Heilbronn, den 7.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Mathematik 1 mit Musterlösungen
Blatt 2
Aufgabe 1. Stellen Sie den Term 2xp
sin(x+y)
als Baum dar. Überlegen Sie sich zunächst welche Funktionssymbole im Term auftreten und lassen Sie sich von der Notation nicht irritieren. Ein Teilterm entspricht in dieser Darstellung einem Teilbaum. Teilterme sind somit z.B.
2, x, y,2x, x+y, . . . Nennen Sie alle Teilterme des gegebenen Terms.
Lösung von Aufgabe 1.
hoch
2
√
sin
x +
y x
×
Die Teilterme sind
2, x, y,2x, x+y,sin(x+y),p
sin(x+y),2xp
sin(x+y).
Aufgabe 2. Gegeben seien die Konstantensymbolec, d, die Variablensymbole x, yund die Funktionssymbolef (zweistellig) undg(einstellig). Damit ist z.B.
f(f(c, x), g(g(y)))
ein Term. Nennen Sie 5 weitere Terme, die aus den gegebenen Symbo- len bestehen. Wie viele Terme lassen sich mit den gegebenen Symbolen konstruieren?
Lösung von Aufgabe 2. Beispiele sind:
c, g(x), f(c, x), f(g(x), g(x)), g(g(g(d))).
Mit den gegebenen Symbolen lassen sich unendlich viele Terme konstru- ieren.
Aufgabe 3. Ersetzen Sie in dem Term (x+ 3)2
√2x−y sin(x)
jedes Auftreten des Variablensymbolsxdurch den Term (3y−1).
Lösung von Aufgabe 3.
((3y−1) + 3)2
p2(3y−1)−y sin(3y−1)
Aufgabe 4. In natürlicher Sprache gibt es folgende Phänomene:
• Zwei unterschiedliche Worte mir der selben Bedeutung (Synonyme)
• Zwei unterschiedliche Dinge, die mit dem selben Wort bezeichnet werden (mehrdeutige Worte).
Finden Sie dazu je ein Beispiel. Welches Phänomen macht in der Kommu- nikation mehr Schwierigkeiten?
Lösung von Aufgabe 4. Synonyme sind z.B. Rechner und Computer. Ein mehrdeutiges Wort ist z.B. Bank (Geldinstitut, Sitzbank). Mehrdeutig- keiten sollten in formalen Sprachen vermieden werden. Es kommt in der Mathematik sehr selten vor, dass ein Symbol unterschiedliche Bedeutun- gen hat. Eine Ausnahme ist z.B. das Symbol +, das sowohl für die Ad- dition von Zahlen als auch für die Addition von Vektoren oder Matrizen verwendet wird.
Aufgabe 5. Ersetzen Sie alle Vorkommen des Variablensymbolsxin dem Term px+ sin(2x+ 5)y
durch den Term
(cos(y) + 3).
Stellen Sie den Term vor und nach der Ersetzung jeweils als Baum dar.
Lösung von Aufgabe 5. Durch die Ersetzung entsteht der Term p(cos(y) + 3) + sin(2(cos(y) + 3) + 5)y
Aufgabe 6. Terme sind Zeichenketten. Folglich sind die Terme x+y
und
y+x
unterschiedlich: Die erste Zeichenkette beginnt mit x, die zweite mit y.
Trotzdem besteht kein Zweifel daran, dass x+y=y+x.
Versuchen Sie den scheinbaren Widerspruch zu erklären.
Lösung von Aufgabe 6. Die Termex+y undy+xsind tatsächlich als Zei- chenketten betrachtet ungleich, dieBedeutungder Zeichenketten ist jedoch gleich: Wenn man das + Symbol als Additionsfunktion interpretiert, kann man für xund y beliebige Zahlen einsetzen und erhält links und rechts vom Gleichheitszeichen immer den selben Wert. Man sagt auch, die Terme sindsyntaktischungleich abersemantisch gleich. Im Alltagsleben interes- siert man sich natürlich vor allem für die Bedeutung, d.h. die Semantik.
Andererseits haben Computer keine Ahnung, was Zeichenketten bedeuten und können diese nur nach syntaktischen Regeln umformen.
Aufgabe 7. Sei
f(x) = x2ex+ sin(2x) Was ist dann
f(y(2 +z))?
Lösung von Aufgabe 7.
f(y(2 +z)) = (y(2 +z))2ey(2+z)+ sin(2y(2 +z))
Aufgabe 8. Die folgenden 4 Karten sind so beschriftet, dass auf einer Seite ein Buchstabe und auf der anderen Seite eine Zahl steht. Welche Karten müssenSie umdrehen um zu entscheiden, ob folgende Aussage wahr ist:
Wenn auf einer Seite der Karte D steht, dann steht 3 auf der anderen Seite.
D K 3 7
Lösung von Aufgabe 8.
• Karte D muss umgedreht werden: Der wenn-Teil der Aussage ist wahr, folglich muss geprüft werden, ob auch der dann-Teil wahr ist.
• Karte K muss nicht umgedreht werden, da der wenn-Teil falsch ist und die Aussage somit wahr.
• Karte 3 muss nicht umgedreht werden, da der dann-Teil wahr ist und somit die Aussage wahr.
• Karte 7 muss umgedreht werden, da der dann-Teil falsch ist. Die Aussage ist somit nur wahr, wenn auch der wenn-Teil falsch ist.
Aufgabe 9. Ähnlich wie es Rechengesetze für Zahlen gibt, z.B.
(a+b)2 = a2+ 2ab+b2,
die für alle Zahlena, bgelten, gibt es auch Rechengesetze für Wahrheits- werte. So gilt z.B.
¬F∨G = F →G
für alle Wahrheitswerte F, G. Hierbei bedeutet ¬ die Negation, ∨ oder und→wenn–dann. Die Negation bindet stärker als alle anderen logischen Funktionen, man kann sich also um¬F Klammern denken.
Formeln für Wahrheitswerte sind viel einfacher zu beweisen als Formeln für Zahlen, da es nur zwei Wahrheitswerte gibt aber unendlich viele Zahlen.
Für die beiden WahrheitswerteF undGgibt es somit nur vier Kombina- tionen. Damit lässt sich o.g. Formel in einer Wahrheitstabelle beweisen, indem man alle Kombinationen ausrechnet und zeigt, dass auf beiden Sei- ten immer der gleiche Wert herauskommt:
F G ¬F∨G F →G
w w w w
w f f f
f w w w
f f w w
Beweisen Sie damit auch die sog. Gesetze von de Morgan:
¬(F∧G) = ¬F∨ ¬G
¬(F∨G) = ¬F∧ ¬G.
Beweisen Sie weiterhin
F ↔G = (F →G)∧(G→F)
wobei↔genau dann wenn bedeutet:F ↔Gist wahr, wennF undGden gleichen Wahrheitswert haben und falsch sonst.
Lösung von Aufgabe 9.
F G ¬(F∧G) ¬F∨ ¬G ¬(F∨G) ¬F∧ ¬G
w w f f f f
w f w w f f
f w w w f f
f f w w w w
F G F ↔G (F →G)∧(G→F)
w w w w
w f f f
f w f f
f f w w
Aufgabe 10. Zeigen Sie anhand einer Wahrheitstabelle, dass F↔G = (F∧G)∨(¬F∧ ¬G).
Lösung von Aufgabe 10.
F G F →G F∧G ¬F∧ ¬G (F∧G)∨(¬F∧ ¬G)
w w w w f w
w f f f f f
f w f f f f
f f w f w w
Aufgabe 11. Finden Sie Wahrheitswerte fürF, G, H so dass sowohl F →(G→H)
wahr ist als auch
(F →G)→H falsch.
Lösung von Aufgabe 11. WennF falsch ist, dann ist F →(G→H)
wahr, unabhängig davon, wasGundH ist.
Außerdem ist dann auchF →Gwahr. Damit in diesem Fall (F →G)→H
falsch ist, mussH falsch sein. Der Wahrheitswert vonGist beliebig.
Aufgabe 12. Formen Sie den aussagenlogischen Term (F →G)→H
unter Verwendung der Rechengesetze der Aussagenlogik so um, dass kein
→mehr darin auftritt. Vereinfachen Sie den Term dann so weit wie mög- lich.
Lösung von Aufgabe 12.
(F →G)→H = ¬(F →G)∨H
= ¬(¬F∨G)∨H
= (F∧ ¬G)∨H.
Aufgabe 13. Gegeben seien die Konstantensymbolea, b, die Variablensymbole x, yund die Funktionssymbolef (einstellig) undg(dreistellig). Damit ist z.B.
f(g(a, x, f(a)))
ein Term. Nennen Sie 5 weitere Terme, die aus den gegebenen Symbo- len bestehen. Wie viele Terme lassen sich mit den gegebenen Symbolen konstruieren?
Lösung von Aufgabe 13. Beispiele sind:
a, b, x, f(x), g(x, a, b)
Mit den gegebenen Symbolen lassen sich unendlich viele Terme konstru- ieren.
Aufgabe 14. Stellen Sie den Term
sin(x2+y)e2x
als Baum dar. Überlegen Sie sich zunächst welche Funktionssymbole im Term auftreten und lassen Sie sich von der Notation nicht irritieren. Ein Teilterm entspricht in dieser Darstellung einem Teilbaum. Teilterme sind somit z.B.
x, y,2, x2, x2+y, . . . . Nennen Sie alle Teilterme des gegebenen Terms.
Lösung von Aufgabe 14.
2 x
∗
sin
+
quadrat y
x
exp
∗
Die Teilterme sind
x, y,2, x2, x2+y,sin(x2+y),2x, e2x,sin(x2+y)e2x. Aufgabe 15. Sei
f(x) = sin(3x)−x.
Berechnen Sief(2x+ 1).
Lösung von Aufgabe 15. Ausgehend von
f(x) = sin(3x)−x
wird auf beiden Seitenxersetzt durch 2x+ 1. Damit erhält man f(2x+ 1) = sin(3(2x+ 1))−(2x+ 1)
= sin(6x+ 3)−2x−1.
Aufgabe 16. Enscheiden Sie von jeder der folgenden Zeichenketten, ob es sich um einen Term handelt oder nicht.
• 2 +x−5
• p√
x+ 1
• sin(x, y)
• 1 + (3≥2) Lösung von Aufgabe 16.
• 2 +x−5 ist ein Term.
• p√
x+ 1 ist ein Term.
• sin(x, y) ist kein Term, da sin ein einstelliges Funktionssymbol ist.
• 1 + (3≥2) ist kein Term.
Aufgabe 17. Übersetzen Sie die Aussage
∀x∈N∃y∈Ny > x
in natürliche Sprache. Hierbei bedeutet∀x∈N“für allex∈Ngilt” und
∃y∈N“es gibt einy∈Nso dass”. Ist die Aussage wahr?
Lösung von Aufgabe 17. Die Aussage heißt: Für jedes x ∈ N existiert ein y∈Nso dassy > x. Die Aussage ist wahr.
Aufgabe 18. SeiF(x) die Aussage “xist Primzahl”. Übersetzen Sie die For- meln
¬∀x F(x) und ∃x¬F(x)
in natürliche Sprache. Sagen die beiden Formeln das gleiche aus?
Gilt für jede AussageF(x), dass¬∀xF(x) und∃x¬F(x) äquivalent sind?
Gilt für jede AussageF(x), dass¬∃xF(x) und∀x¬F(x) äquivalent sind?
Lösung von Aufgabe 18. Die Formel ¬∀x F(x) besagt in natürlicher Spra- che, dass nicht jedesxeine Primzahl ist.
Die Formel∃x¬F(x) besagt, dass es ein xgibt, das keine Primzahl ist, was das selbe bedeutet.
Allgemein sind die Formeln¬∀x F(x) und ∃x¬F(x) äquivalent für jede AussageF(x).
Auch die Aussagen¬∃xF(x) und∀x¬F(x) sind äquivalent.
Dass man die Reihenfolge eines Quantors und der Negation vertauschen darf, wenn man dabei aus∀durch∃ersetzt und umgekehrt, ist ein wich- tiges Rechengesetz der Aussagenlogik.
Aufgabe 19. Finden Sie ein Beispiel für zwei AussagenF(x) undG(x) so dass
∃x(F(x)∧G(x)) falsch ist, aber
(∃x F(x))∧(∃x G(x)) wahr.
Lösung von Aufgabe 19. Sei F(x) die Aussage “x∈N” undG(x) die Aus- sage “x6∈N”. Dann ist
∃x(F(x)∧G(x))
falsch, da es keinxgeben kann, dass sowohl inNals auch nicht inNist.
Die Aussagen
(∃x F(x)) und (∃x G(x)) sind beide wahr. Folglich ist auch
(∃x F(x))∧(∃x G(x)) wahr.
Aufgabe 20. Berechnen Sie die MengeA\(B∩C) für A = {2,5,7,8}
B = {1,2,7,8}
C = {2,3,8}
Lösung von Aufgabe 20.
B∩C = {2,8}
A\(B∩C) = {5,7}.
Aufgabe 21. Finden Sie drei Mengen A, B, C so dass A ⊆ B, A ⊆ C aber nichtB⊆C gilt.
Lösung von Aufgabe 21. Ein Beispiel ist A = {1,2}
B = {1,2,3}
C = {1,2,4}
Aufgabe 22. Finden Sie zwei MengenA, B für die wederA⊆B nochB ⊆A gilt.
Lösung von Aufgabe 22. Ein Beispiel ist
A={1,2} undB={2,3}.
Aufgabe 23. Nennen Sie alle Teilmengen der Menge{1,2,3}. Hinweis: Es sind 8 Stück.
Lösung von Aufgabe 23.
{1,2,3},{1,2},{1,3},{2,3},{1},{2},{3},∅.
Aufgabe 24. Das Paar (a, b) ist definiert als die Menge (a, b) =
{a},{a, b} . Schreiben Sie die folgenden Paare als Menge.
(3,1), (1,3), (3,3).
Lösung von Aufgabe 24.
(1,3) =
{1},{1,3}
(3,1) =
{3},{1,3}
(3,3) =
{3},{3,3}
=
{3},{3}
=
{3} .
Aufgabe 25. Entscheiden Sie von den folgenden Mengen, ob es sich um Paare handelt. Falls ja, nennen Sie dessen erste und zweite Komponente.
{3},{3,2}
{2,3},{3}
{2,3},{3,2}
{∅}
{∅} .
Lösung von Aufgabe 25.
•
{3},{3,2} ist ein Paar. Es gilt
{3},{3,2} = (3,2).
•
{2,3},{3} ist ein Paar. Es gilt {2,3},{3} =
{3},{3,2}
= (3,2).
• Es gilt
{2,3},{3,2} = {2,3} . Dies ist kein Paar.
• {∅} ist kein Paar. Ein Paar müsste ein Element enthalten, das ei- ne Menge ist, die genau ein Element hat. Da die leere Menge kein Element hat, handelt es sich nicht um ein Paar.
•
{∅} ist ein Paar. Es gilt
{∅} =
{∅},{∅,∅}
= (∅,∅).
Aufgabe 26. Zwei Tripel sollen genau dann gleich sein, wenn ihre Komponen- ten gleich sind. Das Tripel (a, b, c) ist definiert durch
(a, b, c) = ((a, b), c).
Hätte man das Tripel auch wie folgt definieren können?
(a, b, c) = {{a},{b},{c},{a, b},{b, c}}?
Begründen Sie Ihre Antwort!
Lösung von Aufgabe 26. Aufgrund der Forderung, dass zwei Tripel genau dann gleich sind, wenn ihre Komponenten gleich sind, muss z.B. gelten
(1,0,1) 6= (0,1,0).
Andererseit ist aber nach der oben vorgeschlagenen Definition (1,0,1) = {{1},{0},{1},{1,0},{0,1}}
= {{0},{1},{0,1}}
(0,1,0) = {{0},{1},{0},{0,1},{1,0}}
= {{0},{1},{0,1}}, d.h. die beiden Tripel wären gleich.
Aufgabe 27. Das Tripel (a, b, c) ist laut Definition eine geschachtelte Menge.
Nennen Sie zwei Elemente dieser Menge.
Lösung von Aufgabe 27. Laut Definition der Begriffe Tripel und Paar gilt (a, b, c) = ((a, b), c)
=
{(a, b)},{(a, b), c} . Damit ist
{(a, b)} ∈(a, b, c) {(a, b), c} ∈(a, b, c).
Aufgabe 28. Skatkarten sind ein Beispiel aus der “realen” Welt, wo kartesische Produkte auftreten. Eine Skatkarte ist ein Paar bestehend aus einer Farbe und einem Wert. So ist z.B.
(Kreuz,7) eine Skatkarte.
• Nennen Sie die MengenA, Bso dassA×Bdie Menge aller Skatkarten ist.
• Finden Sie ein anderes Beispiel aus der realen Welt, wo kartesische Produkte auftreten.
Lösung von Aufgabe 28.
• Die Menge aller Skatkarten ist das kartesische Produkt der Mengen A = {Herz,Karo,Pik,Kreuz}
B = {7,8,9,10,Bube,Dame,König,As}.
• Ein Beispiel sind Uhrzeiten. Die Menge aller Uhrzeiten kann (bis auf Minuten genau) als kartesisches Produkt der Mengen
A = {0,1,2, . . . ,23}
B = {0,1,2, . . . ,59}
beschrieben werden.
Aufgabe 29. Sie kennen den Begriff “kartesisches Koordinatensystem”. Was hat dies mit kartesischen Produkten zu tun?
Lösung von Aufgabe 29. Jeder Punkt in einem kartesischen Koordinatensy- stem ist durch seinex- undy-Koordinate gegeben und ist somit ein Paar (x, y). Die Menge aller Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem ist somit die Menge aller Paare mit reellen Komponenten, d.h.R×R.
