Differenzialrechnung (Kapitel 8)
m¨undliche Aufgaben
∞+∞=
Aufgabe 8.1
∞+∞=∞
∞
∞ =
Aufgabe 8.2
∞
∞ = . . . ist nicht definiert
Begr¨undung: Es lassen sich Funktionen finden, mit denen widerspr¨uchliche Resultate erzeugt werden k¨onnen. Zum Beispiel:
∞
∞ =
x→∞lim x2
x→∞lim x
= lim∗ x→∞
x2 x = lim
x→∞x=∞
∞
∞ =
x→∞lim x
x→∞lim x2
= lim∗ x→∞
x x2 = lim
x→∞
1 x =0 (∗: wegen der Stetigkeit vonx2undx)
∞
∞ = . . . ist nicht definiert
Begr¨undung: Es lassen sich Funktionen finden, mit denen widerspr¨uchliche Resultate erzeugt werden k¨onnen. Zum Beispiel:
∞
∞ =
x→∞lim x2
x→∞lim x
= lim∗ x→∞
x2 x = lim
x→∞x=∞
∞
∞ =
x→∞lim x
x→∞lim x2
= lim∗ x→∞
x x2 = lim
x→∞
1 x =0 (∗: wegen der Stetigkeit vonx2undx)
Aufgabe 8.3
(−∞)3 =
(−∞)3 = (−∞)·(−∞)
| {z }
+∞
·(−∞) =−∞
Aufgabe 8.4
∞ − ∞=
Aufgabe 8.4
∞ − ∞= . . . ist nicht definiert
Resultate erzeugt werden k¨onnen. Zum Beispiel:
∞ − ∞= lim
x→∞2x− lim
x→∞x= lim∗
x→∞(2x−x) = lim
x→∞x=∞
∞ − ∞= lim
x→∞x− lim
x→∞2x= lim∗
x→∞(x−2x) = lim
x→∞(−x) =−∞
(∗: wegen der Stetigkeit vonx und 2x)
Aufgabe 8.4
∞ − ∞= . . . ist nicht definiert
Begr¨undung: Es lassen sich Funktionen finden, mit denen widerspr¨uchliche Resultate erzeugt werden k¨onnen. Zum Beispiel:
∞ − ∞= lim
x→∞2x− lim
x→∞x= lim∗
x→∞(2x−x) = lim
x→∞x=∞
∞ − ∞= lim
x→∞x− lim
x→∞2x= lim∗
x→∞(x−2x) = lim
x→∞(−x) =−∞
(∗: wegen der Stetigkeit vonx und 2x)
∞ −3 =
Aufgabe 8.5
∞ −3 =∞
7· ∞=
Aufgabe 8.6
7· ∞=∞
0· ∞=
Aufgabe 8.7
0· ∞= . . . ist nicht definiert
Begr¨undung: Es lassen sich Funktionen finden, mit denen widerspr¨uchliche Resultate erzeugt werden k¨onnen. Zum Beispiel:
0· ∞= lim
x→∞
1 x · lim
x→∞x2= lim∗
x→∞
1 x ·x2
= lim
x→∞x =∞
0· ∞= lim
x→∞
1 x2· lim
x→∞x = lim∗
x→∞
1
x2 ·x
= lim
x→∞
1 x =0 (∗: wegen der Stetigkeit von 1/x2undx)
0· ∞= . . . ist nicht definiert
Begr¨undung: Es lassen sich Funktionen finden, mit denen widerspr¨uchliche Resultate erzeugt werden k¨onnen. Zum Beispiel:
0· ∞= lim
x→∞
1 x · lim
x→∞x2= lim∗
x→∞
1 x ·x2
= lim
x→∞x =∞
0· ∞= lim
x→∞
1 x2 · lim
x→∞x = lim∗
x→∞
1
x2 ·x
= lim
x→∞
1 x =0 (∗: wegen der Stetigkeit von 1/x2undx)
Aufgabe 8.8
−12∞2=
−12∞2=−∞
Aufgabe 8.9
x→∞lim 7−5x2+ 2x3−3x
=
Aufgabe 8.9
x→∞lim 7−5x2+ 2x3−3x
x→∞
Bei Grenzwerten von Polynomen muss nur das Monom mit dem gr¨ossten Exponenten ber¨ucksichtigt werden. Begr¨undung: F¨ur grosse|x|gilt:
7−5x2+ 2x3−3x
=x3
7
x3−5
x + 2− 3 x2
≈x3(0−0 + 2−0) = 2x3
Aufgabe 8.9
x→∞lim 7−5x2+ 2x3−3x
= lim
x→∞2x3
=∞
Bei Grenzwerten von Polynomen muss nur das Monom mit dem gr¨ossten Exponenten ber¨ucksichtigt werden. Begr¨undung: F¨ur grosse|x|gilt:
7−5x2+ 2x3−3x
=x3
7
x3−5
x + 2− 3 x2
≈x3(0−0 + 2−0) = 2x3
Aufgabe 8.9
x→∞lim 7−5x2+ 2x3−3x
= lim
x→∞2x3=∞
Exponenten ber¨ucksichtigt werden. Begr¨undung: F¨ur grosse|x|gilt:
7−5x2+ 2x3−3x
=x3
7
x3−5
x + 2− 3 x2
≈x3(0−0 + 2−0) = 2x3
Aufgabe 8.9
x→∞lim 7−5x2+ 2x3−3x
= lim
x→∞2x3=∞
Bei Grenzwerten von Polynomen muss nur das Monom mit dem gr¨ossten Exponenten ber¨ucksichtigt werden. Begr¨undung: F¨ur grosse|x|gilt:
7−5x2+ 2x3−3x
=x3
7
x3−5
x + 2− 3 x2
≈x3(0−0 + 2−0) = 2x3
x→−∞lim −x4+ 2x2+ 9
=
Aufgabe 8.10
x→−∞lim −x4+ 2x+ 9
= lim
x→−∞ −x4
=−∞
Aufgabe 8.10
x→−∞lim −x4+ 2x+ 9
= lim
x→−∞ −x4
Aufgabe 8.10
x→−∞lim −x4+ 2x+ 9
= lim
x→−∞ −x4
=−∞
x→∞lim
x2−3x 2x2+ 1 =
Aufgabe 8.11
x→∞lim
x2−3x 2x2+ 1
= lim
x→∞
x2
2x2 = lim
x→∞
1 2 = 1
2
Grad des Z¨ahlerpolynoms = Grad des Nennerpolynoms
Aufgabe 8.11
x→∞lim
x2−3x
2x2+ 1 = lim
x→∞
x2 2x2
= lim
x→∞2 = 2
Grad des Z¨ahlerpolynoms = Grad des Nennerpolynoms
Aufgabe 8.11
x→∞lim
x2−3x
2x2+ 1 = lim
x→∞
x2
2x2 = lim
x→∞
1 2
= 1 2
Grad des Z¨ahlerpolynoms = Grad des Nennerpolynoms
Aufgabe 8.11
x→∞lim
x2−3x
2x2+ 1 = lim
x→∞
x2
2x2 = lim
x→∞
1 2 = 1
2
Aufgabe 8.11
x→∞lim
x2−3x
2x2+ 1 = lim
x→∞
x2
2x2 = lim
x→∞
1 2 = 1
2
Grad des Z¨ahlerpolynoms = Grad des Nennerpolynoms
x→−∞lim
x3+ 2x−1 x4+x2−3 =
Aufgabe 8.12
x→−∞lim
x3+ 2x−1 x4+x2−3
= lim
x→−∞
x3
x4 = lim
x→−∞
1 x = 0 Grad des Z¨ahlerpolynoms<Grad des Nennerpolynoms
Aufgabe 8.12
x→−∞lim
x3+ 2x−1
x4+x2−3 = lim
x→−∞
x3 x4
= lim
x→−∞x = 0 Grad des Z¨ahlerpolynoms<Grad des Nennerpolynoms
Aufgabe 8.12
x→−∞lim
x3+ 2x−1
x4+x2−3 = lim
x→−∞
x3
x4 = lim
x→−∞
1 x
= 0 Grad des Z¨ahlerpolynoms<Grad des Nennerpolynoms
Aufgabe 8.12
x→−∞lim
x3+ 2x−1
x4+x2−3 = lim
x→−∞
x3
x4 = lim
x→−∞
1 x = 0
Aufgabe 8.12
x→−∞lim
x3+ 2x−1
x4+x2−3 = lim
x→−∞
x3
x4 = lim
x→−∞
1 x = 0 Grad des Z¨ahlerpolynoms<Grad des Nennerpolynoms
Welchen Grad hat das Quotientenpolynom x3−x+ 2x−1
x2+ 1
nach der Polynomdivision?
Aufgabe 8.13
x3−x+ 2x−1
x2+ 1 =x+. . . hat den Grad 3−2 = 1
Welchen Grad hat das Quotientenpolynom 4x5+ 3x−2
x2−4x+ 7
nach der Polynomdivision?
Aufgabe 8.14
4x5+ 3x−2
x2−4x+ 7 = 4x3+. . . hat den Grad 5−2 = 3
x→∞lim
x3+x2+x+ 1
ex =
Aufgabe 8.15
x→∞lim
x3+x2+x+ 1
ex = lim
x→∞
x3 ex = 0
Die Exponentialfunktion im Nenner strebt schneller gegen∞ als die Potenzfunktionen.
x→∞lim
x3+x2+x+ 1
ex = lim
x→∞
x3 ex = 0
Die Exponentialfunktion im Nenner strebt schneller gegen∞ als die Potenzfunktionen.
Aufgabe 8.16
x→∞lim 2x 1−x2 =
Aufgabe 8.16
x→∞lim 2x
1−x2 = lim
x→∞
2x
−x2 =− lim
x→∞
2x
x2 =−∞
gegen∞ als die Potenzfunktion im Nenner.
Aufgabe 8.16
x→∞lim 2x
1−x2 = lim
x→∞
2x
−x2 =− lim
x→∞
2x
x2 =−∞
Die Exponentialfunktion im Z¨ahler strebt asymptotischschneller gegen∞ als die Potenzfunktion im Nenner.
x→∞lim lnx
x3 =
Aufgabe 8.17
x→∞lim lnx
x3 = 0
Begr¨undung: die Potenzfunktion im Nenner strebt schneller gegen
∞als die Logarithmusfunktion im Z¨ahler gegen −∞.
x→∞lim lnx
x3 = 0
Begr¨undung: die Potenzfunktion im Nenner strebt schneller gegen
∞als die Logarithmusfunktion im Z¨ahler gegen −∞.
Aufgabe 8.18
x→0lim+log10x =
x→0lim+log10x =−∞
zur Erinnerung:
Aufgabe 8.19
x→0lim+ x4 log2x =
Aufgabe 8.19
x→0lim+ x4 log2x = 0
Logarithmusfunktion gegen−∞.
Aufgabe 8.19
x→0lim+ x4 log2x = 0
Die Potenzfunktion strebt schneller gegen Null als als die Logarithmusfunktion gegen−∞.
