Übungen zu Mathematik 2 mit Musterlösungen Blatt 1

(1)

Heilbronn, den 27.9.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Mathematik 2 mit Musterlösungen

Blatt 1

Aufgabe 1. Wiederholen Sie die wichtigsten Themen aus Mathe 1:

• Mengen, Tupel, kartesische Produkte, Relationen

• Funktionen, Komposition, injektiv, surjektiv, Umkehrfunktion

• Grenzwerte von Folgen und Funktionen

• Stetigkeit, Differenzierbarkeit

• Rechenregeln für Ableitung und Integral

• Differentialnotation

• Komplexe Zahlen, insbesondere Polarkoordinaten

• Polynomdivision, Polynomfaktorisierung und Partialbruchzerlegung

• Vektorrechnung

• Lineare Gleichungssysteme, Gauß Algorithmus

• Matrixrechnung, insbesondere Matrix Multiplikation, Inversion und Transposition

Lösung von Aufgabe 1.

Aufgabe 2. Definieren Sie den Begriff f ∈D→ Rhat den Grenzwert ˆx∈R an der Stellet=∞.

Berechnen Sie

t→∞lim

2tπ^t+ 5e^2t 7e^2t .

Lösung von Aufgabe 2. f ∈D→Rhat den Grenzwert ˆxan der Stellet=∞ wenn gilt:

Für jede Folgexn mit

x_n∈Dfür allen∈Nund

n→∞lim xn = ∞ gilt

n→∞lim f(xn) = ˆx.

2tπ^t+ 5e^2t

7e^2t = 2te^ln(π^t⁾ 7e^2t +5

7

= 1

7(2te^ln(π)te^−2t+ 5)

= 1

7(2te^{(ln(π)−2)t}+ 5).

(2)

Da ln(π)−2<0, gilt

t→∞lim 2te^{(ln(π)−2)t} = 0.

Damit ist

t→∞lim 1

7(2te^{(ln(π)−2)t}+ 5) = 5 7.

Aufgabe 3. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte sofern sie existieren.

x→∞lim sin(ln(x))

x→−∞lim xe^xcos(x)

x→∞lim

3x²−1 (2x+ 1)(x+ 2)

x→∞lim x 2 + sin(x) Lösung von Aufgabe 3.

x→∞lim sin(ln(x)) existiert nicht

x→−∞lim xe^xcos(x) = 0

x→∞lim

3x²−1

(2x+ 1)(x+ 2) = 3 2

x→∞lim x

2 + sin(x) = ∞ Aufgabe 4. Wie Sie wissen, gilt

sin(x)⁰ = cos(x)

Da es sich hier um eine Gleichheit von Funktionen handelt, kann man auf beiden Seitenxdurch einen Term ersetzen, z.B.x². Es gilt dann

sin(x²)⁰ = cos(x²).

Das steht jedoch im Widerspruch zur Kettenregel d

dxsin(x²) = 2xcos(x²).

Wo liegt der Fehler und wie lässt er sich vermeiden?

Lösung von Aufgabe 4. Die Ableitung der Sinusfunktion wird mit sin⁰ be- zeichnet. Damit gilt

sin⁰(x) = cos(x) für allexund auch

sin⁰(x²) = cos(x²).

(3)

Korrekt ist ebenfalls d

dxsin(x²) = 2xcos(x²).

Mit

d

dxsin(x²)

meint man jedoch nicht die Ableitung der Sinusfunktion ausgewertet bei x² sondern die Ableitung der Funktionf(x) = sin(x²). Es gilt also

d

dxsin(x²)6= sin⁰(x²).

Die Verwirrung lässt sich vermeiden, indem man sin⁰(x) schreibt statt wie in der Aufgabenstellung sin(x)⁰. Die Ableitung bezieht sich schließlich auf die Sinusfunktion und nicht auf den Funktionswert der Sinusfunktion bei x. Einen Funktionswertkann man gar nicht ableiten.

Aufgabe 5. Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen. Die Ableitung vonf ist überall dort definiert, wof differenzierbar ist. Geben Sie diesen Bereich an und geben Sie an, welche Ableitungsregeln Sie benutzt haben.

f(x) = ln(ln(x)) f(x) = |x|

f(x) = sin(|x|) f(x) = cos(|x|) f(x) = (cos(|x|))² f(x) = (sin(|x|))²

Um Fallunterscheidungen zu vermeiden, können Sie die sign-Funktion verwenden.

sign∈R→R, sign(x) =







1 falls x >0

−1 falls x <0 0 falls x= 0.

• f(x) = ln(ln(x)) ist nur definiert auf D = {x|x >1}

und dort differenzierbar.

f⁰∈D→R, f⁰(x) = 1 xln(x)

• f(x) =|x|

f⁰ ∈R\ {0} →R, f⁰(x) = sign(x)

(4)

• f(x) = sin(|x|) hat an der Stellex= 0 einen Knick und ist dort nicht differenzierbar.

f⁰ ∈R\ {0} →R, f⁰(x) = sign(x) cos(|x|) = sign(x) cos(x)

• f(x) = cos(|x|) = cos(x)

f⁰ ∈R→R, f⁰(x) =−sin(x)

• f(x) = (cos(|x|))²= (cos(x))²

f⁰∈R→R, f⁰(x) =−2 cos(x) sin(x)

• f(x) = (sin(|x|))² kann mit Fallunterscheidung umgeformt werden.

f(x) = (sin(|x|))²

=

(sin(x))² fallsx≥0 (sin(−x))² fallsx <0

=

(sin(x))² falls x≥0 (−sin(x))² falls x <0

= (sin(x))². Damit ist

f⁰∈R→R, f⁰(x) = 2 sin(x) cos(x).

Aufgabe 6. Berechnen Sie die Steigung der Tangente der Funktion f(x) =e^|x−2|

an der Stelle ˆx= 1.

Lösung von Aufgabe 6. Die Funktion f(x) kann ohne Betragszeichen ge- schrieben werden als

f(x) =

e^x−2 falls x≥2 e^−(x−2) falls x <2

Fürx <2 ist somitf⁰(x) =−e^−(x−2)und damitf⁰(1) =−e.

Aufgabe 7. Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung folgender Funktionen und vereinfachen Sie die Ergebnisterme so weit wie möglich. Geben Sie an, welche Ableitungsregeln Sie benutzt haben.

f(x) = e^sin(x) f(x) = ln(x²)e^(x²⁾ f(x) = cos(√

x) f(x) = sin(x)

x+ 1

(5)

•

f(x) = e^sin(x) f⁰(x) = cos(x)e^sin(x)

f⁰⁰(x) = −sin(x)e^sin(x)+ cos²(x)e^sin(x)

= (cos²(x)−sin(x))e^sin(x)

•

f(x) = ln(x²)e^(x²⁾

= 2 ln(x)e^(x²⁾ f⁰(x) = 2(1

xe^(x²⁾+ ln(x)2xe^(x²⁾)

= 2e^(x²⁾(1

x+ 2xln(x)) f⁰⁰(x) = 4xe^(x²⁾(1

x+ 2xln(x)) + 2e^(x²⁾(−1

x² + 2 ln(x) + 2)

= 2e^(x²⁾(2 + 4x²ln(x)− 1

x² + 2 ln(x) + 2)

= 2e^(x²⁾(4 + 4x²ln(x)− 1

x² + 2 ln(x))

•

f(x) = cos(√ x)

= cos(x^1/2) f⁰(x) = −1

2x^−1/2sin(x^1/2)

= − 1

2√ xsin(√

x) f⁰⁰(x) = −1

2 −1

2x^−3/2sin(x^1/2) +x^−1/21

2x^−1/2cos(x^1/2)

= sin(√ x) 4√

x³ −cos(√ x) 4x

•

f(x) = sin(x) x+ 1

f⁰(x) = cos(x)(x+ 1)−sin(x) (x+ 1)²

= cos(x)

x+ 1 − sin(x) (x+ 1)² f⁰⁰(x) = −sin(x)(x+ 1)−cos(x)

(x+ 1)² −cos(x)(x+ 1)²−sin(x)2(x+ 1) (x+ 1)⁴

= −sin(x)

x+ 1 − cos(x)

(x+ 1)² − cos(x)

(x+ 1)² + 2 sin(x) (x+ 1)³

= −sin(x)

x+ 1 − 2 cos(x)

(x+ 1)² + 2 sin(x) (x+ 1)³

(6)

Aufgabe 8. Seif ∈R²→R²undg∈R²→Rdefiniert durch f(x, y) = (2y−x, x²)

g(x, y) = y+ sin(x+y)

Berechnen Sie einen Funktionsterm für die Kompositiong◦f. Lösung von Aufgabe 8.

(g◦f)(x, y) = g(f(x, y))

= g(2y−x, x²)

= x²+ sin(2y−x+x²)

Aufgabe 9. Berechnen Sie das Taylor Polynom vom Grad 2 zum Entwick- lungspunkt ˆx=π/2 von

f(x) = ln(sin(x)).

Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.

Lösung von Aufgabe 9. Ableitungen.

f(x) = ln(sin(x)) f⁰(x) = cos(x)

sin(x)

f⁰⁰(x) = −sin²(x)−cos²(x) sin²(x)

= − 1

sin²(x) Auswerten bei ˆx=π/2.

f(π/2) = ln(1)

= 0 f⁰(π/2) = 0 1

= 0 f⁰⁰(π/2) = −1.

Damit ist das Taylor Polynom p(x) = −1

2(x−π/2)². Aufgabe 10. Berechnen Sie

Z ln(π) 0

e^1+xsin(e^x)dx

und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.

Hinweis: Nutzen Sie die Rechengesetze der e-Funktion und wenden Sie eine Substitution an.

(7)

Z

e^1+xsin(e^x)dx = Z

ee^xsin(e^x)dx

= e Z

e^xsin(e^x)dx.

Substitution:

u=e^x, du

dx =e^x, dx= du e^x. Damit gilt

e Z

e^xsin(e^x)dx = e Z

sin(u)du

= −ecos(u) +C

= −ecos(e^x) +C und

Z ln(π) 0

e^1+xsin(e^x)dx = [−ecos(e^x)]^ln(π)₀

= −e(cos(π)−cos(1))

= −e(−1−cos(1))

= e+ecos(1) Aufgabe 11. Berechnen Sie

Z

cos⁴(x) tan(x)dx.

Z

cos⁴(x) tan(x)dx = Z

cos⁴(x)sin(x) cos(x)dx

= Z

cos³(x) sin(x)dx.

Substitution

g = cos(x) dg

dx = −sin(x) dx = − 1

sin(x)dg Damit ist

Z

cos³(x) sin(x)dx = Z

g³sin(x)

− 1 sin(x)

dg

= −

Z g³dg

= −1 4g⁴+C

= −1

4cos⁴(x) +C.

(8)

Aufgabe 12. Berechnen Sie zwei Stammfunktionen der Funktion f(x) =xe^(x²⁾+ 1.

(Hinweis: Es ist keine Produktintegration erforderlich.) Berechnen Sie dann den Wert des bestimmten Integrals

Z 1

−1

f(x)dx.

Lösung von Aufgabe 12. Substitution g(x) = x²

dg

dx = 2x dx = dg 2x. Damit gilt

Z

(xe^(x²⁾+ 1)dx = x+ Z

(xe^(x²⁾)dx

= x+ Z

xe^gdg 2x

= x+1 2

Z e^gdg

= x+1 2e^g+C

= x+1

2e^(x²⁾+C.

Zwei Stammfunktionen sind somit F₁(x) = x+1

2e^(x²⁾ F2(x) = x+1

2e^(x²⁾+ 1.

Das bestimmte Integral ist Z 1

−1

f(x)dx =

x+1 2e^(x²⁾

¹

−1

= 1 +1 2e−

−1 + 1 2e

= 2.

Aufgabe 13. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche unter der Funktion f(x) = 1

x²

(9)

für x zwischen 1 und ∞. Ist der Flächeninhalt überhaupt endlich? Da f(∞) nicht definiert ist, muss man wie folgt vorgehen: Man berechnet zunächst für beliebigesα >0

F_α= Z α

1

f(x)dx und führt dann den Grenzübergang

F = lim

α→∞Fα

durch.

F_α = Z α

1

1 x²dx

= Z α

1

x⁻²dx

= − x⁻¹^α

1

= −

1 α−1

=

1−1 α

F = lim

α→∞F_α

= 1

Aufgabe 14. Berechnen Sie eine Stammfunktion von f(x) = x³+ 4

x²−4. Lösung von Aufgabe 14. Polynomdivision.

x³+ 4 :x²−4 =x+4x+ 4 x²−4

(10)

Faktorisierung des Nenners:

x²−4 = (x−2)(x+ 2) Partialbruchzerlegung des gebrochenen Rests.

4x+ 4

(x−2)(x+ 2) = c1

x−2+ c2

x+ 2 4x+ 4 = c1(x+ 2) +c2(x−2) Spezialfallx= 2

12 = 4c₁ c1 = 3 Spezialfallx=−2

−4 = −4c2

c₂ = 1 Damit ist

f(x) = x+ 3

x−2+ 1 x+ 2. Eine Stammfunktion ist

F(x) = x²

2 + 3 ln(|x−2|) + ln(|x+ 2|) Aufgabe 15. Berechnen Sie alle Stammfunktionen von

f(x) = e^x(1 +x) sin(xe^x).

Hinweis: Substitution.

Lösung von Aufgabe 15. Mit

g = xe^x dg

dx = e^x+xe^x

= e^x(1 +x)

dx = 1

e^x(1 +x)dg gilt

Z

e^x(1 +x) sin(xe^x)dx = Z

e^x(1 +x) sin(g) 1 e^x(1 +x)dg

= Z

sin(g)dg

= −cos(g) +C

= −cos(xe^x).

(11)

Aufgabe 16. Seix∈Rund

z = e^j(x+1) e^x(1 +j). Berechnen Sie|z|in Abhängigkeit vonx.

|z| =

e^j(x+1) e^x(1 +j)

= |e^j(x+1)|

|e^x(1 +j)|

= 1

|e^x|√ 2

= 1

e^x√ 2.

Aufgabe 17. Berechnen Sie für beliebige Konstantena, ω Z a

−a

e^jωtdt.

Hinweis: Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich. Sie brauchen hierfür die Gesetze der komplexen Zahlen, insbesondere

z−z = 2jim(z) im(e^jϕ) = sin(ϕ).

Berücksichtigen Sie auch den Spezialfall ω = 0. Verwenden Sie die si- Funktion, die definiert ist durch

si(x) =

1 falls x= 0

sin(x)

x falls x6= 0.

Das Ergebnis ist dann 2asi(ωa).

Lösung von Aufgabe 17. Der Spezialfall ω = 0 wird separat betrachtet, da im folgenden Rechenweg durchω dividiert wird.

Z a

−a

e^jωtdt = 1 jω

e^jωt^a

−a

= 1

jω e^jωa−e^−jωa . Dae^jωa unde^−jωa konjugiert komplex sind, ist

e^jωa−e^−jωa = 2jim(e^jωa)

= 2jsin(ωa).

(12)

Damit ist

Z a

−a

e^jωtdt = 1

jω2jsin(ωa)

= 2

ωsin(ωa)

= 2asin(ωa) ωa

= 2asi(ωa).

Fürω= 0 gilt

Z a

−a

e^jωtdt = Z a

−a

1dt

= 2a

= 2asi(ωa).

Damit ist

Z a

−a

e^jωtdt = 2asi(ωa) für allea, ω.

Aufgabe 18. Sei

z = 1

1 +e^jϕ.

Berechnen Sie re(z). Hinweis: Das Ergebnis ist unabhängig vonϕ.

z = 1

1 + cos(ϕ) +jsin(ϕ)

= 1 + cos(ϕ)−jsin(ϕ) (1 + cos(ϕ))²+ sin²(ϕ)

= 1 + cos(ϕ)−jsin(ϕ) 1 + 2 cos(ϕ) + cos²(ϕ) + sin²(ϕ)

= 1 + cos(ϕ)−jsin(ϕ) 2 + 2 cos(ϕ) re(z) = 1 + cos(ϕ)

2 + 2 cos(ϕ)

= 1

2.

Aufgabe 19. Berechnen Sie den Realteil und den Imaginärteil aller Lösungen der Gleichung

(z+ 1)¹⁰ = j+ 1.

Kann man sagen, dass die Lösungen auf einem Kreis in der komplexen Ebene liegen?

(13)

Lösung von Aufgabe 19. Sei

z+ 1 = re^jϕ. Dann ist

(z+ 1)¹⁰ = r¹⁰e^j10ϕ. Mit

j+ 1 = √ 2e^jπ/4 ist die Gleichung

r¹⁰e^j10ϕ = √ 2e^jπ/4. Aus der Gleichheit der Beträge folgt

r¹⁰ = √ 2 r = 2¹^/²⁰.

Die Winkel müssen gleich sein bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2π, d.h.

10ϕ = π

4 + 2kπ

ϕ = π

40+ 1 102kπ

= (1 + 8k)π/40, k= 0,1, . . . ,9.

Damit ist

z+ 1 = 2¹^/²⁰ej(1+8k)π/40

z = 2¹^/²⁰ej(1+8k)π/40−1

= 2¹^/²⁰cos ((1 + 8k)π/40)−1

| {z }

Realteil

+j2¹^/²⁰sin ((1 + 8k)π/40)

| {z }

Imagin¨arteil

Die Lösungen liegen auf einem Kreis in der komplexen Ebene mit Ra- dius 2¹^/²⁰. Der Mittelpunkt ist allerdings nicht der Koordinatenursprung sondern die reelle Zahl−1.

Aufgabe 20. Beweisen Sie ausführlich, dass für allea∈Rund für alle~x, ~y ∈ Rⁿ gilt

a(~x+~y) =a~x+a~y.

Sie dürfen dabei alle Gesetze der reellen Arithmetik verwenden — machen Sie aber deutlich an welcher Stelle Sie diese benutzen.

Lösung von Aufgabe 20. Zu zeigen: Für alle a ∈ R und für alle ~x, ~y ∈ Rⁿ gilt

a(~x+~y) =a~x+a~y.

(14)

Seiena∈Rund~x, ~y∈Rⁿ beliebig aber fest. Folglich existierenx_i, y_i∈R, i= 1, . . . , nso dass

~ x=





 x₁

... xn





, ~y=





 y₁

... yn





. Damit gilt

a(~x+~y)

=a











 x1

... xn





+





 y1

... yn













=a







x1+y1

... x_n+y_n





 (Def. Vektor Addition)

=







a(x₁+y₁) ... a(xn+yn)





 (Def. skalare Multiplikation)

=







ax1+ay1

... axn+ayn





 (Reelles Distributivgesetz)

=





 ax1

... axn





+





 ay1

... ayn





 (Def. Vektor Addition)

=a





 x₁

... x_n





+a





 y₁

... y_n





 (Def. skalare Multipliation)

=a~x+a~y.

Aufgabe 21. Berechnen Sie alle Lösungen~xder GleichungA~x=~bfür

A=





3 6 0 2 4 3 1 2 2



 und ~b=



 6

−5

−4



.

• Führen Sie den Gauß Algorithmus wie im Skript durch. Der Rechen- weg muss ersichtlich sein.

• Stellen Sie die Lösungsmenge als Summe aus einem Ortsvektor und beliebigen Linearkombinationen von Richtungsvektoren dar.

(15)

3 6 0 6

2 4 3 −5 1 2 2 −4

1 2 0 2

2 4 3 −5 1 2 2 −4

1 2 0 2

3 −9 2 −6

1 2 0 2

1 −3 2 −6

1 2 0 2

1 −3

0 0

Die Lösung ist

x3 = −3 x₂ = beliebig x1 = 2−2x2

bzw.

L =











2−2x₂ x₂

−3



|x₂∈R







=









 2 0

−3



+a





−2 1 0



|a∈R





 .