Existiert zu einer Funktion f das Parameterintegral f ˆ (y) =

(1)

Fourier-Transformation

Existiert zu einer Funktion f das Parameterintegral f ˆ (y) =

∞

Z

−∞

f (x)e ^−iyx dx

f¨ ur alle y ∈ R , so heißt f Fourier-transformierbar und die Funktion ˆ f Fourier-Transformierte von f .

Man schreibt

f ˆ = Ff , bzw. f (x ) 7−→ ^F f ˆ (y) .

(2)

Entsprechend ist die inverse Fourier-Transformation F ⁻¹ durch f ˆ (y) ^F

−1

7−→ f (x) = 1 2π

∞

Z

−∞

f ˆ (y )e ^iyx dy ,

definiert und es gilt

f = F ⁻¹ Ff

f¨ ur absolut integrierbare, stetig differenzierbare Funktionen f .

Die Fourier-Transformation und die inverse Fourier-Transformation sind linear. Sie unterscheiden sich nur unwesentlich. Es ist

F f ¯ = 2πF ⁻¹ f .

(3)

Beweis:

Idee:

Fourier-Transformation als Grenzfall der Fourier-Reihe, d.h. eine kontinuierliche Entwicklung nach Exponentialfunktionen e _k (x) = e ^ikx Annahme: f = 0 außerhalb von [−h, h]

Fourier-Reihe f¨ ur x ∈ [−h, h], Definition der Fourier-Transformation

f (x) =

∞

X

k=−∞



 1 2h

h

Z

−h

f (t )e _k (tπ/h) dt



 e _k (xπ/h)

= 1

2π π h

∞

X

k=−∞

f ˆ (kπ/h)e ^i(kπ/h)x

Riemann-Summe der inversen Fourier-Transformation

(4)

Beispiel:

Fourier-Transformation der Impuls-Funktion

χ(x) =

( 1, |x| ≤ 1/2 0, sonst Definition, Formel von Euler-Moivre

ˆ χ(y) =

1/2

Z

−1/2

e ^−iyx dx = e ^−iyx

−iy 1/2

−1/2

= e ^−iy/2 − e ^iy/2

−iy

= sin(y/2)

y/2 = sinc(y/2)

(5)

Beispiel:

Fourier-Transformation der Funktion f (x) = e ^−|x|

Formel von Euler-Moivre = ⇒ e ^−ixy = cos(xy ) − i sin(xy ) f gerade = ⇒ R ∞

−∞ f (x) sin(xy ) dx = 0 und f ˆ (y ) = 2

∞

Z

0 e ^−x cos(yx) dx =

part. Int. 0 + 2

∞

Z

0 e ^−x sin(yx ) y dx

part. Int. = 2

e ^−x

− cos(yx) y ²

∞ 0

− 2

∞

Z

0 e ^−x cos(yx )

y ² dx

2 f ˆ (y)

(6)

Beispiel:

Die Gauß-Funktion ist eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation:

f (x) = exp(−x ² /2) ⇔ f ˆ (y) = √

2π exp(−y ² /2) . Definition

f ˆ (y ) = exp(−y ² /2)

∞

Z

−∞

exp(−x ² /2 − iyx + y ² /2) dx

setze

−z ² /2 = −(x + iy ) ² /2 , dz = dx Verschiebung des Integrationswegs (Komplexe Analysis), z ∈ R + iy → z ∈ R

Existiert zu einer Funktion f das Parameterintegral f ˆ (y) =

Fourier-Transformation

Existiert zu einer Funktion f das Parameterintegral f ˆ (y) =

∞

Z

−∞

f (x)e −iyx dx

f¨ ur alle y ∈ R , so heißt f Fourier-transformierbar und die Funktion ˆ f Fourier-Transformierte von f .

Man schreibt

f ˆ = Ff , bzw. f (x ) 7−→ F f ˆ (y) .

Entsprechend ist die inverse Fourier-Transformation F −1 durch f ˆ (y) F

7−→ f (x) = 1 2π

∞

Z

−∞

f ˆ (y )e iyx dy ,

definiert und es gilt

f = F −1 Ff

f¨ ur absolut integrierbare, stetig differenzierbare Funktionen f .

Die Fourier-Transformation und die inverse Fourier-Transformation sind linear. Sie unterscheiden sich nur unwesentlich. Es ist

F f ¯ = 2πF −1 f .

Beweis:

Idee:

Fourier-Transformation als Grenzfall der Fourier-Reihe, d.h. eine kontinuierliche Entwicklung nach Exponentialfunktionen e k (x) = e ikx Annahme: f = 0 außerhalb von [−h, h]

Fourier-Reihe f¨ ur x ∈ [−h, h], Definition der Fourier-Transformation

f (x) =

∞

X

k=−∞



 1 2h

h

Z

−h

f (t )e k (tπ/h) dt



 e k (xπ/h)

= 1

2π π h

∞

X

k=−∞

f ˆ (kπ/h)e i(kπ/h)x

Riemann-Summe der inversen Fourier-Transformation

Beispiel:

Fourier-Transformation der Impuls-Funktion

χ(x) =

( 1, |x| ≤ 1/2 0, sonst Definition, Formel von Euler-Moivre

ˆ χ(y) =

1/2

Z

−1/2

e −iyx dx = e −iyx

−iy 1/2

−1/2

= e −iy/2 − e iy/2

−iy

= sin(y/2)

y/2 = sinc(y/2)

Beispiel:

Fourier-Transformation der Funktion f (x) = e −|x|

Formel von Euler-Moivre = ⇒ e −ixy = cos(xy ) − i sin(xy ) f gerade = ⇒ R ∞

−∞ f (x) sin(xy ) dx = 0 und f ˆ (y ) = 2

∞

Z

0

e −x cos(yx) dx =

part. Int. 0 + 2

∞

Z

0

e −x sin(yx ) y dx

part. Int. = 2

e −x

− cos(yx) y 2

∞ 0

− 2

∞

Z

0

f (x)e ^−iyx dx

f ˆ = Ff , bzw. f (x ) 7−→ ^F f ˆ (y) .

Entsprechend ist die inverse Fourier-Transformation F ⁻¹ durch f ˆ (y) ^F

f ˆ (y )e ^iyx dy ,

f = F ⁻¹ Ff

F f ¯ = 2πF ⁻¹ f .

Fourier-Transformation als Grenzfall der Fourier-Reihe, d.h. eine kontinuierliche Entwicklung nach Exponentialfunktionen e _k (x) = e ^ikx Annahme: f = 0 außerhalb von [−h, h]

f (t )e _k (tπ/h) dt

 e _k (xπ/h)

f ˆ (kπ/h)e ^i(kπ/h)x

e ^−iyx dx = e ^−iyx

= e ^−iy/2 − e ^iy/2

Fourier-Transformation der Funktion f (x) = e ^−|x|

Formel von Euler-Moivre = ⇒ e ^−ixy = cos(xy ) − i sin(xy ) f gerade = ⇒ R ∞

e ^−x cos(yx) dx =

e ^−x sin(yx ) y dx

e ^−x

− cos(yx) y ²

e ^−x cos(yx )

y ² dx

f (x) = exp(−x ² /2) ⇔ f ˆ (y) = √

2π exp(−y ² /2) . Definition

f ˆ (y ) = exp(−y ² /2)

exp(−x ² /2 − iyx + y ² /2) dx

−z ² /2 = −(x + iy ) ² /2 , dz = dx Verschiebung des Integrationswegs (Komplexe Analysis), z ∈ R + iy → z ∈ R

exp(−z ² /2) dz = f (y) √