¨Ubungen zur Festk¨orperphysik I L¨osungen zu Serie 7 1 Die Fermifl¨ache

Prof. B. Batlogg WS 2006/07

Ubungen zur Festk¨ ¨ orperphysik I L¨ osungen zu Serie 7

1 Die Fermifl¨ ache

Man berechne den Radius der Fermikugel in 2D:

k

F

= (2πn)

¹²

= (2π 3

2π

²

)

¹²

˚ A = r 3

π ˚ A

Die Abbildung 1 zeigt das reziproke Gitter mit der Fermikugel und der ersten bzw. zweiten Brillouinzone. Die schraffierten Bereiche auf der rechten Seite zeigt die Fermikugel in der ersten und in der zweiten Brillouinzone.

0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000

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0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000

1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 000000

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000

11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111

kF 10/nm

20 / nm

1. BZ 2. BZ

1. Brillouinzone

2. Brillouinzone

Abbildung 1: Fermifl¨ache eines Elektronengases in 2 D mit 3 Elektronen pro Gitterplatz (Gitter: 2π ˚ A×π ˚ A).

2 N¨ aherung f¨ ur fast freie Elektronen

a) Die qualitative k-Abh¨angigkeit von E, v

G

und m

^⋆

/m f¨ur das erste und zweite Ener-

gieband in der N¨aherung eines schwachen Potentials ist f¨ur den 1-dim. Fall in der

Abbildung auf der letzten Seite qualitativ dargestellt.

v

G

= 1

~

∂E

∂k (1)

m

^⋆

m = ~

²

m

∂

²

E

∂k

²

−1

(2) Wie die Skizzen zeigen, verhalten sich v

G

und m

^⋆

/m bei k = 0 verschieden f¨ur das 1. und 2. Band. Das ist nur in der N¨aherung eines schwachen Potentials so, wo der Zustand k = 0 f¨ur das 1. Band den ungest¨orten Zustand freier Elektronen darstellt und die Kr¨ummung an diesem Punkt nicht durch das periodische Potential bestimmt ist.

b) In der N¨ahe des Brillouin-Zonenrandes ist die Bragg’sche Bedingung fast genau erf¨ullt. Es gibt also eine starke Reflektion k ⇒ k

^′

= k − 2

^π_a

, wobei die zwei Zust¨ande Ψ

k

und Ψ

k^′

fast entartet sind. Gesucht ist die Wellenfunktion Ψ, welche die Schr¨odin- gergleichung

(H

⁽⁰⁾

+ V )Ψ = EΨ erf¨ullt. Eine gute N¨aherung f¨ur Ψ ist:

Ψ = C

k

Ψ

k

+ C

k^′

Ψ

k^′

H

⁽⁰⁾

Ψ

k

=

~

²

k

²

2m

Ψ

k

= E

_k⁽⁰⁾

Ψ

k

H

⁽⁰⁾

Ψ

k^′

=

~

²

k

^′2

2m

Ψ

k^′

= E

_k⁽⁰⁾′

Ψ

k^′

Um die Eigenwerte des Operators (H

⁽⁰⁾

+V ) zu finden, schreibt man die Schr¨odinger- Gleichung in Matrizenform:

( E

_k⁽⁰⁾

0 0 E

_k⁽⁰⁾′

! +

V

kk

V

kk^′

V

k^′k

V

k^′k^′

) C

k

C

k^′

= E C

k

C

k^′

mit V

kk^′

= R

Ψ

k

V Ψ

k^′

. Man erh¨alt damit die Sekul¨argleichung det V

kk

+ E

_k⁽⁰⁾

− E V

kk^′

V

k^′k

V

k^′k^′

+ E

_k^′(0)

− E

!

= 0 mit den folgenden L¨osungen:

E

±

= 1

2 (E

_k⁽⁰⁾

+ V

kk

+ E

_k⁽⁰⁾′

+ V

k^′k^′

) ± r 1

4 (E

_k⁽⁰⁾

+ V

kk

− E

_k⁽⁰⁾′

− V

k^′k^′

)

²

+ |V

kk^′

|

²

V

kk

= V

k^′k^′

≪ E

_k⁽⁰⁾

E

_k⁽⁰⁾′

⇒ E

±

= 1

2 (E

_k⁽⁰⁾

+ E

_k⁽⁰⁾′

) ± r 1

4 (E

_k⁽⁰⁾

− E

_k⁽⁰⁾′

)

²

+ |V

kk^′

|

²

In der N¨ahe des Brillouin-Zonenrandes findet man mit k =

^π_a

+ κ, k

^′

= −

^π_a

+ κ,

κ ≈ 0 und V

G

= V

kk^′

E

±

= ~

²

2m

π a

2

+ κ

²

± s

~

²

π ma κ

2

+ |V

G

|

²

Man erh¨alt

E

±

= E

_Rand^frei

+ E

κ,±

mit

E

_Rand^frei

= ~

²

2m

π a

2

und

E

κ,±

= ~

²

2m κ

²

±

s ~

²

π

ma κ

2

+ |V

G

|

²

c) F¨ur sehr kleine κ-Werte kommt heraus:

E

κ,±

= ~

²

2m κ

²

± |V

G

| 1 + 1 2

~

²

πκ ma|V

G

|

2

!

E

±

≈ E

_Rand^frei

± |V

G

| ± ~

²

2m

1 + ~

²

2m

π a

2

1

|V

G

|

κ

²

≈ E

Rand,±

+ ~

²

2m

^∗

κ

²

wobei E

Rand,±

= E

_Rand^frei

± |V

G

| und m

^∗

= ±m h

1 +

_2m^{~2 π}_a

2 1

|VG|

i

−1

.

π/a

−π/ a

0 E k’

V G V G

E frei Rand 0 E k E −

E + E(k)

0

κ k

G

3 N¨ aherung f¨ ur fast gebundene Elektronen

a) F¨ur die kubisch fl¨achenzentrierte Struktur sind die n¨achsten Nachbarn gegeben durch:

R

n

= ± a

2 {(1, 1, 0), (1, −1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, −1), (1, 0, 1), (1, 0, −1)}

Damit ergibt sich f¨ur X

n.N. i

e

^{i~k ~Ri}

= 4{cos(k

x

a

2 ) cos(k

y

a

2 ) + cos(k

x

a

2 ) cos(k

z

a

2 ) + cos(k

y

a

2 ) cos(k

z

a 2 )}

und somit f¨ur die Energie E(~k) = E

s

− β − 4γ{cos(k

x

a

2 ) cos(k

y

a

2 ) + cos(k

x

a

2 ) cos(k

z

a

2 ) + cos(k

y

a

2 ) cos(k

z

a 2 )}

b) Beginnend beim Γ-Punkt

k = Γ = (0, 0, 0) : E

Γ

= E

s

− β − 12γ in Richtung X, ~k =

^2Θ_a

(1, 0, 0), 0 < Θ < π, ergibt sich

E

_Θ

= E

s

− β − 4γ(2 cos Θ + 1) und in Richtung L, ~k =

^Θ_a

(1, 1, 1), 0 < Θ < π, folgt

E

_Θ

= E

s

− β − 4γ(3 cos

²

(Θ/2))

-2 0 2

-3 -2 -1 0 1

L Γ X

Θ

E(k)/4γ-(ES-β)

c) Die Bandbreite bestimmt sich mit D = E

_max

(k) − E

_min

(k), also D = 16γ

d.h. D ist nur von γ abh¨angig, welches ein Mass ist f¨ur die ¨ Uberlappung der Wel-

lenfunktionen n¨achster Nachbarn f¨ur ein gegebenes Potential. D ist somit gross f¨ur

starke ¨ Uberlappung.

d) Aus der Aufgabenstellung entnimmt man f¨ur β:

β = − Z

Ψ

^⋆_s

(~r)δV (~r)Ψ

s

(~r)d

³

r

(Ψ

^∗_s

Ψ

s

) ist immer positiv. Die Ver¨anderung des elektrostatischen Potentials am Ort des Cs

⁺

-Ions (R =

^a₂

(1, 1, 1)) verursacht durch die Cl

⁻

-Ionen ist: 8(−e/R). Dieses Potential wirkt auf das betrachtete Elektron (mit Ladung −e), d.h. die Energie δV ist gr¨osser als Null:

δV = 8(e

²

/R) > 0

⇒ β < 0

Cl − Cs +

Bemerkung

Es ist bemerkenswert, dass f¨ur die beiden sehr unterschiedlichen Ans¨atze des fast freien

Elektronengases und des tight-binding-Modells qualitativ dasselbe Resultat herauskommt,

n¨amlich die Bandstruktur der Elektronen im Festk¨orper. Diese kann ihrerseits Metalle,

Halbleiter und Isolatoren charakterisieren und erh¨alt somit eine gewichtige Bedeutung in

der Festk¨orperphysik.

v

_G

v

_G

2 π a

2 π a 2 π

a

2 π a 2 π

a

2 π a 2 π

a

2 π a

2 π

− a 2 π

a

1. Band 2. Band

1. BZ

2. Band 1. Band

E

1. Band

k m*/m

m*/m 2. Band

−

k k k

− k

−

−

Abbildung 2: Qualitative Darstellung zu Aufgabe 2a