Heilbronn, den 14.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Mathematik 1 mit Musterlösungen
Blatt 3
Aufgabe 1. Im Skript wurde unter Verwendung der Rechengesetze der Aussa- genlogik bewiesen, dass
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
Beweisen Sie in gleicher Weise, dass
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C).
Hinweis. Beim zweiten Beweis benötigen Sie u.a. die aussagenlogische For- mel
F∧(G∧H) = (F∧G)∧(F∧H).
Lösung von Aufgabe 1.
A∪(B∩C) = {x|x∈A∨x∈B∩C}
= {x|x∈A∨(x∈B∧x∈C)}
= {x|(x∈A∨x∈B)∧(x∈A∨x∈C)}
= {x|(x∈A∪B)∧(x∈A∪C)}
= {x|x∈(A∪B)∩(A∪C)}
= (A∪B)∩(A∪C) A\(B∪C) = {x|x∈A∧x6∈B∪C}
= {x|x∈A∧ ¬(x∈B∪C)}
= {x|x∈A∧ ¬(x∈B∨x∈C)}
= {x|x∈A∧(¬x∈B∧ ¬x∈C)}
= {x|x∈A∧(x6∈B∧x6∈C)}
= {x|(x∈A∧x6∈B)∧(x∈A∧x6∈C)}
= {x|(x∈A\B)∧(x∈A\C)}
= {x|x∈(A\B)∩(A\C)}
= (A\B)∩(A\C)
Aufgabe 2. Berechnen Sie die MengeA∩(B\C) für A = {2,5,7}
B = {1,2,7,8}
C = {2,3,8}
Lösung von Aufgabe 2.
B\C = {1,7}
A∩(B\C) = {7}.
Aufgabe 3. Finden Sie jeweils eine Zahlxso dass gilt
• x∈Zaberx6∈N
• x∈Qaberx6∈Z
• x∈Raberx6∈Q. Lösung von Aufgabe 3.
• −2∈Zaber−26∈N
• 1/2∈Qaber 1/26∈Z
• π∈Raberπ6∈Q.
Aufgabe 4. Entscheiden Sie von jeder der folgenden Zeichenketten, ob es sich um einen Term handelt oder nicht.
• 2x−7
• p
2,sin(x)
• sin(x+ 3)2
• x2= 5−x
• sin(x+ 2)) Lösung von Aufgabe 4.
• 2x−7 ist ein Term.
• p
2,sin(x) ist kein Term, da √
ein einstelliges Funktionssymbol ist.
• sin(x+ 3)2ist ein Term.
• x2= 5−xist kein Term, da = ein Relationssymbol ist
• sin(x+ 2)) ist kein Term wegen der letzten Klammer.
Aufgabe 5. Von einer Funktionf(x) ist bekannt, dass für allexgilt f(5x+ 3) = x2.
Berechnen Sie einen Funktionsterm fürf(x).
Hinweis: Sie dürfen auf beiden Seiten der Gleichung das Variablensymbol xdurch einen beliebigen Term ersetzen. Im ersten Schritt ersetzt manx durchx/5und erhält
f(5 (x/5) + 3) = (x/5)2 f(x+ 3) = (x/5)2
Lösung von Aufgabe 5. Ausgehend von
f(5x+ 3) = x2
wird auf beiden Seitenxersetzt durchx/5. Man erhält damit f(x+ 3) = (x/5)2.
Ersetzt man auf beiden Seitenxdurchx−3 erhält man
f(x) =
x−3 5
2 .
Aufgabe 6. SeiF die Aussage
x∈ {2,3,5}
undGdie Aussage
x∈ {2,3,7}.
• Finden Sie zu jeder der folgenden Aussage einen Wert für xso dass die Aussage wahr ist und einen Wert fürxso dass die Aussage falsch ist.
F∧G, F∨G, F →G, G→F, F ↔G.
• Bestimmen Sie den Wahrheitswert vonF →Gfürx= 2,4,5,7.
Lösung von Aufgabe 6.
• F∧Gwahr fürx= 2, falsch fürx= 5
• F∨Gwahr fürx= 2, falsch fürx= 4
• F →Gwahr fürx= 7, falsch fürx= 5
• G→F wahr fürx= 5, falsch fürx= 7
• F ↔Gwahr fürx= 4, falsch fürx= 5
x= 2 x= 4 x= 5 x= 7
F→G w w f w
Aufgabe 7. Die Symbole ∀x und ∃xbedeuten “für alle xgilt” bzw. “es gibt einxso dass”. Entscheiden Sie von den folgenden beiden Aussagen, ob sie wahr oder falsch sind.
∀x(x∈N→x6∈N)
∃x(x∈N→x6∈N) Lösung von Aufgabe 7. Die Aussage
∀x x∈N→x6∈N
ist falsch. Für z.B.x= 3 erhält man die Aussage 3∈N→36∈N.
Diese Aussage ist falsch da 3∈Nwahr ist und 36∈Nfalsch ist. Somit ist es nicht wahr, dass für allexgilt, dassx∈N→x6∈N. Die Aussage
∃x x∈N→x6∈N
ist wahr. Für z.B.x=−1 erhält man die Aussage
−1∈N→ −16∈N.
Diese Aussage ist wahr da−1∈Nfalsch ist und−16∈Nwahr ist. Somit existiert einxso dassx∈N→x6∈N.
Aufgabe 8. Betrachten Sie die beiden Aussagen:
• Wenn Sie die Hausaufgaben machen, bestehen Sie die Prüfung.
• Wenn Sie die Prüfung nicht bestehen, haben Sie Ihre Hausaufgaben nicht gemacht.
Sind die beiden Aussagen äquivalent? Argumentieren Sie mit Wahrheits- tabellen.
Lösung von Aufgabe 8. Die Wahrheitstabelle vonF →Gund¬G→ ¬F ist identisch, folglich sind die Aussagen äquivalent.
Aufgabe 9. Sei
A={1,2}, B={2,3}.
• Berechnen Sie (A∩B)2undA2∩B2.
• Ist die Aussage
(A∪B)2 = A2∪B2 richtig? Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung von Aufgabe 9. Es gilt A∩B = {2}
(A∩B)2 = (2,2)
A2 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
B2 = {(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}
A2∩B2 = {(2,2)}.
Es gilt
(1,3) ∈ (A∪B)2 (1,3) 6∈ A2∪B2. Folglich ist
(A∪B)2 6= A2∪B2.
Aufgabe 10. Sei
A = (Z\N)2 B = Z2\N2.
• Nennen Sie jeweils ein Element aus Aund ein Element ausB.
• Versuchen Sie, ein Paar zu finden, das in einer Menge ist, aber nicht in der anderen.
• Ist A=B,A⊆B oderB⊆A? Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung von Aufgabe 10. Es gilt z.B.
(−1,−2) ∈ A (3,−2) ∈ B.
Da
3 6∈ Z\N ist auch
(3,−2) 6∈ (Z\N)2. Folgich istA6=B.
Es gilt aberA⊆B. Man muss nur zeigen, dass für alle (x, y) gilt wenn (x, y)∈A, dann (x, y)∈B.
Sei also (x, y)∈ A. Dann sind sowohl xals auch y Elemente von Z\N. Folglich ist (x, y)∈Z2und (x, y)6∈N2, d.h. (x, y)∈B.
Aufgabe 11. Sei
M = {(a, b, c)|a, b, c∈R∧a < b < c}
IstM eine Relation?
Schauen Sie sich nochmal die Definition der Begriffe Relation und karte- sisches Produkt an und begründen Sie damit Ihre Antwort.
Lösung von Aufgabe 11. Da
M ⊆ R3
undR3=R2×R, gilt
M ⊆ R2×R.
Laut Definition heißt eine MengeR Relation, wenn es Mengen A, B gibt so dass
R ⊆ A×B.
MitA=R2 undB=Rfolgt somit, dassM eine Relation ist.
Aufgabe 12. Sei
A={1,2}, B={2,3}, C={3,4}.
Berechnen Sie
A∩(B×C) und (A∩B)×C.
Lösung von Aufgabe 12.
A∩(B×C) = {1,2} ∩ {(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)}
= ∅
(A∩B)×C = {2} × {3,4}
= {(2,3),(2,4)}
Aufgabe 13. Eine RelationRheißt transitiv wenn gilt:
∀a, b, c(aRb∧bRc)→aRc.
So ist z.B. die Relation≤N transitiv. Die Aussage (a≤Nb∧b≤Nc)→a≤Nc ist wahr für beliebigea, b, c∈N.
• Überlegen Sie sich ein Beispiel für eine endliche Relation, die transitiv ist.
• Überlegen Sie sich ein Beispiel für eine unendliche Relation, die nicht transitiv ist.
Lösung von Aufgabe 13. Beispiele für endliche, transitive Relationen sind R = {(1,2),(2,3),(1,3)}
R = {(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)}
R = {(3,4)}
R = ∅.
Beispiele für unendliche, nicht transitive Relationen sind R = {(1,2),(2,3),(3,4), . . .}
R = ≤N\{(3,7)}
R = 6=N.
Aufgabe 14. Die Menge (R2)3 ist die Menge aller Tripel mit Komponenten ausR2. Ein Tripel von Paaren ist z.B.
(2,2),(−3,0),(5,6) .
Nennen Sie ein weiteres Element aus der Menge (R2)3. Lösung von Aufgabe 14. Ein Element ist z.B.
((1,2),(−3,0),(4,4)).
Aufgabe 15. Nennen Sie je ein Element der Menge (R2)3und (R3)2.
Sind die Mengen gleich? Elemente dieser Mengen werden später als Ma- trizen bezeichnet. Geschachtelte kartesische Produkte sind also durchaus wichtig.
Lösung von Aufgabe 15.
((1,2),(3,4),(5,6)) ∈ (R2)3 ((1,2,3),(4,5,6)) ∈ (R3)2.
Die Mengen sind nicht gleich. In der ersten Menge sind Tripel, deren Kom- ponenten Paare sind. In der zweiten Menge sind Paare, deren Komponen- ten Tripel sind.
Aufgabe 16. Sei
A={1,2}.
Begründen Sie, weshalb
A3∩(A×A2) =∅.
Lösung von Aufgabe 16. Jedes Elemente von A3 ist ein Paar, dessen erste Komponente ein Paar ist. Jedes Element vonA×A2 ist ein Paar dessen erste Komponente Element vonAist. DaAkeine Paare enthält, kann kein Element vonA3 auch Element von A×A2 sein, folglich ist die Schnitt- menge leer.
Aufgabe 17. Eine Funktionf besteht aus zwei MengenA, B und einer Rela- tionR.
• Die Menge Aist der Definitionsbereich. Die Funktion kann nur Ele- mente aus Averarbeiten.
• Die Funktionswerte liegen in der Menge B.
• Die Relation R enthält die Zuordnungspaare. Ist (a, b) ∈ R heißt dies, dass die Funktion dem Input a den Output b zuordnet bzw.
f(a) = b. Entscheidend für Funktionen ist, dass der Funktionswert zu jedem a∈Aeindeutig ist. Es muss daher zu jedem a∈A genau ein b∈B geben mit (a, b)∈R.
In der Darstellung einer Funktion durch ein Mengendiagramm mit Zuord- nungspfeilen bedeutet dies, dass von jedem Element ausAgenau ein Pfeil ausgehen und inB enden muss.
R
A B
Formal ausgedrückt ist eine Funktion ein Tripel (A, B, R) mit folgenden Eigenschaften:
• Die Relation R besteht aus Paaren, deren erste Komponente aus A ist und deren zweite Komponente ausB, d.h.
R⊆A×B.
• Zu jedem a∈A existiert genau einb∈B mit (a, b)∈R. Damit ist der Funktionswert an der Stelle aeindeutig.
Beispiele:
• Für
A={1,2}, B={3,4}, R={(1,3),(2,4)}
istf = (A, B, R) eine Funktion. Es giltf(1) = 3 undf(2) = 4.
R
A B
1 2
3 4
• Für
A={1,2}, B={3,4}, R={(1,3),(1,4)}
ist f = (A, B, R) keine Funktion, da für a = 1 sowohl b = 3 als auch b = 4 existiert mit (a, b) ∈ R. Damit wäre der Funktionswert f(1) nicht eindeutig. Außerdem existiert für a = 2 gar kein b mit (a, b)∈R. Der Funktionswertf(2) wäre daher undefiniert.
R
A B
1 2
3 4
• Für
A={1,2}, B={3,4}, R={(1,3),(2,5)}
istf = (A, B, R) keine Funktion daR6⊆A×B.
R
A B
1 2
3 4
5
Entscheiden Sie für folgende Fälle, ob das Tripelf = (A, B, R) eine Funk- tion ist. Zeichnen Sie das entsprechende Mengendiagramm und geben Sie eine Begründung.
A={1,2}, B ={1}, R={(1,1),(2,1)}
A={1,2}, B ={3,4,5}, R={(1,5),(2,4)}
A={1,2}, B ={3}, R={(1,3)}
Lösung von Aufgabe 17.
• Für
A={1,2}, B={1}, R={(1,1),(2,1)}
istf = (A, B, R) eine Funktion. Es giltf(1) = 1 und (2) = 1.
R
A B
1 2
1
• Für
A={1,2}, B={3,4,5}, R={(1,5),(2,4)}
istf = (A, B, R) eine Funktion. Es giltf(1) = 5 und f(2) = 4. Dass das Element 3∈B nicht als Funktionswert vorkommt, widerspricht keiner der Forderungen, die an eine Funktion gestellt wurden.
R
A B
1 2
3 4 5
• Für
A={1,2}, B={3}, R={(1,3)}
istf = (A, B, R) keine Funktion. Füra= 2 existiert keinb∈B mit (a, b)∈R. Damit wäref(2) undefiniert.
R
A B
1
2 3
Aufgabe 18. Die Menge aller Funktionen von A nach B wird mit A → B bezeichnet.
Sei nun
A={1,2}, B={3,4}.
Damit ist z.B.
A, B,{(1,3),(2,4)}
∈ A→B.
Nennen Sie alle Elemente der MengeA→B, d.h. alle Funktionen von A nachB.
Lösung von Aufgabe 18.
(A, B,{(1,3),(2,3)}) (A, B,{(1,3),(2,4)}) (A, B,{(1,4),(2,3)}) (A, B,{(1,4),(2,4)}).
Aufgabe 19. SeienA, B endliche Mengen. Es soll nun die Anzahl aller Funk- tionen vonAnach B berechnet werden, d.h.|A→B|. Für jedes Element a∈Agibt es|B| Möglichkeiten, ihm einen Funktionswert zuzuordnen.
Ist also z.B.|A|= 3 und|B|= 5, dann ist
|A→B| = 5·5·5 = 625.
Wie lautet die allgemeine Formel zur Berechnung von|A→B|?
Lösung von Aufgabe 19.
|A→B| = |B||A|. Aufgabe 20. Gibt es eine RelationRso dass
{2},{3,5}, R
eine Funktion ist? Falls ja nennen Sie eine solche Relation, falls nein geben Sie eine kurze Begründung.
Lösung von Aufgabe 20. Eine Möglichkeit istR={(2,3)}, die andere Mög- lichkeit istR={(2,5)}.
Aufgabe 21. Wie viele Elemente hat die Menge{0,1,2} → {0,1}? Stellen Sie ein Element dieser Menge als Tripel (A, B, R) dar.
Lösung von Aufgabe 21. {0,1,2} → {0,1} hat 23= 8 Elemente.
f = ({0,1,2},{0,1},{(0,0),(1,0),(2,1)})
Aufgabe 22. Wie lässt sich formal ausdrücken, dass f eine Funktion ist, die jeder reellen Zahl außer 3 und 5 ein Tripel von natürlichen Zahlen zuord- net?
Lösung von Aufgabe 22.
f ∈R\ {3,5} →N3
