M¨undliche Matura 2019 Themen GF Mathematik/PAM 6c Die m¨undliche Maturapr¨ufung dauert 15 Minuten und besteht aus zwei Teilen, f¨ur die etwa gleich viel Zeit zur Verf¨ugung steht:

M¨ undliche Matura 2019 Themen GF Mathematik/PAM 6c

Die m¨undliche Maturapr¨ufung dauert 15 Minuten und besteht aus zwei Teilen, f¨ur die etwa gleich viel Zeit zur Verf¨ugung steht:

• einem Theoriethema aus einem der folgenden Gebiete:

– Verschiedenes – Analysis

– Vektorgeometrie

– Stochastik und Kombinatorik

Die unten zu den Themen angegebenen Stichworte sind dazu da, den Umfang ab- zugrenzen und fehlen an der Pr¨ufung.

• einer Aufgabe, die aus einem zum Theoriethema komplement¨aren Gebiet stammt.

Bei der Zusammenstellung der Aufgaben werden im Voraus etwa 25–30 Theoriethemen durch zuf¨alliges Ziehen mit Zur¨ucklegen ausgelost und jeweils durch eine Aufgabe aus einem der komplement¨aren Gebiete erg¨anzt. Diese Theorie-Aufgaben-Kombinationen ste- hen euch an der m¨undlichen Matura in verschlossenen Couverts zur Auswahl.

Die Pr¨ufungsteile (Theorie, Aufgabe) k¨onnen in beliebiger Reihenfolge gel¨ost werden.

Beurteilungskriterien f¨ur die m¨undliche Pr¨ufung

• Fachliche Richtigkeit

• Vollst¨andigkeit / Schwerpunktsetzung

• Logischer Aufbau

• Darstellung / Veranschaulichung

• (Fach-)Sprache

• Dialogf¨ahigkeit

1. Arithmetische Folgen (Verschiedenes)

• formale Definition einer Folge

• explizite und rekursive Definition der arithmetische Folge (AF)

• Definition der Teilsummenfolge

• Summenformel der AF (mit Herleitung) 2. Geometrische Folgen (Verschiedenes)

• formale Definition einer Folge

• explizite und rekursive Definition der geometrischen Folge (GF)

• Definition der Teilsummenfolge (=Reihe)

• Summenformel f¨ur die abbrechende und die nichtabbrechende GF (mit Herleitung) 3. Zahlbereiche (Verschiedenes)Der Aufbau der Zahlbereiche (von N bisC)

• Die Menge der nat¨urliche Zahlen (mit der Null) N (N0)

• Die Menge der ganzen Zahlen Z

• Die Menge der rationalen Zahlen Q

• Die Menge der reellen ZahlenR

• Die Menge der komplexen Zahlen C

• weitere Begriffe: irrationale Zahlen, imagin¨are Zahlen, Abz¨ahlbarkeit

• Irrationalit¨atsbeweis f¨ur√ 2

4. Fundamentalsatz der Algebra und Partialbruchzerlegung (Verschiedenes)

• Nenne den Fundamentalsatz der Algebra

• partielle Integration: Grundgedanke, Motivation, die drei Ans¨atze, Beispiel

6. Ableitungen der elementaren Funktionen und Ableitungsregeln (Analysis)

• Ableitungsfunktion von x^s, 1/x^s, √

x, e^x, lnx, sin(x), cos(x), tan(x)

• Ableitungsregeln: Summen-, Faktor-, Produkt- und Kettenregel

• Beispiele exemplarisch vorrechnen

7. Diskussion ganzrationaler Funktionen (Analysis)

• Definitionsbereich, Symmetrie, asymptotisches Verhalten und Asymptoten, Null- stellen und Ordinatenabschnitt, Extrempunkte, Wende- bzw. Terrassenpunkte

• an einer leicht zu rechnenden Funktion (z. B. f(x) = x³−3x) vorzeigen 8. Das bestimmte Integral als Riemannsche Summe (Analysis)

• Welche Voraussetzungen muss eine Funktion erf¨ullen, um sicher integrierbar zu sein?

• Fertige eine geeignete Skizze an.

• W¨ahle eine Zerlegung des Intervalls [a, b]

• Definiere das bestimmte Integral als Grenzwert der Summe der Rechtecksfl¨achen, welche die Fl¨ache approximieren.

• nenne Eigenschaften des bestimmten Integrals 9. Integrationsregeln (Analysis)

• Regel f¨ur Summen und skalare Vielfache von Funktionen.

• Partielle Integration (Herleitung)

• Substitutionsregel (Herleitung)

• Vorrechnen eines geeigneten Beispiels.

10. Volumenberechnung von Rotationsk¨orpern (Analysis)

• Vektorprodukt (Kreuzprodukt): Vektor×Vektor = Vektor

• Spatprodukt (gemischtes Produkt): (Vektor×Vektor)·Vektor = Zahl

• Anwendung des Skalarprodukts: Winkelberechnungen

• Anwendung des Vektorprodukts: Normalenvektoren, Fl¨achenberechnungen, Abstands- berechnungen

• Anwendung des Spatprodukts: Volumen, Abstandsberechnungen 12. Die Gerade im Raum (Vektoren)

• Definition der Geradengleichung;

• Wann liegt ein Punkt auf einer Geradeng?

• Was sind Spurpunkte? Wie berechnet man sie?

• Beschreibe die vier F¨alle der gegenseitigen Lage von zwei Geraden.

• Abstands- und Winkelberechnungen 13. Die Ebene im Raum (Vektoren)

• Definition der Ebenengleichung (Koordinatenform);

• Wie bestimmt man eine Ebenengleichung aus drei gegebenen Punkten?

• Wann liegt ein Punkt in einer Ebene ε?

• Was sind Achsenabschnitte von ε? Wie berechnet man sie?

• Beschreibe die drei F¨alle der gegenseitigen Lage von zwei Ebenen.

• Abstands- und Winkelberechnungen 14. Die Sph¨are (Vektoren)

• Definition der Gleichung einer Sph¨are

• Gegenseitige Lage von Sph¨are und Gerade

• Masse der zentralen Tendenz: (empirisches) arithmetisches Mittel, Modus, Median, Quartile

• Masse der Streuung: (empirsche) Varianz, (empirische) Standardabweichung, Spann- weite und Interquartilsabstand

• evtl. anhand eines kleinen Beispieldatensatzes mit einfachen Zahlen vorzeigen

• grafische Darstellung von Zahlenmaterial 16. Kombinatorik (Stochastik)

• Beschreibe die Aufgabe der Kombinatorik

• Produkt- und Summenregel

• Anordnungsprobleme (Variationen) mit und ohne Wiederholungen

• Auswahlprobleme (Kombinationen) mit und ohne Wiederholungen 17. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik)

• Begriffe: Zufallsexperiment, Ergebnis, Stichprobenraum, Ereignis, sicheres Ereignis, unm¨ogliches Ereignis, Gegenereignis, unvereinbare Ereignisse

• Kolmogoroff-Axiome

• Laplace-Wahrscheinlichkeit (klassische Wahrscheinlichkeit)

18. Elementare S¨atze der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik)

• Additionssatz

• Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

• Multiplikationssatz / Kettenregel

• Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

• Satz von Bayes

20. Die Normalverteilung (Stochastik)

• Normalverteilung, Standardnormalverteilung,

• graphische Darstellung

• Dichtefunktion (mit Eigenschaften)

• Eigenschaften (Verteilungstyp, kumulative Verteilungsfunktion, Berechnung von Wahr- scheinlichkeiten, Erwartungswert, Varianz, Sigma-Regeln)

Zusammenfassungen

1. Arithmetische Folgen (Verschiedenes)

Eine Folge reeller Zahlen (an) ist eine Abbildung, die jeder nat¨urlichen Zahl n ∈ N eine reelle Zahl a_n∈R zuordnet.

explizite Definition: an=a1+ (n−1)d rekursive Definition: a₁ und a_n+1 =a_n+d

Teilsummenfolge/Reihe: s_n =a₁ +a₂ +. . .+a_n=

n

X

k=1

a_k Herleitung/Beweis der Summenformel:

• Schreibe die Summengleichungen in unterschiedlicher Reihenfolge untereinander auf:

s_n =a₁ +a₂+· · ·+an−1 +a_n (1) s_n =a_n+an−1+· · ·+a₂+a₁ (2)

• Addiere die beiden Gleichungen und achte darauf, dass die Summen der an der gleichen Position jeweils zusammengefasst werden:

2sn= (a1+an) + (a2+an−1) +· · ·+ (an−1+a2) + (an+a1) (3)

• Zeige, dass alle Klammerterme den gleichen Wert a₁+a_n haben, setze dies in (3) ein und vereinfache:

2s_n=n a₁+a_n) (4)

• L¨ose (4) nach sn auf.

2. Geometrische Folgen (Verschiedenes)

Eine Folge reeller Zahlen (a_n) ist eine Abbildung, die jeder nat¨urlichen Zahl n ∈ N ein reelle Zahl a_n∈R zuordnet.

explizite Definition: a_n=a₁·qⁿ⁻¹ rekursive Definition: a1 und an+1 =qan

Teilsummenfolge/Reihe: s_n =a₁ +a₂ +· · ·+a_n=

n

X

i=1

a_n

Herleitung/Beweis der Summenformel:

• Ersetze in s_n =a₁+a₂+· · ·+a_n jeweils a_k =a₁q^k−1: s_n =a₁ +a₁q+a₁q²+· · ·+a₁qⁿ⁻¹ (1)

• Multipliziere (1) mitqund notiere diese Gleichung nach Potenzen sortiert unter (1):

qs_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+· · ·+a₁qⁿ (2)

• Berechne (1)−(2): sn−qsn =a1−a1qⁿ [(2)−(1) geht auch!]

• L¨ose die verbleibende Gleichung nach s_n auf.

Also:s_n=a₁· qⁿ−1

q−1 =a₁· 1−qⁿ 1−q

Die zweite Formel gewinnt man durch Erweitern mit (−1).

F¨ur |q|<1 existiert der Grenzwert dernichtabbrechenden geometrischen Reihe: s= lim

n→∞s_n = lim

n→∞

a₁· 1−qⁿ 1−q

=a₁· 1

1−q wegen lim

n→∞qⁿ= 0

3. Zahlbereiche (Verschiedenes)

• nat¨urliche Zahlen: N={1,2,3, . . .} (abz¨ahlbar unendlich)

• nat¨urliche Zahlen mit der Null N0 =N∪ {0} (abz¨ahlbar unendlich)

• ganze Zahlen Z={. . . ,−3,2,1,0,1,2,3, . . .} (abz¨ahlbar unendlich)

• rationale Zahlen Q= p

q: p∈Z, q∈N

(abz¨ahlbar unendlich)

• reelle Zahlen (¨uberabz¨ahlbar)

R={x: x hat eine abbrechende oder nichtabbrechende Dezimalentwicklung}

• komplexe Zahlen (¨uberabz¨ahlbar)C={x+ iy: x, y ∈R} Beweis der Irrationalit¨at von √

2 (indirekt):

Annahme: √ 2 = p

q mit p,q ∈Nteilerfremd p²

q²

(∗)= 2 ⇒ p² = 2·q² ⇒ p² ist gerade ⇒ p ist gerade

Annahme 2: w¨arepungerade, so gibt es eins∈Nmitp= 2s+ 1. Aus p² = 4s²+ 4s+ 1 w¨urde folgen, dassp² ungerade w¨are, was im Widerspruch zur Voraussetzung st¨unde, dass p² gerade ist. Also ist die Annahme 2 falsch undpgerade.

also giltp= 2k f¨ur eink ∈N (2k)²

q²

(∗)= 4k²

q² = 2 ⇒ 2k² =q² ⇒ q² ist gerade ^{wie oben}⇒ q ist gerade

⇒ pund q sind durch 2 teilbar ⇒Widerspruch zur Annahme der Teilerfremdheit.

Somit ist die Annahme falsch und √

2 nicht als Quotient ganzer Zahlen darstellbar.

4. Fundamentalsatz der Algebra und Partialbruchzerlegung (Verschiedenes)

• Fundamentalsatz der Algebra

Jedes Polynomn-ten Grades p(x) zerf¨allt in n Linearfaktoren:

p(x) =a_n(x−x₁)(x−x₂). . .(x−x_n)

• Partialbruchzerlegung:

Idee Stelle ein Produkt von Br¨uchen als Summe von Br¨uchen dar.

Anwendung: Algebra, Integration Ansatz 1: (x₁ 6=x₂)

p(x)

(x−x1)(x−x2) = A₁ x−x1

+ A₂ x−x2

Ansatz 2: (Potenz eines Linearfaktors) p(x)

(x−x₀)² = A_1,1

x−x₀ + A_1,2 (x−x₀)² Ansatz 3: (irreduzible Polynome vom Grad 2):

p(x)

(x²+b₁x+c₁)(x²+b₂x+c₂) = A₁x+B₁

x²+b₁x+c₁ + A₂x+B₂ x² +b₂x+c₂ Alle Ans¨atze lassen sich auf n >2 Faktoren fortsetzen.

Beispiel:

x

(x+ 1)(x+ 2) = A

x+ 1 + B x+ 2 x=A(x+ 2) +B(x+ 1) x= (A+B)x+ (2A+B) Koeffizientenvergleich:

A+B = 1

2A+B = 0 ⇒ A=−1 B = 2

5. Differenzialquotient und graphisches Differenzieren (Analysis) Gegeben: eine geeignete Funktion f

Gesucht: Steigung der Tangente von Gf an der Stellex0

x y

Gf

x₀ x₀+h

f(x0) f(x₀+h)

∆x=h

∆y s

t

Differenzenquotient: m_s= ∆y

∆x = f(x₀+h)−f(x₀)

h (Sekantensteigung) Differenzialquotient: f⁰(x₀) = lim

h→0

f(x₀+h)−f(x₀)

h (Tangentensteigung) Grafisches Differenzieren

x y =f(x)

y=f⁰(x)

TiP

WeP

TeP

6. Ableitungen der elementaren Funktionen und Ableitungsregeln (Analysis)

• x^s0

=s·x^s−1

• 1/x^s0

= x^−s0

=−s·x^−s−1 = −s x^s+1

• √ x⁰

= 1

2√ x

• e^x0

= e^x

• lnx⁰

= 1/x

•

sin(x)⁰

= cos(x)

•

cos(x)0

=−sin(x) z. B. Beweis:

d dxx³

x=x0

= lim

x→x0

(x+h)³−x³

h = lim

x→x0

x³+ 3x²h+ 3xh²+h³−x³ h

= lim

x→x0

h(3x²+ 3xh+h²)

h = lim

x→x0

3x²+ 3xh+h²

= 3x²₀ Summenregel:

f(x) +g(x)0

=f⁰(x) +g⁰(x) Faktorregel:

c·f(x)0

=c·f⁰(x) Produktregel:

f(x)·g(x)0

=f⁰(x)·g(x) +f(x)·g⁰(x)

[sin(x)·sin(x)]⁰= cos(x)·sin(x) + sin(x)·cos(x) = 2 sin(x) cos(x)

Quotientenregel:

f(x) g(x)

0

= f⁰(x)·g(x)−f(x)·g⁰(x) g²(x)

sin(x) cos(x)

0

=cos(x)·cos(x) + sin(x) sin(x)

cos²(x) = cos²(x) + sin²(x)

cos²(x) = 1 + sin²(x)

cos²(x)= 1 + tan²(x)

Kettenregel:

f(g(x))0

=f⁰(g(x))·g⁰(x)

[sin²(x)]⁰= 2 sin(x)·cos(x)

7. Diskussion ganzrationaler Funktionen (Analysis) Beispielfunktion:f(x) =x³−3x

• Definitionsbereich: R

• Symmetrie: f(−x) = −x³+ 3x=−(x³−3x) = −f(x) ursprungssymmetrisch

• asymptotisches Verhalten:

x→−∞lim f(x) = lim

x→−∞x³ =−∞

x→+∞lim f(x) = lim

x→+∞x³ =∞

• Nullstellen und Ordinatenabschnitt:

f(x) = 0 x(x²−3) = 0

x₁ =−√ 3 x2 = 0 x₃ =√

3

f(0) = 0³−3·0 = 0

• Ableitungen:

f⁰(x) = 3x²−3 f⁰⁰(x) = 6x f⁰⁰⁰(x) = 6

• Extrempunkte:

f⁰(x) = 0 3x²−3 = 0 3(x² −1) = 0

x₁ =−1 ⇒ f⁰⁰(−1) = −6<0 ⇒ HoP(−1,2) x2 = 1 ⇒ f⁰⁰(1) = 6>0 ⇒ TiP(1,−2)

• Wendepunkte:

f⁰⁰(x) = 0 6x² = 0

8. Das bestimmte Integral als Riemannsche Summe (Analysis)Gegeben: auf I = [a, b] stetige Funktion f mit f(x)≥0 f¨ur alle x∈I

x y

x₀ x₁ x₂ x₃ x₄ x₅

a b

m₁ m₂ m₃ m₄ m₅

Gesucht: Fl¨acheninhalt von M ={(x, y) : a≤x≤b und 0≤y≤f(x)}

L¨osung:

(a) ZerlegeI = [a, b] in n ¨aquidistante Teilintervalle der Breite h= b−a n . (b) Mittelpunkte der Teilintervalle:m_i =a+ (i−0.5)·h

(c) Der Inhalt des i-ten Streifens wird durch ein Rechteck der Breite h und der H¨ohe y_i =f(m_i) ersetzt.

A≈h·f(m₁) +h·f(m₂) +. . .+h·f(m_n) A≈h

f(m₁) +f(m₂) +. . .+f(m_n) A≈h·

n

X

i=1

f(m_i)

Wir definieren damit das bestimmte Integral: Z b

a

f(x) dx= lim

n→∞ h·

n

X

i=1

f(m_i)

!

falls der Grenzwert rechts existiert. [Bei stetigen Funktionen ist dies immer der Fall.]

Rechenregeln:

9. Integrationsregeln (Analysis)

• Summen und skalare Vielfache:

Z b a

αf(x) +βg(x)

dx=α Z b

a

f(x) dx+β Z b

a

g(x) dx

[Das Integral ist ein lineares Funktional]

Beispiel:

Z

3x²−sinx

dx=x³+ cosx+C

• Partielle Integration (Herleitung f¨ur unbestimmtes Integral) [f(x)g(x)]⁰ =f⁰(x)g(x) +f(x)g⁰(x)

Z

[f(x)g(x)]⁰dx= Z

f⁰(x)g(x) +f(x)g⁰(x) dx f(x)g(x) =

Z

f⁰(x)g(x) dx+ Z

f(x)g⁰(x) dx Z b

a

f⁰(x)g(x) dx=

f(x)g(x)b a−

Z b a

f(x)g(x)⁰dx

Beispiel:

Z

ln|x|dx= Z

1·ln|x|dx=. . . f⁰(x) = 1 ⇒ f(x) =x

g(x) = ln|x| ⇒ g⁰(x) = 1/x

· · ·=x·ln|x| − Z

x· 1

xdx=xlnx− Z

1 dx=xlnx−x+C

• Substitutionsregel:

Z z2

z1

f(z) dz =. . . Substitution:

z =g(x) ⇒ dz

dx =g⁰(x) ⇒ dz =g⁰(x) dx z1 =g(x1) f¨ur ein geeignetes x1

z₂ =g(x₂) f¨ur ein geeignetes x₂ Z x2

10. Volumenberechnung von Rotationsk¨orpern (Analysis)Der Graph einer nicht- negativen (stetigen) Funktion ¨uber dem Intervall I = [a, b] rotiert um die x-Achse. So entsteht ein Rotationsk¨orper R.

x y

z

Volumenformel f¨ur diesen Rotationsk¨orper:

V = Z

R

dV dV =π·f(x)²dx

V =π Z b

a

f(x)²dx

Herleitung der Volumenformel f¨ur das Kugelvolumen:

x y

r x y

x²+y² =r² ⇒ y² =r²−x² VKugel =π

Z r

−r

f(x)²dx= 2π Z r

0

r²−x² dx

= 2π

r²x− 1 3x³

r 0

= 2π

r³− 1 3r³

= 4π 3 r³

11. Produkte mit Vektoren und ihre Anwendung (Vektoren)

• s-Multiplikation: α·



 x y z



=



 αx αy αz





• Skalarprodukt:~a·~b=|~a| · |~b| ·cosϕ Komponentendarstellung:~a·~b=



 a1

a₂ a₃



·



 b1

b₂ b₃



=a₁·b₁+a₂·b₂+a₃ ·b₃ Anwendungen:

– Winkelberechnungen: cosϕ= ~a·~b

|~a| · |~b| – physikalische Arbeit: W =F~ ·~s

• Vektorprodukt (Kreuzprodukt):~c=



 a₁ a₂ a₃



×



 b₁ b₂ b₃



=





a₂b₃−a₃b₂ a₃b₁−a₁b₃ a₁b₂−a₂b₁





Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ. Insbesondere gilt:~a×~b=− ~b×~a

~a

~b

~c

|~c|

– ~c⊥~a und~c⊥~b

– |~c| ist die Fl¨achenmasszahl des von~a und~b aufgespannten Parallelogramms.

– ~a,~b und~cbilden ein Rechtssystem Anwendungen:

– Normalenvektoren (Koordinatengleichung der Ebene)

12. Die Gerade im Raum (Vektoren) Skizze:

~r_A

~r_P

~ v

O A

P g

Parametergleichung: g:~r=~r_A+t~v P(x, y, z)∈g ⇔ ~r_P =~r_A+t~v

Spurpunkte: Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen.

S₁(x, y,0): 0 =z_A+t·z_v ⇒t=z_A/z_v (z_v 6= 0) Analog f¨ur S₂(0, y, z) und S₃(x,0, z)

Gegenseitige Lage von g:~rA+s ~u und h:~rB+t ~v Gleichungssystem: ~r_A+s ~u=~r_B+t ~v

• genau eine L¨osung:g∩h={S}

Schnittwinkel: ϕ= arccos|~u·~v|

u·v Winkelhalbierende: g:~r=~r_S+ 1

|u| ·~u± 1

|v| ·~v

• unendlich viele L¨osungen: g =h

• keine L¨osungen:

– Die Richtungsvektoren sind kollinear: g kh

– Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear: g und h sind windschief Abstand: dist(g, h) = (~u×~v)·(~rB−~rA)

~u×~v

Abstand Punkt-Gerade:

P

13. Die Ebene im Raum (Vektoren) Skizze:

~ u

~v

~ n

~r_A ~r O A

P

ε

Eine Ebene im Raum kann wie folgt definiert werden:

• drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen,

• durch zwei sich schneidende Geraden,

• durch eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt.

Parametergleichung: ε:~r=~rA+s~u+t~v Normalengleichung: ε:~n ~r−~r_A

= 0

Koordinatengleichung: ε: ax+by+cz+d= 0 mit~n = (a, b, c)^T

Inzidenz: P ∈ε, wenn x_P, y_P und z_P die Ebenengleichung von ε erf¨ullen.

Achsenabschnitte: (a,0,0) inεeinsetzen und nach aaufl¨osen. Analog f¨ur (0, b,0), (0,0, c) Achsenabschnittsform: ε: x

a +y b +z

c −1 = 0

Winkel zwischen zwei Ebenen: ∠(ε₁, ε₂) = arccos~n₁·~n₂ n₁·n₂

Schnitt Gerade–Ebene: g:~r=~r_A+t~v in die Normalenform ~n ~r−~r_B

= 0 einsetzen und nacht aufl¨osen.

Abstand Punkt–Ebene: d(P, ε) = ax_P +by_P +cz_P +d

√ (HNF)

14. Die Sph¨are (Vektoren)

Gleichung einer Sph¨are: K: (x−x_M)²+ (y−y_M)²+ (z−z_M)² =%² oder mit Skalarprodukt: K: ~r_M −~r2

=%²

Gegenseitige Lage von Sph¨are K und Gerade g:~r=~r_A+t~v:

projizierende Darstellung

g₁

g₂

g3 K

M

Setzt man x = x_A+tx_v, y = y_A+ty_v, z =z_A+tz_v in die Gleichung von K ein, erh¨alt man eine quadratische Gleichung.

Abh¨angig von der Anzahl der L¨osungen meidet/ber¨uhrt/schneidet g die Sph¨are K.

Gegenseitige Lage von Sph¨are K und Ebene ε: ax+by+cz+d= 0:

projizierende Darstellung

l

ε

% M M⁰ %⁰

d

K

(1) Lot(M, ε)→l (2) l∩ε→M⁰ (3) |−−−→

M M⁰| →d (4) %⁰ =p

%²−d²

Abh¨angig von der Anzahl L¨osungen in (2) meidet/ber¨uhrt/schneidet ε die Sph¨are K.

Gegenseitige Lage zweier Sph¨aren:

projizierende Darstellung

M1

M2 M4 M3 M5 M6 K₁

K₂

K₃

K₄ K₅ K₆

• |%₁−%₂|< M₁M₂ < %₁+%₂: Die Sph¨aren schneiden sich.

• |%₁−%₂|=M₁M₂ Die Sph¨aren ber¨uhren sich innen.

• % +% =M M Die Sph¨aren ber¨uhren sich aussen.

15. Beschreibende Statistik (Stochastik) Aufgaben der beschreibenden Statistik:

• tabellarische Darstellung der Daten

• graphische Darstellung der Daten

• Zusammenfassung der Daten durch Kennzahlen

Masse der zentralen Tendenz:

• empririsches arithmetisches Mittel: x= 1 n

n

X

i=1

x_i empirisch: auf einer Stichprobe beruhend

x ist der beste Sch¨atzer f¨ur den Mittelwertµ der Grundgesamtheit.

• Modus: der h¨aufigeste Wert

• Median x:˜ ein Wert, der die sortierte Liste in zwei gleich grosse Teile zerlegt.

• erstes und drittes Quartil Q1, Q3: Median der unteren bzw. oberen H¨alfte der sor- tierten Liste.

Masse der Streuung:

• empirsche Varianz: s² = 1 n−1

n

X

i=1

(x_i−x)²

s² ist der beste Sch¨atzer f¨ur die Varianz σ² der Grundgesamtheit.

• empirische Standardabweichung: s=

√ s²

• Spannweite: R=x_max−x_min

• Interquartilsabstand: IQR =Q₃−Q₁ Beispiel: x1 = 2, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 5

empirischer Mittelwert: x= ¹(2 + 2 + 3 + 5) = 3

16. Kombinatorik (Stochastik)

Kombinatorik: L¨osung von Abz¨ahlproblemen

Produktregel:Hat man bei einemn-stufigen Auswahlprozess in derk-ten StufemkM¨oglichkeiten so gibt es insgesamt m₁·m₂·. . .·m_n Auswahlm¨oglichkeiten.

Summenregel: Besteht ein Abz¨ahlproblem aus n disjunkte Teilprobleme mit jeweils mk

M¨oglichkeiten, so gibt es insgesamt m₁+m₂+. . .+m_n M¨oglichkeiten.

Variationen:Auswahl vonkElementen aus einer Menge vonnunterscheidbaren Objekten mit Ber¨ucksichtigung der Reihenfolge. (engl. Permutation)

(V1) ohne Zur¨ucklegen:

n·(n−1)·. . .·(n−k+ 1) = n!

(n−k)!

(V2) mit Zur¨ucklegen:

n·n·. . .·n =n^k

Kombinationen: Auswahl von k Elementen aus einer Menge von n unterscheidbaren Ob- jekten ohne Ber¨ucksichtigung der Reihenfolge.

(C1) ohne Zur¨ucklegen:

n·(n−1)·. . .·(n−k+ 1)

k·(k−1)·. . .·2·1 = n!

k!(n−k)! = n

k

(C2) mit Zur¨ucklegen:

k+n−1 n−1

=

k+n−1 k

F¨ur die Herleitung stelle man sich vor, dass identische Elemente in Gruppen zusammengefasst und diese Gruppen in irgend einer festen Reihenfolge angeordnet sind (da sie ja keine Rolle spielt).

Die Grenzen zwischen denn(m¨oglicherweise leeren) Gruppen ist durch die Wahl vonn−1 Posi- tionsnummern aus einer Menge von insgesamtk+n−1 m¨oglichen Pl¨atzen definiert.

Beispiel: Ziehung von 6 Elementen mit Zur¨ucklegen aus einer Menge von 4 verschiedenen Objekten.

xx|x|xx|x x|xxx||x|

...

123456789

17. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik)

Zufallsexperiment: Experiment, dessen Ausgang nicht vorhergesagt werden kann Ergebnis: konkreter Ausgang eines Zufallsexperiments

Stichprobenraum: Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments Ω (Ω kann abz¨ahlbar oder¨uberabz¨ahlbar sein.)

Ereignis: E ⊂Ω

• E = Ω\E ist das Gegenereignis von E

• Ω ist das sichere Ereignis

• ∅ ist das unm¨ogliche Ereignis

Ist Ω abz¨ahlbar und ordnet man jedem Elementarereignis {ωi} eine reelle Zahlp(ωi) zu, so dassP

ip(ω_i) = 1 gilt, so erh¨alt man damit eine Funktion, die jeder Teilmenge E ⊂Ω wie folgt eine Wahrscheinlichkeit zuordnet:

P(E) = X

ωi∈E

p(ω_i)

Die so definierte FunktionP erf¨ullt die Axiome von Kolmogoroff: (K1) ∀E ⊂Ω:P(E)≥0

(K2) P(Ω) = 1

(K3) f¨ur jede abz¨ahlbare Menge paarweise disjunkter EreignisseE_i ⊂Ω gilt:

P (S

iE_i) =P

iP(E_i)

Ist Ω ¨uberabz¨ahlbar, so ist kann nicht mehr jeder Teilmenge E ⊂ Ω sinnvoll eine Zahl zugeordnet werden. Als Ereignismenge wird dann ein Mengensystem verwendet, das nur die Teilmengen enth¨alt, die mit den Axiomen von Kolmogoroff vertr¨aglich sind.

Laplace-Formel:

Hat ein Zufallsexperimentn gleich wahrscheinliche Ergebnisse, so gilt f¨urE ⊂Ω:

|E| Anzahl g¨unstige F¨alle

18. Elementare S¨atze der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik) Additionssatz: P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)

Beweis: Axiome von Kolmogoroff (Plausibilit¨at an Venn-Diagramm aufzeigen) bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A∩B)

P(B)

Multiplikationssatz: P(A∩B)^MS= P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B) Beweis: P(A|B) = P(A∩B)

P(B) ⇒ P(A∩B) =P(B)·P(A|B) (1) P(B|A) = P(B∩A)

P(A) ⇒ P(A∩B) =P(A)·P(B|A) (2) Kettenregel (Verallgemeinerung des Multiplikationssatzes):

P(A∩B∩C) =P([A∩B]∩C)^MS= P(A∩B)·P(C|A∩B)^MS= P(A)·P(B|A)·P(C|A∩B) Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: (Ω =A1 ∪A2∪. . . ,∪An disjunkt)

P(B) =P(A₁)P(B|A₁) +P(A₂)P(B|A₂) +· · ·+P(A_n)P(B|A_n) Beweis:

P(B) =P(B∩Ω) =P(B∩(A₁∪A₂∪ · · · ∪A_n))

=P( B∩A₁)∪ · · · ∪(B∩A_n)

=P(B∩A₁) +· · ·+P(B∩A_n)

=P(A₁)P(B|A₁) +· · ·+P(A_n)P(B∩A_n) Satz von Bayes: P(A|B) = P(A)·P(B|A)

P(B)

Beweis: Setze die rechten Seiten von (1) und (2) gleich und L¨ose nach P(A|B) auf.

19. Die Binomialverteilung (Stochastik)

EinBernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen.

Beispiel: M¨unzwurf

Eine Zufallsvariable (ZV) ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet.

EineBernoulli-ZV ordnet den beiden Ergebnissen eines Bernoulli-Experiments die Zahlen 1 (Erfolg) und 0 (Misserfolg) zu. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten werden mit p und 1−pbeichnet.

Eine Bernoulli-Kette der L¨ange n ist ein Zufallsexperiment, das aus n Durchf¨uhrungen eines Bernoulli-Experiments besteht.

Satz von Bernoulli: Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Bernoulli-Kette der L¨ange n genau k Erfolge zu erzielen betr¨agt:

P(X =k) = n

k

p^k(1−p)^n−k

Eine ZufallsvariableX mit dieser Eigenschaft wird binomialverteilt genannt.4

Plausibilit¨at der Formel:n= 5 Wiederholungen,k= 2 Erfolge,n−k= 3 Misserfolge:

P(1,1,0,0,0) =p²(1−p)³,P(1,0,1,0,0) =p²(1−p)³, . . . Es gibt

5 2

= 5·4

2·1 = 10 M¨oglichkeiten, die 2 Erfolge auf 5

”Pl¨atze“ zu verteilen.

Stabdiagramm der Verteilung:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 n= 8,p= 0.5

k p_X

Eigenschaften der Binomialverteilung

• diskret: Ω ist abz¨ahlbar

• Erwartungswert eines Bernoulli-Experiments:

E(X_i) = p·1 + (1−p)·0 =p

Erwartungswert einer Bernoulli-Kette:

(∗)

20. Die Normalverteilung (Stochastik)

Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen X mit den Parametern µund σ:

ϕ_µ,σ(x) = 1 σ√

2πe⁻

(x−µ)2 2σ2

Graph:

µ−σ µ µ+σ x

y=ϕ_µ,σ(x)

µ: Hochstelle; µ±σ: Wendestellen

Spezialfall: µ= 0 und σ= 1: Standardnormalverteilung Eigenschaften:

• X iststetige ZV, da Ω ¨uberabz¨ahlbar ist.

• ϕist Wahrscheinlichkeitsdichte, d. h. es gilt:

ϕ(x)≥0 ∀x∈R und Z ∞

−∞

ϕ(x) dx= 1

• (kumulative) Verteilungsfunktion: Φ(x) = P(X≤x) = Z x

−∞

ϕ(t) dt

• Wahrscheinlichkeit: P(a ≤X ≤b) = Φ(b)−Φ(a)

• Erwartungswert: E(X) =µ

• Varianz: Var(X) =σ²

• Sigma-Regeln:

P(µ−σ ≤X ≤µ+σ)≈68.3%

P(µ−2σ≤X ≤µ+ 2σ)≈95.4%

P(µ−3σ≤X ≤µ+ 3σ)≈99.7%