Übungen zu Mathematik 1 Blatt 1 Zu bearbeiten bis 7.10.2021

Heilbronn, den 30.9.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Mathematik 1

Blatt 1

Zu bearbeiten bis 7.10.2021

Name: Matrikelnr.:

Aufgabe 1. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung (5x+ 2)x = 3.

Aufgabe 2. Wiederholen Sie die Rechengesetze dere-Funktion wie z.B.

e^x+y = e^xe^y e^−x = 1

e^x e^xy = (e^x)^y

e⁰ = 1.

Weiterhin sollten Sie wissen, dass diee-Funktion streng monoton steigend ist und

e^x→0 fürx→ −∞und e^x→ ∞ fürx→ ∞.

Lösen Sie damit die Gleichung

e^x+1 = 1 e^x−1.

Aufgabe 3. Wiederholen Sie die Rechengesetze der Logarithmusfunktion wie z.B.

ln(xy) = ln(x) + ln(y) ln(xⁿ) = nln(x)

ln(¹/x) = ln(x⁻¹) = −ln(x) log_a(x) = ln(x)

ln(a).

Weiterhin sollten Sie wissen, dass ln(x) nur für x > 0 definiert ist und dass die ln-Funktion streng monoton steigend ist.

Lösen Sie hiermit die Gleichung

log₃(x+ 1) = log₉(4x).

Hinweis: Nutzen Sie aus, dass 9 = 3². Aufgabe 4. Vereinfachen Sie den Term

x 1 + _1+x¹

1

Aufgabe 5. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung 1

x+ 1

x+ 1 = 3.

Aufgabe 6. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung sin(x+ 1) = 1.

Aufgabe 7. Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = xcos(x²).

Aufgabe 8. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung x

x+ 1 +x = 0.

Aufgabe 9. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung sin(x²+ 1) = 1.

Aufgabe 10. Zeigen Sie, dass für allea, b >0 gilt a^ln(b) = b^ln(a).

Hinweis: Nutzen Sie aus, dass e^ln(x) =x und verwenden Sie die Rechen- gesetze der ln-Funktion.

Aufgabe 11. Zeigen Sie, dass e^x

e^√x = e

√x

√x−1

.

Aufgabe 12. Berechnen Sie die Lösung der Gleichung ln

x+ 1 2√

e^x

= 1−x 2 . Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.

Aufgabe 13. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung

1 x

x+_x¹ = x². Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.

Aufgabe 14. Bringen Sie folgenden Term auf einen Bruch und vereinfachen Sie so weit wie möglich.

x+1 x

x+_x+2¹ . 2

Aufgabe 15. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung cos(e^x) = 1.

Aufgabe 16. Sei

f(x) = x²+e^x g(x) = xsin(x+ 1).

Berechnen Sie einen Funktionsterm fürf(g(x)) und fürg(f(x)).

Aufgabe 17. Vereinfachen Sie den Term xln

1 x

+ ln(3^x) so weit wie möglich.

Aufgabe 18. Berechnen Sie die Polynomdivision (x³+x+ 1) : (2x²+ 1).

Aufgabe 19. Lösen Sie die Gleichung

log₃(x) = log₉(y)

nachxauf und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.

Hinweis: Nutzen Sie das Logarithmengesetz log_a(x) = ln(x)

ln(a). Aufgabe 20. Vereinfachen Sie den Term

p

e^{4 ln(√x)} so weit wie möglich.

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