Übungen zu Mathematik 1 mit Musterlösungen Blatt 7

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Heilbronn, den 11.11.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Mathematik 1 mit Musterlösungen

Blatt 7

Aufgabe 1. Ist

R×R² = R²×R? Geben Sie eine Begründung.

Lösung von Aufgabe 1. Die Mengen sind nicht gleich. Die Menge R×R² enthält Paare, deren erste Komponente ausRist, währendR²×RPaare enthält, deren erste Komponente ausR² ist. So ist z.B.

(1,(2,3)) ∈ R×R² (1,(2,3)) 6∈ R²×R.

(2)

Aufgabe 2. Seif eine reelle Funktion.

• Das Schaubild von

g(x) =f(x) +c

ist das Schaubild von f(x) umc nach oben verschoben.

g(x) =f(x+c)

ist das Schaubild von f(x) umc nach links verschoben.

g(x) =af(x)

ist das Schaubild von f(x) um Faktoravertikal gestreckt.

g(x) =f(ax)

ist das Schaubild von f(x) horizontal um Faktoragestaucht.

Ist a negativ, bewirkt dies zusätzlich eine Spiegelung. Ein Streckfaktor kleiner eins bewirkt eine Stauchung und umgekehrt.

Sei

f ∈[−1,1]→[0,1]

durch folgendes Bild gegeben:

x f(x)

−1 1

1

Skizzieren Sie den Graph der Funktiong(x) und geben Sie auch an, von wo nach wo diese abbildet für folgende Fälle:

• g(x) =f(x+ 2)

• g(x) =f(x−2)

• g(x) =f(x) + 1

• g(x) =f(x)−1

• g(x) =f(3x)

• g(x) =f(−x)

• g(x) =f(2(x+ 1))

• g(x) =f(2x+ 1)

(3)

Lösung von Aufgabe 2.

• g∈[−3,−1]→[0,1], g(x) =f(x+ 2)

• g∈[1,3]→[0,1], g(x) =f(x−2)

• g∈[−1,1]→[1,2], g(x) =f(x) + 1

• g∈[−1,1]→[−1,0], g(x) =f(x)−1

• g∈[−1/3,1/3]→[0,1], g(x) =f(3x)

• g∈[−1,1]→[0,1], g(x) =f(−x)

• g∈[−3/2,−1/2]→[0,1], g(x) =f(2(x+ 1))

• g∈[−1,0]→[0,1], g(x) =f(2x+ 1)

(4)

1

x g(x) =f(x−2)

1 3

1

−3 −1

x g(x) =f(x+ 2)

1 2

1 g(x) =f(3x)

1

−¹3 3

x

1

−³2 −¹2

x g(x) =f(2(x+ 1))

g(x) =f(x)−1

−1 1

g(x) =f(x) + 1

x

−1 1

x 1

g(x) =f(−x)

1

x

−1

g(x) =f(2x+ 1)

−1 1

x

−1

Aufgabe 3. Seig∈N→Ndefiniert durch g(x) = 3x+ 1.

Berechnen Sie einen Funktionsterm fürg◦g◦g.

(5)

g(g(g(x))) = g(g(3x+ 1))

= g(3(3x+ 1) + 1)

= g(9x+ 4)

= 3(9x+ 4) + 1

= 27x+ 13.

Aufgabe 4. Sei

f ∈ {1,2} × {1,3} → {2,3,4,5}

definiert durch

f(x, y) =x+y.

Finden Sie MengenA, B, Rso dass

f⁻¹= (A, B, R).

A = {2,3,4,5}

B = {1,2} × {1,3}

R = {(2,(1,1)),(3,(2,1)),(4,(1,3)),(5,(2,3))}.

Aufgabe 5. Ist die Funktion

f = {1,2},{5,6},{(1,5),(2,6)}

invertierbar? Falls ja berechnen Sie die Umkehrfunktion.

f⁻¹= {5,6},{1,2},{(5,1),(6,2)}

. Aufgabe 6. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung

|cos(3x+ 5)| −1 = 0.

Lösung von Aufgabe 6. Umformen ergibt

|cos(3x+ 5)| = 1.

Lösung dieser Gleichung sind allexfür die cos(3x+ 5) = 1 oder

cos(3x+ 5) = −1.

Dies sind allexfür die

3x+ 5 = kπ x = kπ−5

3 , k∈Z. Damit ist

L =

kπ−5 3 |k∈Z

.

(6)

Aufgabe 7. Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ln(2x−3) = 1

2.

Begründen Sie bei jedem Umformungsschritt, weshalb die Lösungsmenge dabei erhalten bleibt.

Lösung von Aufgabe 7. Die Gleichung ist nur definiert falls 2x−3>0. Im Folgenden darf dies also vorausgesetzt werden. Die Funktionf ∈R→R, f(x) =e^xist injektiv. Anwenden auf beiden Seiten gibt

e^ln(2x−3)=e^1/2. Dae^ln(x)=xfür allex∈R⁺ gilt

2x−3 =√ e.

Die Funktionf ∈R→R,f(x) =x+ 3 ist injektiv. Anwenden auf beiden Seiten gibt

2x=√ e+ 3.

Die Funktionf ∈R→R,f(x) =x/2 ist injektiv. Anwenden auf beiden Seiten gibt

x=1 2

√e+ 3 .

Damit ist die Lösungsmenge L=

1 2

√e+ 3

.

Aufgabe 8. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung sin(2x+ 1) = 1.

Lösung von Aufgabe 8. Da

sin(x) = 1 genau dann wennx = π/2 + 2kπ, k∈Z folgt

sin(2x+ 1) = 1 genau dann wenn 2x+ 1 = π/2 + 2kπ.

Umformen ergibt

2x+ 1 = π/2 + 2kπ 2x = π/2 + 2kπ−1

x = π/4−1/2 +kπ.

Die Lösungsmenge ist damit

L = {π/4−1/2 +kπ|k∈Z}.

(7)

Aufgabe 9. Sei x∈N→R eine Folge und f ∈R→ Reine Funktion. Dann ist die Komposition

f ◦x∈N→R wieder eine Folge mit den Gliedern

f(x1), f(x2), f(x3), . . .

Sei nun konkretx_n = 1/n. Dann konvergiertx_n gegen 0 für ngegen un- endlich. Untersuchen Sie, ob auch die Folgef(x_n) konvergiert, und falls ja wogegen, für folgende Funktionenf. Eine begründete Vermutung genügt, ein Beweis ist nicht verlangt:

f(x) =x², f(x) =x^x, f(x) = 1/x, f(x) = sin(1/x).

Hinweis: Im Fallf(x) =x²ist

f(xn) =h1,1/4,1/9,1/16, . . .i.

Lösung von Aufgabe 9. Die ersten Glieder der Folgex_n sind 1,1

2,1 3,1

4, . . . .

• f(x) =x². Dann ist

f(xn) =h1,1/4,1/9,1/16, . . .i.

Damit konvergiertf(x_n) gegen 0.

• f(x) =x^x. Dann ist

f(x_n) =h1,0.707,0.693,0.707,0.724,0.742, . . .i.

Die Folge konvergiert gegen 1.

• f(x) = 1/x. Dann ist

f(xn) =h1,2,3,4, . . .i.

Die Folge ist bestimmt divergent mit uneigentlichem Grenzwert ∞.

• f(x) = sin(1/x). Dann ist

f(xn) =hsin(1),sin(2),sin(3), . . .i.

Die Folge ist unbestimmt divergent.

Aufgabe 10. Eine Folgexn heißt

• monoton steigend, wenn x_n≤x_n+1,

• streng monoton steigend, wenn xn< xn+1,

• monoton fallend, wennxn≥xn+1,

• streng monoton fallend, wennx_n> x_n+1,

• alternierend, wennxnxn+1<0

(8)

für allen∈N. Prüfen Sie welche der unten angegebenen Folgen diese Ei- genschaften besitzen. Geben Sie zu jeder Folge an, ob sie konvergent, bestimmt divergent oder unbestimmt divergent ist. Hinweis: Meistens sieht man das sehr schnell wenn man die ersten paar Glieder der Folge auf- schreibt und den qualitativen Verlauf der Folge skizziert.

a) xn= sin(n²) b) xn= (−1)ⁿ/n²

c) xn=n²/(−1)ⁿ d) xn=n/n!

e) xn=p

1/(n+ 1)

f) x₁= 1, x₂= 2, x_n+2= 2x_nx_n+1 g) x₁= 2, x_n+1=x_n−^x_2x²ⁿ⁻³

n

Hinweis zum letzten Beispiel: Nehmen Sie an, dass die Folge einen Grenz- wert ˆxhat. Für diesen Grenzwert muss dann gelten

ˆ

x= ˆx−xˆ²−3 2ˆx

Aus dieser Gleichung können Sie mögliche Grenzwerte bestimmen.

a) xn = sin(n²): weder monoton noch alternierend, unbestimmt divergent.

b) xn= (−1)ⁿ/n²: alternierend, konvergent mit Grenzwert 0.

c) x_n=n²/(−1)ⁿ: alternierend, unbestimmt divergent.

d) x_n=n/n!: monoton fallend, konvergent mit Grenzwert 0.

e) x_n=p

1/(n+ 1): streng monoton fallend, konvergent mit Grenzwert 0.

f) x1 = 1, x2 = 2, xn+2 = 2xnxn+1: streng monoton steigend, bestimmt divergent mit uneigentlichem Grenzwert∞.

g) x₁= 2, x_n+1=x_n−^x_2x²ⁿ⁻³

n : streng monoton fallend, konvergent mit Grenzwert√

3.

Aufgabe 11. Definieren Sie wann eine Funktionf ∈R→Reinen Grenzwert bei ˆx∈Rhat.

Lösung von Aufgabe 11. f hat einen Grenzwert bei ˆx wenn es eine Zahl G gibt, so dass für jede Folge x_n mit x_n → x,ˆ x_n 6= ˆx für alle n gilt f(x_n)→G.

Aufgabe 12.

• Nennen Sie ein Beispiel für eine Funktion f ∈ R→Rso dassf an der Stelle ˆx= 2 keinen Grenzwert hat.

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• Nennen Sie ein Beispiel für eine Funktion f ∈ R→Rso dassf an der Stelle ˆx= 2 einen Grenzwert hat, dort aber nicht stetig ist.

• Zum Beispiel eine Funktion, die an der Stelle ˆx= 2 einen Sprung hat wie

f(x) = sign(x−2).

• Zum Beispiel eine Funktion, die an der Stelle ˆx= 2 einen Ausreißer hat wie

f(x) =

0 fallsx6= 2 1 fallsx= 2.

Aufgabe 13. Sei

f ∈R\ {0} →R, f(x) =e^−1/|x|.

• Hat f einen Grenzwert bei ˆx= 0?

• Falls ja berechnen Sie diesen Grenzwert, falls nein geben Sie eine Begründung warumf keinen Grenzwert bei ˆxhat.

• Ist f stetig bei ˆx? Begründen Sie Ihre Antwort mit einem Satz.

• f hat den Grenzwert 0 bei ˆx.

• Es gilt

x→0lim− 1

|x| = −∞

x→−∞lim e^x = 0.

Folglich ist

x→ˆlimxf(x) = lim

x→0e^−1/|x|

= 0

• f ist nicht stetig bei ˆx, daf(ˆx) nicht definiert ist.

Aufgabe 14. Die Kettenregel der Ableitung besagt [f(g(x))]⁰ = f⁰(g(x))g⁰(x) bzw.

(f◦g)⁰ = (f⁰◦g)g⁰.

Verallgemeinern Sie diese Regel auf die Verkettung von 3 Funktionen, d.h.

finden Sie eine Formel zur Berechnung von [f(g(h(x)))]⁰

(10)

bzw.

(f◦g◦h)⁰.

Verallgemeinern Sie diese Regel auf die Komposition von n Funktionen, d.h. finden Sie eine Formel zur Berechnung von

(f1◦f2◦ · · · ◦fn)⁰.

Lösung von Aufgabe 14. Anwendung der Kettenregel mit äußerer Funktion f(x) und innerer Funktiong(h(x)) ergibt

[f(g(h(x)))]⁰ = f⁰(g(h(x))) [g(h(x))]⁰

= f⁰(g(h(x))g⁰(h(x))h⁰(x).

Man kann dies auch so formulieren:

(f ◦g◦h)⁰ = (f⁰◦g◦h) (g⁰◦h)h⁰. Damit ist die Verallgemeinerung aufnFunktionen

(f1◦f2◦ · · · ◦fn)⁰

= (f₁⁰◦f2◦ · · · ◦fn) (f₂⁰◦f₃◦ · · · ◦f_n) (f₃⁰◦f4◦ · · · ◦fn) ...

f_n⁰

=

n

Y

i=1

(f_i⁰◦fi+1◦ · · · ◦fn).

Aufgabe 15. Eine Funktionf heißt ungerade, wenn f(−x) = −f(x) und gerade, wenn

f(−x) = f(x)

für allex. Zeigen Sie, dass die Ableitung einer ungeraden Funktion immer eine gerade Funktion ist.

Lösung von Aufgabe 15. Seif eine ungerade Funktion, d.h.

f(−x) = −f(x)

für allex. Ableiten auf beiden Seiten ergibt unter Verwendung der Ket- tenregel

−f⁰(−x) = −f⁰(x) f⁰(−x) = f⁰(x).

Damit istf⁰ eine gerade Funtion.

(11)

Aufgabe 16. Berechnen Sie die Linearisierung`(x) der Funktion f(x) = p

ln(x) zum Entwicklungspunkt ˆx=e.

f(x) = ln(x)^1/2 f⁰(x) = 1

x 1

2ln(x)^−1/2

= 1

2xp ln(x) f(ˆx) = 1

f⁰(ˆx) = 1 2e

`(x) = 1 + 1

2e(x−e)

= 1

2 + x 2e. Aufgabe 17. Berechnen Sie die Linearisierung von

f(x) = sin(e^x−1−1) an der Stelle ˆx= 1.

f(1) = 0

f⁰(x) = e^x−1cos(e^x−1−1) f⁰(1) = 1

`(x) = x−1.

Aufgabe 18. Berechnen Sie die Linearisierung der Funktion f(x) = cos(arctan(x)) zum Entwicklungspunkt ˆx= 0. Hinweis

d

dxarctan(x) = 1 1 +x². Lösung von Aufgabe 18.

f(0) = cos(arctan(0))

= cos(0)

= 1

f⁰(x) = −sin(arctan(x)) 1 1 +x² f⁰(0) = −sin(0) 1

1 + 0

= 0

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Damit ist die Linearierung

`(x) = f(0) +f⁰(0)(x−0) = 1.

Aufgabe 19. Berechnen Sie

x→ˆlimx

sin(x) e^x−1

für ˆx= 0. Hinweis: Da sowohl Zähler als auch Nenner für x→ xˆ gegen Null gehen, ist die Berechnung des Grenzwerts schwierig. Da die Lineari- sierung einer Funktion bei ˆxeine gute Approximation der Funktion in der Umgebung von ˆxist, kann man Zähler und Nenner bei ˆxlinearisieren und damit den Grenzwert berechnen. Diese Vorgehensweise nennt man auch Regel von l’Hospital.

Lösung von Aufgabe 19. Linearisierung von Zähler und Nenner bei ˆx= 0:

sin(x) ≈ x

e^x−1 ≈ (1 +x)−1

= x

Damit gilt

x→0lim sin(x)

e^x−1 = lim

x→0

x x

= lim

x→01

= 1

Aufgabe 20. Berechnen Sie das Taylor Polynom vom Grad 3 von f(x) = 1/x

zum Entwicklungspunkt ˆx= 1.

Lösung von Aufgabe 20. Die Ableitungen vonf(x) sind f⁰(x) = − 1

x² f⁰⁰(x) = 2

x³ f⁰⁰⁰(x) = − 6

x⁴ Auswertung bei ˆx= 1.

f(ˆx) = 1 f⁰(ˆx) = −1 f⁰⁰(ˆx) = 2 f⁰⁰⁰(ˆx) = −6.

Damit ist das Taylor Polynom p(x) = f(ˆx) +f⁰(ˆx)

1! (x−ˆx) +f⁰⁰(ˆx)

2! (x−x)ˆ ²+f⁰⁰⁰(ˆx)

3! (x−x)ˆ ³

= 1−(x−1) + (x−1)²−(x−1)³.

(13)

Aufgabe 21. Berechnen Sie das Taylor Polynom vom Grad 2 zum Entwick- lungspunkt ˆx= 0 von

f(x) = 1

√ 1 +x².

Lösung von Aufgabe 21. Die ersten beiden Ableitungen vonf(x) sind f(x) = (1 +x²)^−1/2

f⁰(x) = −x(1 +x²)^−3/2

f⁰⁰(x) = −(1 +x²)^−3/2+ 3x²(1 +x²)^−5/2 Auswertung bei ˆx= 0 ergibt

f(0) = 1 f⁰(0) = 0 f⁰⁰(0) = −1.

Damit ist das Taylor Polynom

p(x) = 1−1 2x².

Aufgabe 22. Berechnen Sie das Taylor Polynom vom Grad 3 zum Entwick- lungspunkt ˆx= 1 von

f(x) = 2√ x+x².

Kürzen Sie die entstehenden Brüche so weit wie möglich.

Lösung von Aufgabe 22. Die Ableitungen vonf sind f(x) = 2x^1/2+x² f⁰(x) = x^−1/2+ 2x f⁰⁰(x) = −1

2x^−3/2+ 2 f⁰⁰⁰(x) = 3

4x^−5/2. Auswerten bei ˆx= 1 ergibt

f(1) = 3

f⁰(1) = 1 + 2 = 3 f⁰⁰(1) = −1

2+ 2 = 3 2 f⁰⁰⁰(1) = 3

4. Damit ist das Taylor Polynom

p(x) = 3 + 3(x−1) +3/2

2! (x−1)²+3/4

3! (x−1)³

= 3 + 3(x−1) +3

4(x−1)²+1

8(x−1)³.

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Aufgabe 23. Schreiben Sie die Taylor Reihe vonf(x) =e^xzum Entwicklungs- punkt ˆx= 0 auf. Leiten Sie jeden Summanden der Taylor Reihe ab und zeigen Sie auf diese Weise, dass

f⁰(x) =f(x).

f(x) = 1 +x+ 1 2!x²+ 1

3!x³+. . . . Gliedweise differenzieren:

f⁰(x) = 1 + 1 2!2x+ 1

3!3x²+ 1

4!4x³+. . .

= 1 +x+ 1 2!x²+ 1

3!x³+. . .

= f(x).

Aufgabe 24. Das Taylor Polynom einer geraden Funktion zum Entwicklungs- punkt ˆx= 0 ist immer gerade, d.h. die Koeffizienten vor ungeraden Poten- zen vonxsind Null. Dies kann man z.B. am Taylor Polynom der Cosinus Funktion beobachten:

p(x) = 1−x² 2! +x⁴

4!. . . .

Nachfolgend soll dies allgemein gezeigt werden. Seif(x) eine gerade Funk- tion, d.h.

f(−x) = f(x) für allex.

• Zeigen Sie, dass dann

f⁰(−x) = −f⁰(x) gilt, d.h.f⁰ ist ungerade und folglich

f⁰(0) = 0.

• Sei nun dien-te Ableitung vonf ungerade, d.h.

f⁽ⁿ⁾(−x) = −f⁽ⁿ⁾(x) für allex

Zeigen Sie, dass dann auch dien+ 2-te Ableitung ungerade ist, d.h.

f⁽ⁿ⁺²⁾(−x) = −f⁽ⁿ⁺²⁾(x) und daher

f⁽ⁿ⁺²⁾(0) = 0.

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• Sei f(x) gerade, d.h.

f(−x) = f(x) für allex.

Leitet man beide Seiten ab, erhält man mit der Kettenregel

−f⁰(−x) = f⁰(x) f⁰(−x) = −f⁰(x).

Fürx= 0 folgt hieraus

f⁰(0) = −f⁰(0) und damit

f⁰(0) = 0.

• Sei

f⁽ⁿ⁾(−x) = −f⁽ⁿ⁾(x).

Leitet man beide Seiten zwei Mal ab, erhält man mit der Kettenregel

−f⁽ⁿ⁺¹⁾(−x) = −f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) f⁽ⁿ⁺²⁾(−x) = −f⁽ⁿ⁺²⁾(x).

Fürx= 0 folgt hieraus

f⁽ⁿ⁺²⁾(0) = −f⁽ⁿ⁺²⁾(0) und damit

f⁽ⁿ⁺²⁾(0) = 0.

Aufgabe 25. Seif(x) ein Polynom vom Gradnundp(x) das Taylor Polynom anf(x) im Entwicklungspunkt ˆxebenfalls vom Gradn. Dap(x) das einzige Polynom vom Gradnist, das den gleichen Funktionswert und die gleichen erstenn-Ableitungen wief(x) bei ˆxhat undf(x) ebenfalls ein Polynom vom Gradnist, folgt

p(x) = f(x).

Verifizieren Sie das im Spezialfalln= 2, d.h. für f(x) = ax²+bx+c

und beliebigen Entwicklungspunkt ˆx. Berechnen Sie dazu das Taylor Po- lynomp(x) anf(x) bei ˆxund formen Sie um, bis f(x) herauskommt.

Lösung von Aufgabe 25. Ableitungen.

f(x) = ax²+bx+c f⁰(x) = 2ax+b f⁰⁰(x) = 2a

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Auswerten bei ˆx.

f(ˆx) = aˆx²+bˆx+c f⁰(ˆx) = 2aˆx+b f⁰⁰(ˆx) = 2a.

Damit ist das Taylor Polynom

p(x) = f(ˆx) +f⁰(ˆx)(x−x) +ˆ 1

2f⁰⁰(ˆx)(x−x)ˆ ²

= f(ˆx) + (x−x)ˆ

f⁰(ˆx) +1

2f⁰⁰(ˆx)(x−x)ˆ

= f(ˆx) + (x−x) (fˆ ⁰(ˆx) +a(x−x))ˆ

= f(ˆx) + (x−x) (2aˆˆ x+b+ax−aˆx)

= f(ˆx) + (x−x) (bˆ +ax+aˆx)

= f(ˆx) +bx+ax²+aˆxx−bˆx−aˆxx−aˆx²

= f(ˆx) +bx+ax²−bxˆ−aˆx²

= aˆx²+bˆx+c+bx+ax²−bxˆ−aˆx²

= c+bx+ax²

= f(x)