Übungen zu Mathematik 1 mit Musterlösungen Blatt 1

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Heilbronn, den 30.9.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Mathematik 1 mit Musterlösungen

Blatt 1

Aufgabe 1. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung (5x+ 2)x = 3.

Lösung von Aufgabe 1. Umformen der Gleichung ergibt 5x²+ 2x−3 = 0.

Mit der Mitternachtsformel erhält man x1,2 = −2±√

4 + 60 10

= −2±8 10

= −1±4 5 Damit sind die Lösungen

x₁=3

5, x₂=−1.

Aufgabe 2. Wiederholen Sie die Rechengesetze dere-Funktion wie z.B.

e^x+y = e^xe^y e^−x = 1

e^x e^xy = (e^x)^y

e⁰ = 1.

Weiterhin sollten Sie wissen, dass diee-Funktion streng monoton steigend ist und

e^x→0 fürx→ −∞und e^x→ ∞ fürx→ ∞.

Lösen Sie damit die Gleichung

e^x+1 = 1 e^x−1. Lösung von Aufgabe 2. Umformen ergibt

e^x−1e^x+1 = 1 e(x−1)+(x+1) = 1 e^2x = 1.

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Da die e-Funktion streng monoton steigend ist, ist diese Gleichung nur erfüllt wenn

2x = 0.

Damit hat man nur eine Lösung x= 0.

Aufgabe 3. Wiederholen Sie die Rechengesetze der Logarithmusfunktion wie z.B.

ln(xy) = ln(x) + ln(y) ln(xⁿ) = nln(x)

ln(¹/x) = ln(x⁻¹) = −ln(x) log_a(x) = ln(x)

ln(a).

Weiterhin sollten Sie wissen, dass ln(x) nur für x > 0 definiert ist und dass die ln-Funktion streng monoton steigend ist.

Lösen Sie hiermit die Gleichung

log₃(x+ 1) = log₉(4x).

Hinweis: Nutzen Sie aus, dass 9 = 3². Lösung von Aufgabe 3. Umformen ergibt

ln(x+ 1)

ln(3) = ln(4x) ln(3²) ln(x+ 1)

ln(3) = ln(4x) 2 ln(3) ln(x+ 1) = ln(4x)

2 2 ln(x+ 1) = ln(4x) ln((x+ 1)²) = ln(4x).

Da die ln-Funktion streng monoton steigend ist, muss das Argument der ln Funktion auf beiden Seiten gleich sein, d.h.

(x+ 1)² = 4x sein. Umformen ergibt

x²+ 2x+ 1 = 4x x²−2x+ 1 = 0

(x−1)² = 0.

Die Gleichung hat damit genau eine Lösungx= 1.

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Aufgabe 4. Vereinfachen Sie den Term x 1 + _1+x¹ Lösung von Aufgabe 4.

x

1 + _1+x¹ = x(1 +x) 1 +x+ 1

= x+x² 2 +x Aufgabe 5. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung

1 x+ 1

x+ 1 = 3.

Lösung von Aufgabe 5. Multiplikation mitx(x+ 1) auf beiden Seiten ergibt x+ 1 +x = 3x(x+ 1)

2x+ 1 = 3x²+ 3x 3x²+x−1 = 0.

Lösung der quadratischen Gleichung ergibt x1,2 = −1±√

1 + 12 6

= −1±√ 13

6 .

Aufgabe 6. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung sin(x+ 1) = 1.

Lösung von Aufgabe 6. Substitutionu=x+ 1. Die Gleichung sin(u) = 1

hat die Lösungen

u = π

2 + 2kπ, k∈Z. Mitx=u−1 hat die ursprüngliche Gleichung die Lösung

x = π

2 −1 + 2kπ, k∈Z. Aufgabe 7. Berechnen Sie die Ableitung der Funktion

f(x) = xcos(x²).

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Lösung von Aufgabe 7.

f⁰(x) = cos(x²) +x(−2xsin(x²))

= cos(x²)−2x²sin(x²).

Aufgabe 8. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung x

x+ 1 +x = 0.

Lösung von Aufgabe 8. Multiplikation mitx+ 1 ergibt x+x(x+ 1) = 0

x²+ 2x = 0.

Eine Lösung ist somitx= 0. Division durchxergibt x+ 2 = 0.

Die zweite Lösung ist damitx=−2.

Aufgabe 9. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung sin(x²+ 1) = 1.

Lösung von Aufgabe 9. Substitution

u = x²+ 1 liefert die Gleichung

sin(u) = 1 mit den Lösungen

u = π

2 + 2kπ, k∈Z. Damit ist

x²+ 1 = π 2 + 2kπ x² = π

2 −1 + 2kπ

x = ±

rπ

2 −1 + 2kπ, k= 0,1,2, . . . . Aufgabe 10. Zeigen Sie, dass für allea, b >0 gilt

a^ln(b) = b^ln(a).

Hinweis: Nutzen Sie aus, dass e^ln(x) =x und verwenden Sie die Rechen- gesetze der ln-Funktion.

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a^ln(b) = e^ln(^a^ln(b))

= eln(b) ln(a)

=

e^ln(b)ln(a)

= b^ln(a). Schneller geht’s wenn man von der Gleichung

eln(a) ln(b) = eln(b) ln(a)

ausgeht und umformt:

e^ln(a)ln(b)

=

e^ln(b)ln(a)

a^ln(b) = b^ln(a). Aufgabe 11. Zeigen Sie, dass

e^x

e^√^x = e

√x

√x−1

. Lösung von Aufgabe 11.

e

√x

√x−1

= e

√x(√ x−1)

= e

√x√ x−√

x

= e^xe⁻

√x

= e^x e^√^x. Aufgabe 12. Berechnen Sie die Lösung der Gleichung

ln x+ 1

2√ e^x

= 1−x 2 . Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.

Lösung von Aufgabe 12. Vereinfachen der linken Seite.

ln x+ 1

2√ e^x

= ln x+ 1

2

−ln(√ e^x)

= ln x+ 1

2

−1 2ln(e^x)

= ln x+ 1

2

−x 2

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Damit wird aus der Gleichung ln

x+ 1 2

−x

2 = 1−x 2 ln

x+ 1 2

= 1−x 2 +x

2 ln

x+ 1 2

= 1

2 x+ 1

2 = e^1/2 x+ 1 = 2√

e x = 2√

e−1.

Aufgabe 13. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung

1 x

x+_x¹ = x². Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.

Lösung von Aufgabe 13. Erweitern des Bruchs mitxergibt 1

x²+ 1 = x²

1 = x²(x²+ 1).

Substitutionu=x² ergibt

1 = u(u+ 1) u²+u−1 = 0.

Die Lösungen sind

u1,2 = −1±√ 1 + 4 2

= −1±√ 5

2 .

Dau=x² mussu≥0 sein, d.h. es kommt nur die Lösung u =

√5−1 2 in Frage. Damit ist

x1,2 = ±√ u

= ±

s√ 5−1

2 .

Aufgabe 14. Bringen Sie folgenden Term auf einen Bruch und vereinfachen Sie so weit wie möglich.

x+1 x

x+ ¹ .

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x+1 x

x+_x+2¹ =

x+1 x x(x+2)+1

x+2

= x+ 1 x

x+ 2 x²+ 2x+ 1

= (x+ 1)(x+ 2) x(x+ 1)²

= x+ 2 x(x+ 1)

Aufgabe 15. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung cos(e^x) = 1.

Lösung von Aufgabe 15. Damit

cos(e^x) = 1 ist, muss

e^x = 2kπ sein für eine beliebige ganze Zahlk. Folglich gilt

x = ln(2kπ).

Da die ln-Funktion nur für positive Argumente definiert ist, mussk∈N gelten. Folglich ist die Lösungsmenge

L = {ln(2kπ)|k∈N}.

Aufgabe 16. Sei

f(x) = x²+e^x g(x) = xsin(x+ 1).

Berechnen Sie einen Funktionsterm fürf(g(x)) und fürg(f(x)).

f(g(x)) = f(xsin(x+ 1))

= (xsin(x+ 1))²+e^x^sin(x+1) g(f(x)) = g(x²+e^x)

= (x²+e^x) sin(x²+e^x+ 1).

Aufgabe 17. Vereinfachen Sie den Term xln

1 x

+ ln(3^x) so weit wie möglich.

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xln 1

x

+ ln(3^x) = −xln(x) +xln(3)

= x(ln(3)−ln(x))

= xln 3

x

. Aufgabe 18. Berechnen Sie die Polynomdivision

(x³+x+ 1) : (2x²+ 1).

x³+x+ 1

2x²+ 1 = 1 2x+

1 2x+ 1 2x²+ 1. Aufgabe 19. Lösen Sie die Gleichung

log₃(x) = log₉(y)

nachxauf und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.

Hinweis: Nutzen Sie das Logarithmengesetz log_a(x) = ln(x)

ln(a). Lösung von Aufgabe 19. Mit den Gesetzen

log_a(x) = ln(x) ln(a) und

ln(a^x) = xln(a) lässt sich die Gleichung wie folgt umformen.

log₃(x) = log₉(y) ln(x)

ln(3) = ln(y) ln(9) ln(x) = ln(y)

2 ln(3)ln(3) ln(x) = 1

2ln(y) ln(x) = ln(√

y)

x = √

y.

Aufgabe 20. Vereinfachen Sie den Term pe^{4 ln(}^√^x) so weit wie möglich.

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pe^{4 ln(}^√^x) = p

e^{4 ln(x}^1/2⁾

= p

e^{2 ln(x)}

=

e^{2 ln(x)}1/2

= e^ln(x)

= x