Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Z¨urich
D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 11
L¨ osungen zur Serie 6
1. a)
∂f
∂x =−sin (xy
z )y
z
∂f
∂y =−sin (xy
z )x
z
∂f
∂z = sin (xy
z )xy
z2
⇒ grad(f) = sin(xyz ) z
−y
−x
xy z
b)
∂g
∂x =y2ez
∂g
∂y = 2xyez
∂g
∂z =xy2ez
⇒ grad(g) =yez
y 2x xy
c)
∂h
∂x = ln(y+ cosz)
∂h
∂y = x
y+ cosz
∂h
∂z = −xsinz y+ cosz
⇒ grad(g) =
ln(y+ cosz)
x y+cosz
−xsinz y+cosz
Bitte wenden!
2. Der Gradient zeigt in die Richtung des gr¨ossten Anstiegs:
grad(f)(−1,0,4) =
z ey x−2√1z
(−1,0,4)
=
4 1
−54
Der Wert des gr¨ossten Anstiegs in diese Richtung ist
|grad(f)(−1,0,4)|=
√
16 + 1 +25 16 =
√297 16 = 3
4
√33≈4.30842.
3. Der normierte Richtungsvektor ist
ve = v
|v| = 1
√14
3 2 1
und der Gradient in diese Richtung im Punkt P(3,0,−1)
grad(φ)(3,0,−1) =
yz−4ey xz−4xey
xy
(3,0,−1)
=
−4
−15 0
Somit erh¨alt man f¨ur die Richtungsableitung
Dveφ(3,0,−1) =⟨
−4
−15 0
, 1
√14
3 2 1
⟩=− 42
√14 =−3√
14≈ −11.22497
4. a) In (x, t) ist das Richtungsfeld durch (x˙
1 )
= (tx
1 )
gegeben.
Es ist daher auf den Kurven
x(t) =C/t, t∈R,
unver¨anderlich.
b) Offenbar ist
x(t) = x(0)e∫0tsds =x(0)et
2 2
die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung und somitx(t) = 5et2/2 die (eindeutig bestimmte) L¨osung mit x(2) = 5e2.
Siehe n¨achstes Blatt!
5. a) Es sind
∇f(x, y) =
( −2xy 27−x2−36y2
)
und
∇2f(x, y) =
(−2y −2x
−2x −72y )
.
In einem kritischen Punkt (x, y) von f ist somit xy= 0, daher entweder 27−x2 = 9(
3−(x/3)2)
= 0 oder 27−36y2 = 9(
3−(2y)2)
= 0.
Mithin sind
P1 = (0,√
3/2) und P2 = (0,−√ 3/2) die einzigen kritischen Punkte von f aufK.
b) Mit v = √12 (1
1 )
ergibt sich die Richtungsableitung als
∇vf(0,0) =v· ∇f(0,0) = 1
√2 (1
1 )
· (0
27 )
= 27
√2.
c) F¨ur einen Einheitsvektor v und φ=](v,∇f(0,0)) ist
∇vf(0,0) = v· ∇f(0,0) = cosφ· |∇f(0,0)|,
die Richtungsableitung wird somit f¨ur φ = π, also in Richtung −∇f(0,0) minimal und hat dort den Wert cosπ· |∇f(0,0)|=−27.
d) Offenbar ist
C = {
(x, y)∈R2 ; x2 24 +y2
2 = 1 }
eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt.
F¨ur Punkte (x, y)∈C auf der Ellipse ist f(x, y) = 3y, also liegt der Funk- tionsgraph von f in diesen Punkten in der durch −3y+z = 0 gegebenen Ebene.
e) Nach der Kettenregel ist Dh
( 2,1
2 )
=Df (√
15,1 )·Dg
( 2,1
2 )
=(
−2√
15 −24)
· (−25
4√ 15
−25√ 1 15
2 2
)
=(1
2 2) .
Bitte wenden!
Alternativ kann dies auch direkt berechnet werden. Es ist h(u, v) = f(√
27−12u2v2−ln(uv), uv )
=uv (
27−(√
27−12u2v2−ln(uv) )2
−12(uv)2 )
=uvln(uv) also
∇h(u, v) =
(vln(uv) +v uln(uv) +u
)
und somit ∇h(2,12) = (1
2
2 )
.
