Heilbronn, den 21.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Mathematik 1 mit Musterlösungen
Blatt 4
Aufgabe 1. Welche Aussagen sind wahr? Finden Sie für die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel.
• Jede nichtleere Teilmenge vonNhat ein kleinstes Element.
• Jede nichtleere Teilmenge vonNhat ein größtes Element.
• Jede nichtleere endliche Teilmenge von Nhat ein größtes Element.
• Jede nichtleere Teilmenge der Menge der positiven reellen Zahlen hat ein kleinstes Element.
Lösung von Aufgabe 1.
• Jede nichtleere Teilmenge vonNhat ein kleinstes Element ist wahr.
• Jede nichtleere Teilmenge von Nhat ein größtes Element ist falsch.
Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge vonN aber es gibt keine größte gerade natürliche Zahl.
• Jede nichtleere endliche Teilmenge vonNhat ein größtes Element ist wahr.
• Jede nichtleere Teilmenge der Menge der positiven reellen Zahlen hat ein kleinstes Element ist falsch. Z.B. die Menge
{x|x∈R, x >2}
ist eine Teilmenge der positiven reellen Zahlen, hat aber kein kleinstes Element.
Aufgabe 2. Sei
f(x) = 1
xcos(x2).
Berechnen Sief(x+y).
Lösung von Aufgabe 2.
f(x+y) = 1
x+ycos((x+y)2).
Aufgabe 3. Sei
A={5,{3}}.
Berechnen Sie
|A10|.
Lösung von Aufgabe 3.
|A10| = |A|10
= 210
= 1024.
Aufgabe 4. Nennen Sie drei Elemente der Relation
R = {x| es gibt ein y∈Zso dassx= (y,2y)}.
Lösung von Aufgabe 4. Zum Beispiel ist für x= (2,4) die Aussage
“es gibt einy∈Zso dassx= (y,2y) ” wahr. Füry= 2 gilt
x= (y,2y).
Folglich ist
(2,4) ∈ R.
Weitere Elemente sind z.B. (0,0),(−3,−6) usw.
Aufgabe 5. Handelt es sich bei der Menge
≤N×=N
um eine Relation? Nennen Sie drei Elemente dieser Menge.
Lösung von Aufgabe 5. Jede Menge von Paaren ist eine Relation. Da ≤N
×=Neine Menge von Paaren ist, ist es eine Relation. Elemente sind z.B.
((2,3),(5,5)), ((1,7),(6,6)), ((5,5),(5,5)).
Aufgabe 6. Seig∈A→Bundf ∈B→C. Die Kompositionf◦g(gesprochen
“f nachg” von f undgist definiert durch
f◦g∈A→C, (f◦g)(a) = f(g(a)).
Sei z.B.
A={1,2}, B={3,4,5}, C={6,7}
und
g= A, B,{(1,3),(2,4)}
, f = B, C,{(3,6),(4,7),(5,6)}
.
A B C
2 5
4 3
7 6 1
f g
Dann ist
(f ◦g)(1) = f(g(1))
= f(3)
= 6 (f ◦g)(2) = f(g(2))
= f(4)
= 7 und folglich
f◦g= A, C,{(1,6),(2,7)}
.
Zeichnen Sie ein Mengendiagramm und berechnen Sie in gleicher Weise f◦gfür
A={1,2,3}, B={4,5}, C={6,7,8}
und
g= A, B,{(1,4),(2,4),(3,5)}
, f = B, C,{(4,6),(5,8)}
.
Lösung von Aufgabe 6.
(f ◦g)(1) = f(g(1))
= f(4)
= 6 (f ◦g)(2) = f(g(2))
= f(4)
= 6 (f ◦g)(3) = f(g(3))
= f(5)
= 8
A B C
f g
1 2
3 5
4 6
8 7
Damit ist
f◦g = A, C,{(1,6),(2,6),(3,8)}
Aufgabe 7. Wenn f, g durch Funktionsterme gegeben sind, kann man einen Funktionsterm fürf◦gwie folgt berechnen. Sei z.B.
f ∈R+0 →R2 f(x) = ln(x+ 1),sin(√ x) g∈R2→R+0 g(x, y) =x2+y2.
Dann ist f ◦g ∈ R2 → R2. Es handelt sich also um eine zweistellige Funktion von reellen Zahlen.
R2 g f
f◦g
R2 R+0
Laut Definition der Komposition gilt
(f◦g)(x, y) = f(g(x, y)).
Nun ersetzt mang(x, y) durch den Funktionsterm x2+y2. f(g(x, y)) = f(x2+y2).
Ausgehend von
f(x) = ln(x+ 1),sin(√ x)
ersetzt man nun auf beiden Seiten das Variablensymbolxdurch den Term x2+y2 und erhält
f(x2+y2) =
ln(x2+y2+ 1),sin(p
x2+y2) .
Damit ist
(f◦g)(x, y) =
ln(x2+y2+ 1),sin(p
x2+y2) .
In diesem Fall ist auch die Funktiong◦f definiert. Berechnen auf gleiche Weise einen Funktionsterm hierfür. Überlegen Sie zunächst, von wo nach wo die Funktion abbildet.
Lösung von Aufgabe 7. Aus dem Bild
f g
g◦f
R+0 R2 R+0
sieht man, dass
g◦f ∈ R+0 →R+0. Mit den gleichen Schritten wie oben erhält man
(g◦f)(x) = g(f(x))
= g ln(x+ 1),sin(√ x)
= ln(x+ 1)2+ sin(√ x)2.
Aufgabe 8. Seienf ∈R→R2 undg∈R2→R3 definiert durch f(x) = (ex, x2+x)
g(x, y) = (y+ 1, xy, xsin(y)).
Berechnen Sie einen Funktionsterm fürg◦f. Lösung von Aufgabe 8.
(g◦f)(x) = g(f(x))
= g(ex, x2+x)
= (x2+x+ 1, ex(x2+x), exsin(x2+x)).
Aufgabe 9. Sei
f ∈(R\ {0})2→R, f(x, y) = x+y x g∈(R\ {0})→(R\ {0})2, g(x) =
1 x, x
.
Berechnen Sie einen Funktionsterm fürf◦g und vereinfachen Sie diesen so weit wie möglich.
Lösung von Aufgabe 9.
(f◦g)(x) = f(g(x))
= f
1 x, x
=
1/x+x
1/x
= 1 +x2.
Aufgabe 10. Eine Funktion f ∈ A → B heißt injektiv, wenn es keine zwei verschiedenen Elemente a1, a2 ∈ A gibt, die den selben Funktionswert haben. Dies lässt sich in einer Formel ausdrücken durch
∀a1, a2∈A a16=a2→f(a1)6=f(a2).
Im Mengendiagramm erkennt man eine nicht injektive Funktion daran, dass mindestens zwei Pfeile zusammenlaufen.
A B f
a2
a1
So ist die Funktion
f ∈R→R, f(x) =x2 nicht injektiv, da z.B. 36=−3 aberf(3) =f(−3) = 9.
Die Funktion1
f ∈R+0 →R, f(x) =x2
ist hingegen injektiv, obwohl der Funktionsterm gleich ist. Da aber R+0
keine negativen Zahlen enthält, gibt es keine zwei verschiedenen Elemente inR+0, deren Quadrat gleich ist.
Entscheiden Sie von folgenden Funktionen, ob sie injektiv sind.
f ∈R→R, f(x) =x3
f ∈R→R, f(x) = cos(x)
f ∈[0, π]→R, f(x) = cos(x) f ∈[−π/2,π/2]→R, f(x) = cos(x) f ∈[−π/2,π/2]→R, f(x) = sin(x).
Lösung von Aufgabe 10.
f ∈R→R, f(x) =x3
ist injektiv. Die Funktion ist streng monoton steigend, folglich kann es kei- ne zwei unterschiedlichex-Werte mit dem gleichen Funktionswert geben.
f ∈R→R, f(x) = cos(x) ist nicht injektiv. Es gilt z.B. cos(0) = cos(2π) = 1.
f ∈[0, π]→R, f(x) = cos(x)
ist injektiv. Im Intervall [0, π] ist die Cosinusfunktion streng monoton fal- lend.
f ∈[−π/2,π/2]→R, f(x) = cos(x)
ist nicht injektiv. Dies folgt bereits aus der Tatsache, dass für jedesxgilt cos(−x) = cos(x).
f ∈[−π/2,π/2]→R, f(x) = sin(x)
ist injektiv. Im Intervall [−π/2,π/2] ist die Sinusfunktion streng monoton steigend.
1Die MengeR+0 ist die Menge aller nicht negativer, reller Zahlen
Aufgabe 11. Eine Funktionf ∈A→ B heißt surjektiv, wenn jedes Element vonB als Funktionswert von f vorkommt, d.h. wenn es zu jedem b ∈B eina∈Agibt mitf(a) =b. Dies lässt sich kurz ausdrücken durch
∀b∈B∃a∈A f(a) =b.
Im Mengendiagramm erkennt man eine nicht surjektive Funtion daran, dass es Elemente ausB gibt, bei denen kein Pfeil endet.
A B
b f
So ist die Funktion
f ∈R→R, f(x) =x2
nicht surjektiv, da z.B.−3∈R, aberf(x)6=−3 für allex∈R. Die Funktion
f ∈R→R+0, f(x) =x2
ist hingegen surjektiv, obwohl der Funktionsterm gleich ist. Zu jedemy∈ R+0 existiert einx∈Rmitf(x) =y, nämlichx=√
y.
Entscheiden Sie von folgenden Funktionen, ob sie surjektiv sind.
f ∈R→R, f(x) =x3
f ∈R→R, f(x) = cos(x)
f ∈R→[−1,1], f(x) = cos(x) f ∈[0,π/2]→[−1,1], f(x) = cos(x)
f ∈R→R, f(x) =ex
f ∈R+→R, f(x) = ln(x).
Lösung von Aufgabe 11.
f ∈R→R, f(x) =x3 ist surjektiv.
f ∈R→R, f(x) = cos(x) ist nicht surjektiv. Es gibt z.B. keinxso dass cos(x) = 2.
f ∈R→[−1,1], f(x) = cos(x)
ist surjektiv. Zu jedemy∈[−1,1] findet man einxso dass cos(x) =y. Es gibt sogar unendlich viele Möglichkeitenx zu wählen. Die einfachste ist x= arccos(y).
f ∈[0,π/2]→[−1,1], f(x) = cos(x)
ist nicht surjektiv. Die Cosinusfunktion nimmt im Intervall [0,π/2] nur Werte zwischen 0 und 1 an.
f ∈R→R, f(x) =ex
ist nicht surjektiv, da diee-Funktion nur positive Werte liefert.
f ∈R+→R, f(x) = ln(x) ist surjektiv.
Aufgabe 12. Seien f, g ∈ R → R zwei injektive Funktionen. Begründen Sie, weshalb dann auchf◦geine injektive Funktion ist. Schreiben Sie zunächst auf, was Sie überf, g wissen und was Sie überf◦gzeigen müssen.
Lösung von Aufgabe 12. Annahme:f, g∈R→Rsind injektiv.
zu zeigen:f ◦g∈R→Rist injektiv, d.h.
∀x1, x2∈Rx16=x2→(f ◦g)(x1)6= (f◦g)(x2).
Seix1, x2∈Rmitx16=x2. Daginjektiv ist, folgt g(x1)6=g(x2).
Daf injektiv ist, folgt
f(g(x1))6=f(g(x2)).
Damit ist
(f ◦g)(x1)6= (f ◦g)(x2).
Aufgabe 13. Die Funktionf ∈(Z×N)→Qist definiert durch f(x, y) =x/y.
Istf injektiv bzw. surjektiv? Geben Sie jeweils einen Satz Begründung.
Lösung von Aufgabe 13. Die Funktion ist nicht injektiv, da z.B.
f(1,1) =f(2,2) aber (1,1)6= (2,2).
Die Funktion ist surjektiv, da man zu jeder rationalen Zahlq∈ Qeinen Zählerx∈Zund einen Nennery∈Nfinden kann so dass
q=x/y.
Aufgabe 14. Sei
A = {1,2,3}
B = {4,5}.
Begründen Sie weshalb es in der MengeA→B keine bijektive Funktion gibt.
Lösung von Aufgabe 14. DaA mehr Elemente alsB hat, kann es keine in- jektive Funktion inA→B geben. Es muss mindestens zwei Elemente in Ageben, denen das selbe Element ausB zugeordnet wird.
Aufgabe 15. Für jede RelationR ist die UmkehrrelationR−1 definiert durch R−1={(a, b)|bRa}.
SeiA={1,2,3}. Finden Sie eine Relation Rso dass
• (A, A, R) und (A, A, R−1) Funktionen sind
• (A, A, R) eine Funktion ist, aber (A, A, R−1) keine Funktion ist.
Lösung von Aufgabe 15.
• Mit
R={(1,1),(2,2),(3,3)}
ist sowohl (A, A, R) und (A, A, R−1) eine Funktion.
• Mit
R={(1,1),(2,1),(3,1)}
ist (A, A, R) eine Funktion aber (A, A, R−1) ist keine Funktion.
Aufgabe 16. Sei
A = {1,2,3}
B = {6,7,8}.
Finden Sie eine RelationR⊆A×B so dass a.) (A, B, R) und (B, A, R−1) Funktionen sind.
b.) (A, B, R) eine Funktion ist, (B, A, R−1) aber keine Funktion ist.
c.) (A, B, R) keine Funktion ist, (B, A, R−1) aber eine Funktion ist.
d.) Weder (A, B, R) noch (B, A, R−1) eine Funktion ist.
Lösung von Aufgabe 16.
a.) R={(1,6),(2,7),(3,8)}.
b.) R={(1,6),(2,6),(3,6)}.
c.) R={(1,6),(1,7),(1,8)}.
d.) R={(1,6)}.
Aufgabe 17. Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Am Schaubild erkennt man eine bijektive Funktion daran, dass die Pfeile eine 1:1 Zuordnung zwischen den Elementen vonA undB bilden.
A B
f
Istf = (A, B, R) eine bijektive Funktion, dann ist auchf−1= (B, A, R−1) eine bijektive Funktion und heißt Umkehrfunktion vonf.
Sei
A={1,2}, B={3,4}, R={(1,3),(2,4)}.
Dann istf = (A, B, R) eine bijektive Funktion. Die Umkehrrelation von Rist
R−1={(3,1),(4,2)}.
Damit istf−1= (B, A, R−1) die Umkehrfunktion vonf und offensichtlich ebenfalls bijektiv. Es gilt
f(1) = 3 f−1(3) = 1
f(2) = 4 f−1(4) = 2
A B
f
f−1 f
f−1
f
f−1 2 4
3 1
Stellen Sief undf−1in einem Mengendiagramm mit Pfeilen dar.
Lösung von Aufgabe 17. Beim Übergang von f zu f−1 muss man lediglich die Pfeile umdrehen.
A B
f 1
2
3 4
A B
1 2
3 4 f−1
Aufgabe 18. Für eine bijektive Funktion f, die durch einen Funktionsterm gegeben ist, stellt sich das Problem, einen Funktionsterm für die Umkehr- funktionf−1zu finden.
Sei z.B.
f ∈R→R+, f(x) =e3x+1. Es gilt
f(x) =y genau dann wenn f−1(y) =x.
f
f−1
x y
f−1(y) ist folglich dasx, für dasf(x) =y ist bzw.
e3x+1=y.
Um nun einen Term fürf−1(y) zu bekommen, muss dieses xin Abhän- gigkeit von y berechnet werden bzw. diese Gleichung nach x aufgelöst werden. Da f eine bijektive Funktion ist, hat diese Gleichung für jedes y∈R+ genau eine Lösungx∈R.
3x+ 1 = ln(y) 3x = ln(y)−1
x = ln(y)−1
3 .
Damit ist
f−1∈R+→R, f−1(y) = ln(y)−1
3 .
Berechnen Sie in gleicher Weise die Umkehrfunktion von f ∈R\ {6} →R\ {0}, f(x) = 1
x/2−3. Lösung von Aufgabe 18.
1
x/2−3 = y
x/2−3 = 1/y x/2 = 1/y+ 3
x = 2/y+ 6.
Damit ist
f−1∈R\ {0} →R\ {6}, f−1(y) =2/y+ 6.
Aufgabe 19. Skizzieren Sie die Funktion
f ∈R→R, f(x) = cos(x).
Erklären Sie, weshalb diese Funktion weder injektiv noch surjektiv ist.
Schränkt man den Cosinus jedoch ein, erhält man die bijektive Funktion f ∈[0, π]→[−1,1], f(x) = cos(x).
Am Schaubild erkennt man, dass diese Funktion streng monoton fallend und daher injektiv ist. Sie nimmt jeden Wert aus [−1,1] an und ist daher surjektiv.
Die Umkehrfunktion dieser Funktion ist der Arcus Cosinus, d.h.
f−1∈[−1,1]→[0, π], f−1(x) = arccos(x).
Diese Funktion ist nur auf dem Intervall [−1,1] definiert. Probieren Sie aus, was Ihr Taschenrechner liefert, wenn Sie z.B. arccos(2) eingeben.
Finden Sie zwei möglichst große MengenA, B so dass die eingeschränkte Sinusfunktion
f ∈A→B, f(x) = sin(x) bijektiv ist. Wie ist die Arcus Sinus Funktion definiert?
Finden Sie zwei möglichst große MengenA, B so dass die eingeschränkte Tangensfunktion
f ∈A→B, f(x) = tan(x) bijektiv ist. Skizzieren Sie dazu den Tangens.
Lösung von Aufgabe 19. Die Funktion
f ∈R→R, f(x) = cos(x)
ist nicht injektiv, da z.B.f(0) =f(2π). Sie ist nicht surjektiv, da es z.B.
keinx∈Rgibt mitf(x) = 2.
Da die Arcus Cosinus Funktion nur auf [−1,1] definiert ist, erhält man eine Fehlermeldung wenn man z.B. arccos(2) in den Taschenrechner eingibt.
Die Funktion
f ∈[−π/2,π/2]→[−1,1], f(x) = sin(x)
ist bijektiv. Die Arcus Sinus Funktion ist definiert als deren Umkehrfunk- tion, d.h.
f−1∈[−1,1]→[−π/2,π/2], f−1(x) = arcsin(x).
Die eingeschränkte Tangensfunktion
f ∈]−π/2,π/2[→R, f(x) = tan(x) ist bijektiv. Hierbei ist
]−π/2,π/2[ = {x| −π/2< x <π/2}.
Sie ist auf diesem Intervall streng monoton steigend und nimmt jeden Wert ausRan.
Aufgabe 20. Sei
f ∈R+0 →R+0, f(x) = p
e√x−1.
Hat f eine Umkehrfunktion? Falls ja, berechnen Sie diese, falls nein, be- gründen Sie weshalbf keine Umkehrfunktion hat.
Lösung von Aufgabe 20. f ist bijektiv. Füry∈R+0 erhält man das zugehö- rigex∈R+0 durch Lösen der Gleichung.
y = p
e√x−1 y2 = e
√x−1 y2+ 1 = e
√x
ln(y2+ 1) = √ x ln(y2+ 1)2 = x.
Damit ist
f−1∈R+0 →R+0, f−1(y) = ln(y2+ 1)2. Aufgabe 21. Die Funktion
f ∈ R×(R\ {0})
→ R×(R\ {0})
, f(x1, x2) = (x1+x2,1/x2) ist bijektiv. Berechnen Sie einen Funktionsterm fürf−1.
Lösung von Aufgabe 21. Es gilt
f(x1, x2) = (y1, y2) genau dann wenn
f−1(y1, y2) = (x1, x2).
Gegeben ist nun (y1, y2), gesucht (x1, x2). Weiterhin ist bekannt, dass (y1, y2) = (x1+x2,1/x2).
Aus dieser Gleichung von Paaren folgt y1 = x1+x2 y2 = 1/x2. Aus der zweiten Gleichung folgt
x2 = 1/y2. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt
x1 = y1−x2
= y1−1/y2. Damit ist
f−1(y1, y2) = (y1−1/y2,1/y2).
Aufgabe 22. Ist die Funktion
f = {0,1},{0,2},{(0,2),(1,0)}
invertierbar? Falls ja berechnen Sie die Umkehrfunktion.
Lösung von Aufgabe 22.
f−1= {0,2},{0,1},{(2,0),(0,1)}
.
Aufgabe 23. Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ln(2x2) = 1 + 3 ln(x).
Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
Lösung von Aufgabe 23. Umformen ergibt
ln(2x2) = 1 + 3 ln(x) ln(2) + 2 ln(x) = 1 + 3 ln(x) ln(x) = ln(2)−1
x = eln(2)−1
= eln(2)e−1
= 2
e.
Aufgabe 24. Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ex−2e−x = 0.
Lösung von Aufgabe 24. Umformen ergibt ex−2e−x = 0
ex = 2e−x
Daex6= 0 kann man beide Seiten mitex multiplizieren und erhält e2x = 2
Da beide Seiten positiv sind für allex, kann man logarithmieren und erhält 2x = ln(2)
x = ln(2) 2 .
