Übungen zu Mathematik 1 mit Musterlösungen Blatt 5

(1)

Heilbronn, den 28.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Mathematik 1 mit Musterlösungen

Blatt 5

Aufgabe 1. Nennen Sie drei Teilmengen der Menge {2,5,9}

Lösung von Aufgabe 1. Teilmengen sind z.B.

{2},{2,3},{5,9},{2,5,9},{}.

Aufgabe 2. Mit Hilfe einer Wahrheitstabelle kann man leicht zeigen, dass F∨(G∧H) = (F∨G)∧(F∨H).

Mit solchen Gesetzen der Aussagenlogik lassen sich viele Rechengesetze für Mengen herleiten. So gilt z.B.

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).

Dies zeigt man indem man die Aussage x∈A∪(B∩C) äquivalent in

x∈(A∪B)∩(A∪C) umformt:

x∈A∪(B∩C) genau dann wenn x∈A∨x∈(B∩C) genau dann wenn x∈A∨(x∈B∧x∈C)

genau dann wenn (x∈A∨x∈B)∧(x∈A∨x∈C) genau dann wenn (x∈A∪B)∧(x∈A∪C)

genau dann wenn x∈(A∪B)∩(A∪C).

Zeigen Sie auf gleiche Weise unter Verwendung der Gesetze von de Morgan, dass

A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C).

Lösung von Aufgabe 2.

x∈A\(B∩C) genau dann wenn x∈A∧ ¬(x∈(B∩C)) genau dann wenn x∈A∧ ¬(x∈B∧x∈C) genau dann wenn x∈A∧(¬(x∈B)∨ ¬(x∈C)) genau dann wenn x∈A∧(x6∈B∨x6∈C)

genau dann wenn (x∈A∧x6∈B)∨(x∈A∧x6∈C) genau dann wenn (x∈A\B)∨(x∈A\C)

genau dann wenn x∈(A\B)∪(A\C).

(2)

Aufgabe 3. Berechnen Sie die Mengen

N²\(<_N∪>_N)

≤_Z∪ ≤_Q (N²)⁻¹ N²∩>_Z (N×N²)∩(N²×N) Lösung von Aufgabe 3.

N²\(<_N∪>_N) = =_N

≤_Z∪ ≤_Q = ≤_Q (N²)⁻¹ = N² N²∩>_Z = >_N (N×N²)∩(N²×N) = ∅

Aufgabe 4. Eine RelationRheißt rechtseindeutig, wenn es zu jedemxhöch- stens einy gibt, mit (x, y)∈R. Ein paar Beispiele.

• Die Gleichheitsrelation ist rechtseindeutig. Zu jedemxgibt es höch- stens einy, das gleichxist (nämlichxselbst).

• Die Relation ≤_Nist nicht rechtseindeutig. Für x= 3 existieren viele y so dassx≤_Ny, z.B.y= 3,4,5, . . ..

• Die Relation

{(x, y)|x∈R∧y=x²}

ist rechtseindeutig. Zu jedem x ∈ R gibt es genau eine y ∈ R mit y=x².

Welche der folgenden Relationen sind rechtseindeutig? Begründen Sie Ihre Antwort.

R = {(2,3),(3,1),(4,4)}

R = {(2,3),(3,1),(2,4)}

R = {(x, y)|x, y∈R∧x6=y}

R = {(x, y)|x, y∈R∧x=y²} R = {(x, y)|x, y∈R∧y= sin(x)}.

• Die Relation

R = {(2,3),(3,1),(4,4)}

ist rechtseindeutig. Zu x= 2 gibt es nur einy = 3, zux= 3 gibt es nur einy = 1 und zux= 4 gibt es nur einy = 4. Zu allen anderen Werten fürxexistiert keiny. Somit gibt es zu jedemxhöchstens ein y so dass (x, y)∈R.

(3)

• Die Relation

R = {(2,3),(3,1),(2,4)}

ist nicht rechtseindeutig. Zu x= 2 existiert sowohl y = 3 als auch y= 4.

• Die Relation

R = {(x, y)|x, y∈R∧x6=y}

ist nicht rechtseindeutig. So existiert z.B. für x= 2 sowohly= 3 als auch y= 4 mitx6=y.

• Die Relation

R = {(x, y)|x, y∈R∧x=y²}

ist nicht rechtseindeutig. Für x= 4 existiert sowohl y = 2 als auch y=−2 so dass (x, y)∈R.

• Die Relation

R = {(x, y)|x, y∈R∧y= sin(x)}

ist rechtseindeutig. Für jedes x ∈ R existiert genau ein Wert y = sin(x).

Aufgabe 5. Die Komposition von rellen Funktionen ist definiert durch

◦ ∈(R→R)²→(R→R), (f ◦g)(x) = f(g(x)).

Das Argument der Funktion◦ist ein Paar von Funktionen aus der Mengen R → R, der Funktionswert ist wiederum eine Funktion aus der Menge R→R.

Die Addition von reellen Funktionen ist definiert durch +∈(R→R)²→(R→R), (f+g)(x) =f(x) +g(x).

Definieren Sie entsprechend die Multiplikation einer Funktion mit einer Zahl.

Lösung von Aufgabe 5. Die Multiplikation nimmt als Argument ein Paar bestehend aus einer Zahla∈R und einer Funktionf ∈R→R, d.h. ein Element ausR×(R→R). Der Funktionswert ist wiederum eine Funktion af ∈R→R.

· ∈(R×(R→R))→(R→R), (af)(x) =af(x).

Aufgabe 6.

• Gibt es eine Relation Rso dass

{1,2},{3}, R

eine Funktion ist? Falls ja nennen Sie eine solche Relation, falls nein geben Sie eine kurze Begründung.

(4)

• Nennen Sie alle RelationenR so dass {1},{2,3}, R eine Funktion ist.

• Einzige Möglichkeit istR={(1,3),(2,3)}.

• Es gibt zwei Möglichkeiten:

R = {(1,2)}

R = {(1,3)}

Aufgabe 7. Gegeben ist die Menge

A={2,3,4,5}

und die Funktion

f = (A, A,{(2,2),(3,4),(4,3),(5,2)}).

Finden Sie eine RelationRso dass

f◦f◦f = (A, A, R).

Lösung von Aufgabe 7. Zunächst berechnet man f(f(f(2))) =f(f(2)) =f(2) = 2 f(f(f(3))) =f(f(4)) =f(3) = 4 f(f(f(4))) =f(f(3)) =f(4) = 3 f(f(f(5))) =f(f(2)) =f(2) = 2 Damit ist

f◦f◦f = (A, A,{(2,2),(3,4),(4,3),(5,2)}).

Aufgabe 8. Sei

f ∈R²→R, f(x, y) =x²sin(xy).

Finden Sie zwei Funktioneng, hso dass f = g◦h.

Lösung von Aufgabe 8. Es gibt mehrere Möglichkeiten, z.B.

h∈R²→R², h(x, y) = (x²,sin(xy)) g∈R²→R, g(x, y) =xy.

Aufgabe 9. Skizzieren Sie die Funktion

f ∈R→R, f(x) = arccos(cos(x)) im Bereichx∈[−2π,2π].

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arccos(cos(x))

x

−π π

π

Aufgabe 10. Berechnen Sie die Umkehrfunktion der Funktion f = ({1,2},{3,4},{(1,4),(2,3)}).

f⁻¹= ({3,4},{1,2},{(4,1),(3,2)}).

Aufgabe 11. Berechnen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichung indem Sie Äquivalenzumformungen vornehmen. Wenn Sie beim Umformen eine Funk- tion auf beiden Seiten anwenden, dann geben Sie die Funktion explizit an und prüfen, ob die Funktion injektiv ist. Sie dürfen alle Gesetze der Lo- garithmierung und der Potenzrechnung benutzen, schreiben Sie aber dazu welches Gesetz Sie anwenden. Sie finden die Gesetze u.a. im Skript.

3e^x²⁺¹= 5^x Lösung von Aufgabe 11.

3e^x²⁺¹= 5^x

Da ln∈R⁺→Rbijektiv ist und für allexauf beiden Seiten eine positive Zahl steht, gilt

ln

3e^x²⁺¹

= ln(5^x).

Anwenden der Logarithmen Gesetze ergibt ln(3) + ln(e^x²⁺¹) =xln(5).

Da ln∈R⁺→Rdie Umkehrfunktion von exp∈R→R⁺ ist, gilt ln(3) +x²+ 1 =xln(5).

Die Funktion f ∈ R → R, f(x) = −xln(5) ist injektiv. Anwenden auf beiden Seiten ergibt

x²−ln(5)x+ ln(3) + 1 = 0.

Diese quadratische Gleichung hat keine Lösung, da die Diskriminante ne- gativ ist.

(6)

Aufgabe 12. Eine Folgex_n heißt

• monoton steigend, wenn x_n≤x_n+1,

• streng monoton steigend, wenn xn< xn+1,

• monoton fallend, wennxn≥xn+1,

• streng monoton fallend, wennxn> xn+1,

• alternierend, wennx_nx_n+1<0

für allen∈N. Prüfen Sie welche der unten angegebenen Folgen diese Ei- genschaften besitzen. Geben Sie zu jeder Folge an, ob sie konvergent, bestimmt divergent oder unbestimmt divergent ist. Hinweis: Meistens sieht man das sehr schnell wenn man die ersten paar Glieder der Folge auf- schreibt und den qualitativen Verlauf der Folge skizziert.

a) x_n= (−2)ⁿ/n³ b) xn= (n−1) sin(n)

c) xn=n²(−1)ⁿ d) xn=n!/(n+ 1)ⁿ

e) x_n= 1/√ n

f) x₁= 1, x₂= 2, x_n+2=x_n+x_n+1 g) x1= 2, xn+1=xn/2 + 1/xn

Hinweis zum letzten Beispiel: Nehmen Sie an, dass die Folge einen Grenz- wert ˆxhat. Für diesen Grenzwert muss dann gelten

ˆ

x= ˆx/2 + 1/x.ˆ

Aus dieser Gleichung können Sie mögliche Grenzwerte bestimmen.

a) x_n= (−2)ⁿ/n³: alternierend, unbestimmt divergent.

b) x_n = (n−1) sin(n): weder monoton noch alternierend, unbestimmt divergent.

c) xn=n²(−1)ⁿ: alternierend, unbestimmt divergent.

d) xn=n!/(n+1)ⁿ: streng monoton fallend, konvergent mit Grenzwert 0.

e) xn= 1/√

n: streng monoton fallend, konvergent mit Grenzwert 0.

f) x1 = 1, x2 = 2, xn+2 = xn +xn+1: streng monoton steigend, bestimmt divergent mit uneigentlichem Grenzwert∞.

g) x₁ = 2, x_n+1 =x_n/2 + 1/x_n: streng monoton fallend, konvergent mit Grenzwert √

2.

Aufgabe 13. Prüfen Sie, ob folgende Folgen konvergieren und falls ja berechnen Sie die (uneigentlichen) Grenzwerte.

xn = 5n⁴+n³+ 2 2n²−n

xn = (2n+ 1)(4n−3)(5n−4) (3n+ 6)(2n+ 5)(n+ 3) xn = nln(n)

n²+ 3

(7)

Lösung von Aufgabe 13. Mit den Rechengesetzen für Grenzwerte von Fol- gen gilt:

n→∞lim

5n⁴+n³+ 2

2n²−n = lim

n→∞

5n²+n+ 2/n² 2−1/n

= ∞/2

= ∞

n→∞lim

(2n+ 1)(4n−3)(5n−4)

(3n+ 6)(2n+ 5)(n+ 3) = lim

n→∞

2n+ 1

3n+ 6 ×4n−3

2n+ 5 ×5n−4 n+ 3

= 2

3×4 2 ×5

1

= 20 3

n→∞lim nln(n)

n²+ 3 = lim

n→∞

ln(n)/n 1 + 3/n²

= 0

1

= 0

Aufgabe 14. Die Folge

x_n = 1

n²+n

ist eine Nullfolge. Berechnen Sie zu beliebigemε >0 einN so dass

|x_n| < ε für allen > N.

Lösung von Aufgabe 14. Umformen der Ungleichung

|xn| < ε.

Daxn>0 für allen, gilt|xn|=xn und damit xn < ε 1

n²+n < ε n²+n > 1 ε n²+n−1

ε > 0.

Da die linke Seite streng monoton mitnwächst, genügt es, die Werte für nzu berechnen, für die Gleichheit eintritt.

n²+n−1

ε = 0.

Mit der Mitternachtsformel gilt

n_1,2 = −1±p 1 + 4/ε

2 .

(8)

Damit die o.g. Ungleichung erfüllt ist, muss gelten n > −1±p

1 + 4/ε

2 .

Der kleinst mögliche positive Wert fürN ist somit N = −1 +p

1 + 4/ε

2 .

Aufgabe 15. Sei

xn = sin(n) n . Finden Sie einN so dass

|xn|<0.1 für allen > N.

Hinweis: Sie müssen nicht das kleinsteN finden, es genügt irgend eines.

Lösung von Aufgabe 15. Für allengilt

|sin(n)| ≤ 1.

Wenn also

1

n < 0.1 dann gilt auch

sin(n) n

< 0.1.

Die Ungleichung ¹/n < 0.1 ist erfüllt wenn n > ¹/0.1, d.h. n > 10. Für N= 10 gilt somit

|xn|<0.1 für allen > N. Aufgabe 16. Sei

xn = sin²(n) + cos(eⁿ)

2n+ cos(n) , n∈N.

Berechnen Sie zu jedemε >0 einN so dass für allen > N gilt

|xn|< ε.

Lösung von Aufgabe 16. Seiε >0 beliebig aber fest. Da

|sin²(n) + cos(eⁿ)| < 2 gilt: Wenn

2

2n+ cos(n) < ε

(9)

dann ist auch|x_n|< ε. Da 2

2n−1 < 2 2n+ cos(n) gilt: Wenn

2

2n−1 < ε

dann ist auch|x_n|< ε. Auflösen der Ungleichung nachn:

2

2n−1 < ε 2 < 2nε−ε 2 +ε

2ε < n n > 1

ε+1 2 Für

N = 1

ε+1 2 gilt somit: Wennn > N dann ist|xn|< ε.

Aufgabe 17. Nennen Sie ein Beispiel für eine Folge xn und eine Funktion f ∈R→R so dassxn konvergent ist, die Folge f(xn) aber unbestimmt divergent.

Lösung von Aufgabe 17. Sei xn = (−1)ⁿ

n = h−1,¹/2,−¹/3,¹/4, . . .i.

Dann istx_n eine konvergente Folge mit

n→∞lim xn = 0.

Sei

f ∈R→R, f(x) = ₁

/x fallsx6= 0 0 fallsx= 0.

Dann ist

f(xn) = ₁

/xn fallsxn6= 0 0 fallsxn= 0.

Da aberx_n6= 0 für allen, vereinfacht sich dies zu f(xn) = 1

xn

= n

(−1)ⁿ

= n(−1)ⁿ

= h−1,2,−3,4, . . .i.

Somit istf(xn) eine unbestimmt divergente Folge.

(10)

Aufgabe 18. Nennen Sie ein Beispiel für eine Folge x_n und eine Funktion f ∈ R → R so dass x_n unbestimmt divergent ist, die Folge f(x_n) aber konvergent.

Lösung von Aufgabe 18. Eine triviale Lösung ist f(x) = c als konstante Funktion zu wählen. Egal was xn ist, ist dann die Folgef(xn) =c konvergent mit Grenzwertc.

Ein interessanteres Beispiel ist

xn = n(−1)ⁿ = h−1,2,−3,4,i.

Die Folge ist unbestimmt divergent, die Glieder gehen betragsmäßig je- doch gegen unendlich. Damitf(xn) konvergent ist, genügt es, dass f(x) asymtotisch gegen den selben Wert fürx→ ±∞geht, also z.B.

f(x)∈R→R f(x) = e^−|x|. Dann ist

f(xn) = e^−|xⁿ^|

= e^−|n(−1)ⁿ^|

= e⁻ⁿ eine konvergente Folge mit

n→∞lim f(x_n) = 0.

Ein anderes Beispiel ist die unbestimmt divergente Folge xn = (−1)ⁿ = h−1,1,−1,1, . . .i und

f(x) = x². Dann ist

f(xn) = x²_n

= ((−1)ⁿ)²

= 1.

Dies ist eine konstante Folge und daher gilt

n→∞lim f(xn) = 1.

Aufgabe 19. Seif ∈R→R, f(x) =

e^x fürx≥0 sin(x) fürx <0.

Man sieht an einer Skizze, dassf bei ˆx= 0 einen Sprung und somit keinen Grenzwert hat. Um formal zu zeigen, dassf bei ˆx= 0 keinen Grenzwert hat, gibt es zwei Möglichkeiten:

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• Finden Sie zwei Folgenx_n, x⁰_n mit

n→∞lim x_n = 0, lim

n→∞x⁰_n= 0 undxn6= 0, x⁰_n6= 0 für alle naber

n→∞lim f(xn) 6= lim

n→∞f(x⁰_n).

• Finden Sie eine Folge x_n mit

n→∞lim x_n= 0

undxn 6= 0 für allenso dass die Folgef(xn) unbestimmt divergent ist.

• Sei

xn=¹/n, x⁰_n=−¹/n. Daxn>0 undx⁰_n<0 für allen, gilt

f(xn) =e¹^/ⁿ, f(x⁰_n) = sin(−¹/n).

Folglich ist

n→∞lim f(xn) = 1, lim

n→∞f(x⁰_n) = 0.

• Daf(x) an der Stelle ˆx= 0 einen Sprung hat, genügt es, eine alter- nierende Folge zu finden, die gegen Null konvergiert. Dies ist z.B.

xn= (−1)ⁿ n .

Für diese Folge ist f(xn) unbestimmt divergent.

Aufgabe 20. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte sofern sie existieren.

x→∞lim sin(ln(x))

x→−∞lim xe^xcos(x)

x→∞lim

3x²−1 (2x+ 1)(x+ 2)

x→∞lim x 2 + sin(x) Lösung von Aufgabe 20.

x→∞lim sin(ln(x)) existiert nicht

x→−∞lim xe^xcos(x) = 0

x→∞lim

3x²−1

(2x+ 1)(x+ 2) = 3 2

x→∞lim x

2 + sin(x) = ∞

(12)

Aufgabe 21. Welche der folgenden Funktionen f hat einen (uneigentlichen) Grenzwert bei ˆx= 0? Falls eine Funktion keinen (uneigentlichen) Grenz- wert hat, versuchen Sie dies zu beweisen, indem Sie zwei gegen Null konvergente Folgen xn und x⁰_n finden, für die die Folgen f(xn) und f(x⁰_n) unterschiedliche Grenzwerte haben.

f ∈R⁺→R, f(x)=x^x f ∈R→R, f(x)=x^bxc f ∈R\ {0} →R, f(x)= log(|x|)

f ∈R\ {0} →R, f(x)= max(−2,log(|x|)) f ∈R→R, f(x)=

1 falls x∈Q

−1 falls x6∈Q

Hinweis: bxc bezeichnet die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.

• f ∈R⁺→R, f(x) =x^x hat bei ˆx= 0 den Grenzwert 1.

• f ∈R→R,f(x) =x^bxchat bei ˆx= 0 keinen Grenzwert. Für|x|<1 ist

bxc =

0 fallsx≥0

−1 fallsx <0.

Damit ist in diesem Bereich f(x) =

1 fallsx >0 1/x fallsx <0.

Der linksseitige Grenzwert ist damit−∞, der rechtsseitige Grenzwert ist 1.

Seien

xn = 1/(n+ 1) x⁰_n = −1/(n+ 1) zwei Nullfolgen. Dann ist für allen

bxnc = 0 bx⁰_nc = −1 und somit

f(x_n) = 1

n+ 1 0

= 1 f(x⁰_n) =

− 1 n+ 1

−1

= −n+ 1 1

= −n−1.

(13)

Damit hat die Folgef(x_n) den Grenzwert 0, während die Folgef(x⁰_n) den uneigentlichen Grenzwert −∞ hat. Die Funktion f hat daher keinen Grenzwert bei ˆx= 0.

• f ∈R\ {0} →R, f(x) = log(|x|) hat bei ˆx= 0 den uneigentlichen Grenzwert−∞.

• f ∈ R\ {0} → R, f(x) = max(−2,log(|x|)) hat bei ˆx = 0 den Grenzwert−2.

• f ∈R→R,

f(x) =

1 fallsx∈Q

−1 fallsx6∈Q hat keinen Grenzwert bei ˆx= 0. Seien

x_n = 1/n x⁰_n = √

2/n zwei Nullfolgen. Dann ist für allen

f(xn) = 1 f(x⁰_n) = −1 Somit ist

n→∞lim f(xn) = 1

n→∞lim f(x⁰_n) = −1.

Aufgabe 22. Hat die Funktion

f(x) = x x−1

einen (uneigentlichen) Grenzwert bei ˆx= 1? Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösung von Aufgabe 22. Die Funktion hat bei ˆx= 1 den linksseitigen uneigentlichen Grenzwert−∞und den rechtsseitigen Grenzwert∞. Damit hat sie keinen Grenzwert bei ˆx= 1.

Aufgabe 23. Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) = sin(1/x)

bei ˆx= 0 keinen Grenzwert hat. Finden Sie dafür zwei gegen Null konvergente Folgenxn undx⁰_n so dass die Folgenf(xn) undf(x⁰_n) unterschiedliche Grenzwerte fürn→ ∞ haben. Versuchen Sie auch eine Folgex⁰⁰_n zu finden, für dief(x⁰⁰_n) divergiert.

Lösung von Aufgabe 23. Sei

xn = 1 2πn x⁰_n = 1

2πn+π/2.

(14)

Dann ist

f(xn) = sin(2πn)

= 0

f(x⁰_n) = sin(2πn+π/2)

= 1 Offensichtlich gilt

n→∞lim f(x_n) = 0

n→∞lim f(x⁰_n) = 1.

Damit wurden zwei Folgenxnundx⁰_n gefunden, die beide gegen Null konvergieren, für die die zugehörigen Folgen der Funktionswerte aber gegen unterschiedliche Grenzwerte konvergieren. Somit hat f(x) an der Stelle ˆ

x= 0 keinen Grenzwert. Auch die Folge x⁰⁰_n= 1/n

konvergiert gegen Null. Die zugehörige Folge der Funkionswerte f(x⁰⁰_n) divergiert:

f(x⁰⁰_n) = sin(n).

Aufgabe 24. Berechnen Sie mit Hilfe der Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen (siehe Skript) und unter Verwendung von

x→0lim sin(x)

x = 1 die Grenzwerte an der Stelle ˆx= 0 von

f(x) = sin(x) cos(x) x f(x) =

sin(x) 4x

2

f(x) = (sin(x))²/x

Machen Sie deutlich an welcher Stelle Sie welche Rechenregel verwendet haben.

(15)

x→0lim

sin(x) cos(x)

x = lim

x→0

sin(x) x cos(x)

= lim

x→0

sin(x) x ×lim

x→0cos(x)

= 1

x→0lim

sin(x) 4x

2

= lim

x→0

sin(x) 4x

= 1

16 lim

x→0

sin(x) x

= 1

16 lim

x→0

sin(x) x ×lim

x→0

sin(x) x

= 1

16

x→0lim(sin(x))²/x = lim

x→0

sin(x) x sin(x)

= lim

x→0

sin(x) x ×lim

x→0sin(x)

= 1×0

= 0

Aufgabe 25. In nachfolgendem Bild ist ein Kreisbogen mit Winkelxund Ra- dius 1 dargestellt. Zeichnen Sie in dieses Bild die Größenxund sin(x) als Längen ein, so dass man erkennen kann, dass

sin(x)≈x

für kleinex. Schauen Sie sich hierzu ggf. nochmal an, wie ein Winkel im Bogenmaß definiert ist. Auf diese Weise kann man sehen, dass

x→0lim sin(x)

x = 1.

x

1

Lösung von Aufgabe 25. Der Winkel x im Bogenmaß ist gleich der Länge des Kreissegments mit Winkelxim Einheitskreis. Damit sieht man, dass xund sin(x) bis auf die Krümmung gleich sind. Für kleine Winkel xgeht dieser Unterschied gegen Null.

(16)

x

1

sin(x) x

Aufgabe 26. f ∈D→Rheißt stetig an der Stelle ˆxwenn 1. f an der Stelle ˆxdefiniert ist, d.h. ˆx∈D. 2. f einen Grenzwert an der Stelle ˆxhat.

3. Der Grenzwert vonf an der Stelle ˆxgleich dem Funktionswert f(ˆx) ist.

Finden Sie jeweils ein Beispiel einer Funktion und eines Punktes ˆx, wo

• die erste Bedingung erfüllt ist, aber nicht die zweite und dritte,

• die erste und die zweite Bedingung erfüllt ist, aber nicht die dritte,

• die erste Bedingung nicht erfüllt ist, aber die zweite.

• keine der drei Bedingungen erfüllt ist,

• alle 3 Bedingungen erfüllt sind.

• Erste Bedingung erfüllt aber nicht zweite und dritte: f ∈ R → R, f(x) = sign(x) und ˆx= 0. Die Funktionf(x) ist zwar an der Stelle ˆ

xdefiniert, hat dort aber keinen Grenzwert.

• Erste und zweite Bedingung erfüllt aber nicht dritte: f ∈R→R, f(x) =

0 fallsx6= 2 1 fallsx= 2

und ˆx= 2. Grenzwert bei ˆxistG= 0, aberf(ˆx) = 1.

• Erste Bedingung nicht erfüllt aber die zweite: f ∈ R\ {2} → R, f(x) = 1 und ˆx= 2. Die Funktionf ist an der Stelle ˆxnicht definiert, hat dort aber den GrenzwertG= 1.

• Keine der Bedingungen erfüllt:f ∈R\ {0}, f(x) = 1/x und ˆx= 0.

Die Funktion f ist bei ˆx nicht definiert und hat dort auch keinen Grenzwert.

• Alle drei Bedingungen erfüllt: f ∈ R→ R, f(x) = x², ˆx = 2. Die Funktionf hat an der Stelle ˆxden GrenzwertG= 4, was gleich dem Funktionswert f(ˆx) ist.

Aufgabe 27.

(17)

• Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Funktion f(x) = 1

sin(x) unstetig ist.

• Für welche Werte von aist die Funktion f(x) = 1

3 sin(x) +a

überall stetig? Sind auch negative Werte für amöglich?

• Die Funktion f(x) ist an allen Stellenxunstetig, für die sin(x) = 0, d.h.

x=kπ, k∈Z.

• Wenn

3 sin(x) +a6= 0

für allex∈R, dann istf(x) auf ganzRstetig. Dies ist der Fall, wenn entwedera >3 odera <−3.