Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich
D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 09
L¨ osungen zur Serie 11
1. a) Φ(x, y) =ex+xy2+y tut es.
b) F :R3 →R3 ist ein Potentialfeld. Das heisst F =∇Φ f¨ur ein Φ : R3 →R. Das bedeutet:
rotF = rot∇Φ = rot
∂Φ
∂Φ∂x
∂y
∂Φ
∂z
=
∂2Φ
∂y∂z − ∂z∂y∂2Φ
∂2Φ
∂z∂x − ∂x∂z∂2Φ
∂2Φ
∂x∂y − ∂y∂x∂2Φ
= 0.
2. Betrachte die Funktion h(x, y) = p
a2−x2−y2. Ihr Graph ¨uber der Scheibe D={(x, y)∈R2|x2+y2 ≤a2} ist die obere Hemisph¨are mit Radius a.
Da die Kugel im diesem Fall durchstossen wird, m¨ussen wir h ¨uber DZ :=
(x, y)
x2+y2 ≤ a2 4
integrieren.
Dazu wechseln wir zu Polarkoordinaten:
V = 2 Z
DZ
h(x, y)dx dy = 2 Z
D˜Z
h(rcosϕ, rsinϕ)r dr dϕ=
= 2
2π
Z
0
a 2
Z
0
√
a2−r2r dr
| {z }
unabh¨angig vonϕ
dϕ= 4π
|{z}
2R dϕ
2
3(a2−r2)32
−1 2
a 2
0
!
=
=−4
3π a2−r232
a 2
0
=−4 3
3√ 3
8 a3−a3
!
= 8−3√ 3 6 π a3.
3. a)
I :=
Z 1 0
Z 1−x 0
ex+yy dy dx= Z Z
D
, wobei
D:=n
(x, y)∈R2
0≤x≤1, 0≤1−xo wird hier unten gezeichnet.
b) Transformation der Koordinaten u
v
7→
x(u, v) y(u, v)
=
u(1−v) u v
Die Koordinatenlinien lauten (vgl. oben)
{u=A=konst.} ↔ {x+y =A} ↔ {y=A−x}
{v =B =konst.} ↔ y
x+y =B
↔
y= B 1−B x
Integrationsgrenzen (Kanten von D) {u= 1} ↔ {y= 1−x}
{v = 0} ↔ {y= 0}
{v = 1} ↔ {x= 0}
⇒0≤u≤1, 0≤v ≤1
c) Sei
ϕ: [0,1]×[0,1]⊂R2 →D⊂R2 die obige Transformation der Koordinaten. Dann ist
1−v −u
Im Allgemein gilt Z Z
D
f(x, y)dx dy= Z Z
D˜
f(ϕ(u, v)) det
dϕ(u, v)
du dv .
Hier ist det
dϕ(u, v)
=
(1−v)u+v u
=|u|=u und somit
I =
1
Z
0
Z 1−x 0
ex+yy dy dx= Z 1
0
Z 1 0
eu−u v+u vu v u du dv=
= Z 1
0
Z 1 0
evu du dv = Z 1
0
ev u2
2
1 0
dv= 1 2
ev
1 0
= 1
2(e−1). 4. Wir w¨ahlen das Koordinatensystem so, dass die Spitze des Bleistifts im Ursprung
liegt.(vgl. Figur) Das weggespitzte Volumen V entspricht dem Anteil des Pris- mas, der unter den Graph der Funktion f(x, y) =p
x2+y2 liegt.
Querschnitt
Da (der Graph von) f rotationssymmetrisch ist, bestimmen wir das Integral in Polarkoordinaten
Wegen der Symmetrie, k¨onnen wir das Integral auf D=
(x, y)∈R2
0≤x≤1, − x
√3 ≤y x
√3
=
=
(x, y) = (r cosϕ, r sinϕ)∈R2 −π
6 ≤ϕ≤ π
6, 0≤r≤ 1 cosϕ
einschr¨anken. Dann ist
V = 6 Z Z
D
px2+y2dx dy = 6
π 6
Z
−π6
1 cosϕ
Z
0
√
r2r dr dϕ=
= 6
π 6
Z
−π
6
r3 3
1 cosϕ
0
!
dϕ= 2
π 6
Z
−π
6
1
cos3ϕdϕ={Hinweis}=
= 2
sinϕ 2 cos2ϕ+ 1
2 ln tanπ
4 +ϕ 2
π 6
−π
6
=
= 2
1 2
2 √
3 3
2
| {z }
1/3
+1 2ln
√ 3
z }| { tanπ
4 + π 12
! +
− −12 2√
3 3
2
| {z }
−1/3
+1 2ln
1/√ 3
z }| { tanπ
4 − π 12
!!!
=
= 2 2
3 + ln√ 3
= 4
3 + ln 3(= 2.432...)
Das gleiche Resultat kann man auch in kartesischen Koordinaten bestimmen
V = 6 Z Z
D
px2+y2dx dy= 6
1
Z
0
x/√ 3
Z
−x/√ 3
px2+y2dy
dx=
= 6
1
Z
0
y 2
px2+y2+ x2 2 ln
y+p
x2 +y2
x/√ 3
−x/√ 3
! dx =
= 6
1
Z
0
2x2
3 +x2 2 ln 3
dx= 6 2
9 +1 6 ln 3
= 4 3+ ln 3
5. Die Integrationsgrenzen a, b, α, β, γ und δ kann man mit Hilfe des folgenden Bildes bestimmen.
Der minimale Wert, den jede Variabel annehmen darf, ist jewails 0, d.h. a = α=γ = 0.
Jede Schnitte {x = konst} besteht aus einem Dreieck mit Kanten {z = 0}, {y= 0} und {x+y+z = 1}.
F¨ur xfest und z beliebig (aber z ∈[0,1]) kann man y zwischen 0 und 1−z−x variieren: der maximal Wert ist dann β(x) = 1−x (f¨urz = 0).
In ¨anlicher Weise, kann man z zwischen 0 und 1−x−y variieren, aber mit x und y fest, darf man nichts mehr maximieren: die oebere Grenze f¨urz ist schon δ(x, y) = 1−x−y.
Das gesuchte Integral kann man wie folgt bestimmen Z Z Z
B
f(x, y, z)dx dy dz=
1
Z
0
1−x
Z
0
1−x−y
Z
0
(y2+z2)dz
dy
dx=
=
1
Z
0
1−x
Z
0
z y2+ z3 3
1−x−y
0
! dy
dx=
= 1 3
1
Z
0
1−x
Z
0
(1−3x+ 3x2−x3)−(3−6x+ 3x2)y+ (6−6x)y2 −4y3 dy
dx=
= 1 3
1
Z
0
(1−3x+ 3x2−x3)y−(3−6x+ 3x2)y2
2 + (2−2x)y3−y4 dy
1−x
0
dx=
= 1 3
1
Z
0
1
2−2x+ 3x2−2x3+x4 2
dx = 1 6
x−2x2+ 2x3−x4+x5 5
1
0
= 1 30
