen zur Serie 6

1. a) Es sei z =re^iϕ. 1. Wegen 1−i=√

2e^−iπ/4 ist nach Voraussetzung π = arg

z 1−i

=ϕ+π/4, also ϕ= 3π/4 und

√ 2 =

ze^iπ/3 1−i

= r

√2

e^−2π/3 = r

√2, also r= 2. Mithin istz =−√

2 +i√ 2.

2. Wegen 1−i=√

2e^−iπ/4 und 1−√

3i= 2e^−iπ/3 ist nach Voraussetzung re^iϕ

4e^−iπ/4e^−iπ/3 3

= r

4 3

e^i(ϕ+127π) 3

=e^−iπ/4, also z_k=r_ke^iϕk = 4e^{iπ(−2−2k3 )}, k = 1,2,3, i.e.

z₁ = 4, z₂ = 4e^i2π/3 =−2 + 2√

3i, z₃ = 4e^i4π/3 =−2−2√ 3i.

b) 1. Es ist

sin 7π

4

= sin

−π 4

= cosπ 2 +π

4

= cos 3π

4

und daher tan

arccos

sin

7π 4

= tan

arccos

cos 3π

4

= tan 3π

4

=−1, falls der Hauptzweig des Arkussinus verwendet wird.

Anderenfalls ergibt sich tan

arccos

sin

7π 4

= tan 5π

4

= 1.

2. Eine partielle Integration ergibt Z π/2

0

tsintdt=−tcost|^π/2₀ + Z π/2

0

costdt

=−tcost|^π/2₀ + sint|^π/2₀ = 1.

3. Durch partielle Integration findet man Z 1

0

t²(1−t)³dt= t²−(1−t)⁴ 4

1

0

+2 4

Z 1

0

t(1−t)⁴dt

= 1

2 t−(1−t)⁵ 5

1

0

+ 1 5

Z 1

0

(1−t)⁵dt

!

= 1 10

Z 1

0

(1−t)⁵dt= 1 10

−(1−t)⁶ 6

1

0

= 1 60. c) Die homogene Gleichung

˙

x(t) (t+ 1) +x(t) = 0 l¨aßt sich durch Separation l¨osen:

dx

dt =− x

t+ 1 ⇒

Z 1

0

dx x =−

Z 1

0

dt t+ 1,

also ln_x(0)^x(t) = ln_t+1¹ und somit x(t) = ^x(0)_t+1. Eine partikul¨are L¨osung findet man etwa durch den Ansatz

x(t) = at³+bt²+ct+d.

Setzt man dies in die DGL ein, erh¨alt man

4at³+ 3(a+b)t²+ 2(b+c)t+c+d=t³

und ein Koeffizientenverglich liefert a= ¹₄, b=−¹₄,c= ¹₄, d=−¹₄, also x(t) = t³

4 − t² 4 + t

4− 1

4 = t⁴−1 4(t+ 1). Die allgemeine L¨osung ist damit

x(t) = t⁴−1

4(t+ 1) + C t+ 1 und mit der Anfangsbedingung x(0) =√

5 ergibt sich

√

5 = −1 4 +C

also x(t) = _4(t+1)^t4 +

√5 t+1.

Alternativ l¨aßt sich die inhomogene Gleichung

˙

x(t) (t+ 1) +x(t) = t³

auch durch V.d.K. l¨osen. Der Ansatz x(t) = C(t)^x(0)_t+1 f¨uhrt auf t³ =

Cx(0)(t˙ + 1)−Cx(0)

t+ 1 +Cx(0)

t+ 1 = ˙Cx(0), also C = _4x(0)^t4 + 1 und somit x(t) = _4(t+1)^t4 + ^x(0)_t+1.

2. a) 1. Es ist

d

dtcosht = d dt

1

2 e^t+e^−t

= 1 2

d

dte^t+ d dte^−t

= 1

2 e^t−e^−t

= sinht 2. Es sind

(cosht)² = 1 4

e^t2

+ 2e^te^−t+ e^−t2

= 1

4 e^2t+ 2 +e^−2t , (sinht)² = 1

4

e^t2

−2e^te^−t+ e^−t2

= 1

4 e^2t−2 +e^−2t ,

also (cosht)²−(sinht)² = 4/4 = 1.

b) Die L¨ange der Kurvenbogens ist gegeben durch Z 1

−1

q

1 + ((cosht)˙)²dt= Z 1

−1

q

1 + (sinht)²dt= Z 1

−1

q

(cosht)²dt

= Z 1

−1

coshtdt= Z 1

−1

(sinht)˙dt

= sinht|¹₋₁ = 2 sinh 1.

c) Es sind d

dtcosht= sinht, d²

dt² cosht= cosht, d³

dt³ cosht= sinht.

Wegen sinh 0 = 0 und cosh 0 = 1 ist daher j₀³cosht = 1 + t²

2.

d) 1. Mit de L’Hospital findet man limt→0

sinht

log(1 +t) = lim

t→0 d dtsinht

d

dtlog(1 +t) = lim

t→0((1 +t) cosht) = 1.

2. Es ist

sinht

cosht = e^t−e^−t

e^t+e^−t = e^2t−1

e^2t+ 1 = 1− 2 e^2t+ 1 und daher limt→∞ sinht

cosht = 1.

e) Offenbar ist F =∇ϕdas Gradientenfeld zu ϕ=ysinhx. Daher verschwin- det die Arbeit entlang jedes geschlossenen Wegs.

3. a) In (x, t) ist das Richtungsfeld durch x˙

1

= tx

1

gegeben.

Es ist daher auf den Kurven

x(t) =C/t, t∈R, unver¨anderlich.

b) Offenbar ist

x(t) = x(0)e^R0tsds =x(0)e^t

2 2

die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung und somit x(t) = 5e^t2/2 die (eindeutig bestimmte) L¨osung mit x(2) = 5e².

4. a) Es sind

∇f(x, y) =

−2xy 27−x²−36y²

und

∇²f(x, y) =

−2y −2x

−2x −72y

.

In einem kritischen Punkt (x, y) von f ist somit xy= 0, daher entweder 27−x² = 9 3−(x/3)²

= 0 oder 27−36y² = 9 3−(2y)²

= 0.

Mithin sind

P₁ = (0,√

3/2) und P₂ = (0,−√ 3/2)

die einzigen kritischen Punkte von f auf K. Da

∇²f(0,√

3/2) = −√

3 0

0 −36√ 3

<0 und

∇²f(0,−√

3/2) = √

3 0

0 36√ 3

>0

handelt es sich bei P₁ um ein Maximum, beiP₂ um ein Minimum.

b) Mit v = ^√1₂ 1

1

ergibt sich die Richtungsableitung als

∇_vf(0,0) = v· ∇f(0,0) = 1

√2 1

1

· 0

27

= 27

√2. c) F¨ur einen Einheitsvektor v und ϕ=](v,∇f(0,0)) ist

∇vf(0,0) = v· ∇f(0,0) = cosϕ· |∇f(0,0)|,

die Richtungsableitung wird somit f¨ur ϕ = π, also in Richtung −∇f(0,0) minimal und hat dort den Wert cosπ· |∇f(0,0)|=−27.

d) Offenbar ist

C =

(x, y)∈R² ; x² 24 +y²

2 = 1

eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt.

F¨ur Punkte (x, y) ∈C auf der Ellipse ist f(x, y) = 3y, also liegt der Funk- tionsgraph von f in diesen Punkten in der durch −3y+z = 0 gegebenen Ebene.

e) Nach der Kettenregel ist Dh

2,1

2

=Df√ 15,1

·Dg

2,1 2

= −2√

15 −24

· −25

4√ 15

−25√ 1 15

2 2

= ¹₂ 2 .

Alternativ kann dies auch direkt berechnet werden. Es ist h(u, v) = fp

27−12u²v²−ln(uv), uv

=uv

27−p

27−12u²v²−ln(uv)2

−12(uv)²

=uvln(uv)

also

∇h(u, v) =

vln(uv) +v uln(uv) +u

und somit ∇h(2,¹₂) = ₁

2

2

.