Übungen zu Mathematik 3 mit Musterlösungen

Heilbronn, den 5.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Mathematik 3 mit Musterlösungen

Blatt 2

Aufgabe 1. Aus der Korrespondenz der Fourier Transformation f⁰(t) c s jωF(ω)

und

δ(t) c s 1 folgt

δ⁰(t) c s jω.

Berechnen Sie die Fouriert Transformierte von δ⁰(t) “zu Fuß”, d.h. oh- ne Verwendung dieser Korrespondenz mit partieller Integration und Aus- blendeigenschaft.

Lösung von Aufgabe 1.

δ⁰(t) c s Z ∞

−∞

δ⁰(t)e^−jωtdt

=

δ(t)e^−jωt∞

−∞− Z ∞

−∞

δ(t)(−jω)e^−jωtdt

=

δ(t)e^−jω0∞

−∞+jω Z ∞

−∞

δ(t)e^−jωtdt

| {z }

=1

= [δ(t)]^∞_−∞+jω

= δ(∞)−δ(−∞) +jω

= jω.

Aufgabe 2. Geben sie nachfolgende RC-Schaltung:

i R

ue(t) C ua(t)

• Zeigen Sie mit Hilfe der Gesetze der komplexen Wechselstromrech- nung, dass

U_a(ω) = 1

jωRC+ 1U_e(ω).

Hierbei sindU_e(ω) undU_a(ω) die Fourier Transformierten vonu_e(t) undu_a(t). Diese können als komplexe Zeiger interpretiert werden, die zu der Schwingungskomponente mit Kreisfrequenzω gehören.

• Zeigen Sie, dass für beliebigesa <0 gilt σ(t)e^at c s 1

jω−a.

• Berechnen Sie hiermit und mit Hilfe des Faltungssatzes der Fourier Transformation die Impulsantwort dieses Systems, d.h. die Funktion g(t) so dass

u_a(t) = (g∗u_e)(t).

• Sei

ue(t) =

1 falls 0< t <1 0 sonst.

Berechnen Sieua(t) durch Faltung. Hinweis: Sie müssen hier die Fälle t <0,t >1 und 0≤t≤1 unterscheiden.

Lösung von Aufgabe 2.

• Der komplexe Widerstand eines Kondensators mit Kapazität C ist bei Kreisfrequenz ω

RC = 1

jωC. Damit ist der komplexe Strom

I(ω) = 1

R+RC

Ue(ω).

Die Ausgangsspannung ist

Ua(ω) = RCI(ω)

= R_C

R+RC

Ue(ω)

=

1 jωC

R+_jωC¹ Ue(ω)

= 1

jωRC+ 1U_e(ω)

• Fourier Transformation vonσ(t)e^at füra <0.

σ(t)e^at c s Z ∞ 0

e^ate^−jωtdt

=

Z ∞ 0

e^(a−jω)tdt

= 1

a−jω h

e^(a−jω)ti∞ 0

= 1

jω−a

Im letzten Schritt wurde ausgenutzt, dass

t→∞lim e^(a−jω)t = lim

t→∞e^ate^−jωt

= 0 daa <0.

• Aus

Ua(ω) = 1

jωRC+ 1Ue(ω) folgt mit dem Faltungssatz

ua(t) = (g∗ue)(t) wobei

g(t) c s 1

jωRC+ 1.

Berechnung von g(t) durch inverse Fourier Transformation.

1

jωRC+ 1 =

1 RC

jω+_RC¹

= 1

RC 1 jω+_RC¹

= 1

RC 1

jω−a füra=− 1 RC s c 1

RCσ(t)e^at

= 1

RCσ(t)e^−t/(RC)

= g(t).

• Sei

ue(t) =

1 falls 0< t <1 0 sonst.

Dann ist

u_a(t) = (g∗u_e)(t)

= Z ∞

−∞

u_e(τ)g(t−τ)dτ

= Z 1

0

g(t−τ)dτ

= 1

RC Z 1

0

σ(t−τ)e−(t−τ)/(RC)dτ.

– Für t < 0 ist im Integrationsbereich σ(t−τ) = 0 und damit ua(t) = 0.

– Fürt >1 ist im Integrationsbereichσ(t−τ) = 1 und damit ua(t) = 1

RC Z 1

0

e−(t−τ)/(RC)dτ

= 1

RCe^−t/(RC) Z 1

0

e^{τ /(RC)}dτ

= 1

RCe^−t/(RC)RCh

e^{τ /(RC)}i¹

0

= e^−t/(RC)(e^1/(RC)−1) – Für 0≤t≤1 ist

ua(t) = 1 RC

Z 1 0

σ(t−τ)e−(t−τ)/(RC)dτ

= 1

RC Z t

0

e−(t−τ)/(RC)dτ

= 1

RCe^−t/(RC) Z t

0

e^{τ /(RC)}dτ

= 1

RCe^−t/(RC)RCh

e^{τ /(RC)}i^t

0

= e^−t/(RC)(e^t/(RC)−1)

= 1−e^−t/(RC) Aufgabe 3. Sei

f(t) =







0 fürt <0 te^t für 0≤t <1

1 fürt≥1

Berechnen Sie die Laplace TransformierteF(s) vonf(t) und geben Sie an für welche Werte vonsdiese existiert.

Lösung von Aufgabe 3.

F(s) = Z ∞

0

f(t)e^−stdt

= Z 1

0

te^te^−stdt+ Z ∞

1

e^−stdt Z 1

0

te^te^−stdt = Z 1

0

te^t(1−s)dt

=

t 1

1−se^{t(1−s) 1}

0

− 1 1−s

Z 1 0

e^t(1−s)dt

= 1

1−se^1−s− 1 (1−s)²

h

e^t(1−s)i1 0

= 1

1−se^1−s− 1

(1−s)²(e^1−s−1)

= (1−s)e^1−s−e^1−s+ 1 (1−s)²

= 1−se^1−s (1−s)² Z ∞

1

e^−stdt = −1 s

e^−st∞ 1

= −1

s(0−e^−s) falls re(s)>0

= e^−s s Damit ist

F(s) = 1−se^1−s (1−s)² +e^−s

s falls re(s)>0.

Aufgabe 4. Berechnen Sie die folgenden Integrale sofern sie existieren.

Z ∞ 0

cos(t)e^tdt,

Z 0

−∞

cos(t)e^tdt.

Lösung von Aufgabe 4. Berechnung einer Stammfunktion.

Z

cos(t)e^tdt = 1 2

Z

(e^jt+e^−jt)e^tdt

= 1

2 Z

(e^(1+j)t+e^(1−j)t)dt

= 1

2 1

1 +je^(1+j)t+ 1

1−je^(1−j)t

= 1

4

(1−j)e^(1+j)t+ (1 +j)e^(1−j)t

= 1

4e^t (1−j)e^jt+ (1 +j)e^−jt

= 1

2e^tre((1−j)e^jt)

= 1

2e^t(cos(t) + sin(t)).

Damit ist Z ∞

0

cos(t)e^tdt = 1 2 lim

T→∞

e^t(cos(t) + sin(t))^T

0

= 1

2 lim

T→∞e^T(cos(T) + sin(T))−1.

Dieser Grenzwert existiert nicht.

Z 0

−∞

cos(t)e^tdt = 1 2 lim

T→−∞

e^t(cos(t) + sin(t))0 T

= 1

2 lim

T→−∞1−e^T(cos(T) + sin(T))

= 1

2.

Aufgabe 5. Berechnen Sie die Laplace Transformierte von f(t) = (σ(t)−σ(t−1))e^t. Hinweis: Zeichnen Sie zuerstσ(t−1) und σ(t).

Lösung von Aufgabe 5. Es gilt σ(t)−σ(t−1) =

1 falls 0≤t <1 0 sonst.

Damit ist

F(s) = Z ∞

0

f(t)e^−stdt

= Z 1

0

e^te^−stdt

= Z 1

0

e^t(1−s)dt

= 1

1−s h

e^t(1−s)i1 0

= e^(1−s)−1 1−s .

Aufgabe 6. Berechnen Sie die Laplace Transformierte von σ(t−2) cos(t−2)

σ(t) cos(t−2) Lösung von Aufgabe 6.

σ(t) cos(t) c s s s²+ 1 σ(t−2) cos(t−2) c s e^−2s s

s²+ 1.

Die schnellste Möglichkeit um σ(t) cos(t−2) zu transformieren ist die Verwendung der Additionstheoreme.

σ(t) cos(t−2) = σ(t)(cos(t) cos(2) + sin(t) sin(2))

= σ(t) cos(2) cos(t) +σ(t) sin(2) sin(t) c s cos(2) s

s²+ 1 + sin(2) 1 s²+ 1

= scos(2) + sin(2) s²+ 1 .

Ein anderer Rechenweg führt über komplexee-Funktionen.

σ(t) cos(t−2) = 1

2σ(t)(e^j(t−2)+e^−j(t−2))

= 1

2σ(t)(e^−2je^jt+e^2je^−jt) c s 1

2 e^−2j

s−j + e^2j s+j

= 1

2

e^−2j(s+j) +e^2j(s−j) s²+ 1

= 1

2

s(e^−2j+e^2j) +j(e^−2j−e^2j) s²+ 1

= 1

2

s2re(e^−2j) +j2jim(e^−2j) s²+ 1

= 1

2

2scos(−2)−2 sin(−2) s²+ 1

= scos(2) + sin(2) s²+ 1 .

Aufgabe 7. Berechnen Sie die Laplace Transformierte von cos(ωt). Der Dämp- fungssatz der Laplace Trasformation besagt, dass

e^−atf(t) c s F(s+a).

Berechnen Sie damit die Laplace Transformiert von e^tcos(ωt) und von sin(ωt) cos(ωt). Stellen Sie dazu die Sinus Funktion als Summe zweier komplexere-Funktionen dar.

Lösung von Aufgabe 7. Mit

cos(ωt) = 1

2 e^jωt+e^−jωt gilt

cos(ωt) c s 1 2

Z ∞ 0

e^jωt+e^−jωt e^−stdt

= 1

2 Z ∞

0

e^(−s+jω)tdt+1 2

Z ∞ 0

e^{(−s−jω)t}dt

= 1

2

1 (−s+jω)

h

e^(−s+jω)ti∞

0 + 1

(−s−jω) h

e^{(−s−jω)t}i∞ 0

= 1

2 1

s−jω + 1 s+jω

= 1

2

s+jω+s−jω s²+ω²

= s

s²+ω²

Der Dämpfungssatz füra=−1 besagt

e^tf(t) c s F(s−1).

Damit gilt

e^tcos(ωt) c s s−1 (s−1)²+ω². Für die Sinus Funktion gilt

sin(ωt) = 1

2j e^jωt−e^−jωt . Damit ist

sin(ωt) cos(ωt) = 1

2j e^jωtcos(ωt)−e^−jωtcos(ωt) . Der Dämpfungssatz besagt füra=−jωbzw.a=jω

e^jωtf(t) c s F(s−jω) e^−jωtf(t) c s F(s+jω).

Damit gilt

e^jωtcos(ωt) c s s−jω (s−jω)²+ω²

= s−jω

s(s−2jω) e^−jωtcos(ωt) c s s+jω

(s+jω)²+ω²

= s+jω

s(s+ 2jω).

Folglich ist

sin(ωt) cos(ωt) c s 1 2js

s−jω

s−2jω − s+jω s+ 2jω

= ω

s²+ 4ω².

Aufgabe 8. Bestimmen Sie die Originalfunktion f(t) der Laplace Transfor- mierten

F(s) = 2s+ 1 (s+ 1)² Hinweis: Partialbruchzerlegung.

Lösung von Aufgabe 8. Partialbruchzerlegung vonF(s):

2s+ 1

(s+ 1)² = c

s+ 1 + d (s+ 1)² 2s+ 1 = c(s+ 1) +d Koeffizientenvergleich ergibt

c= 2, d=−1.

Damit ist

F(s) = 2

s+ 1 − 1 (s+ 1)². Aus

1 c s 1

s

t c s 1

s² und dem Dämpfungssatz

e^−atf(t) c s F(s+a) folgt

e^−t c s 1 s+ 1

te^−t c s 1

(s+ 1)² Damit gilt

F(s) s c 2e^−t−te^−t.

Aufgabe 9. Berechnen Sie die inverse Laplace Transformierte von

F(s) = 4

(s−1)⁴e^s.

Lösung von Aufgabe 9. Umformen ergibt F(s) = e^−s 4

(s−1)⁴. Aus der Formelsammlung entnimmt man

σ(t)tⁿe^at c s n!

(s−a)ⁿ⁺¹. Fürn= 3 unda= 1 folgt

σ(t)t³e^t c s 6 (s−1)⁴. Mit der Linearität folgt

σ(t)2

3t³e^t c s 4 (s−1)⁴. Mit dem Verschiebungssatz und ˆt= 1 gilt damit

σ(t−1)2

3(t−1)³e^t−1 c s e^−s 4 (s−1)⁴. Die gesuchte Funktion ist somit

f(t) = σ(t−1)2

3(t−1)³e^t−1.

Aufgabe 10. Berechnen Sie für beliebigest >0 das bestimmte Integral g(t) =

Z t 0

δ(τ−1)dτ.

Lösung von Aufgabe 10. Die Funktionδ(τ−1) ist ein Dirac Impuls an der Stelleτ = 1. Integriert man diese Funktion von 0 bis t, muss man eine Fallunterscheidung machen:

• Ist t <1, d.h. der Impuls ist außerhalb des Intervalls, über das inte- griert wird, dann ist

g(t) = 0.

• Ist t ≥ 1, d.h. der Impuls ist in dem Intervall, über das integriert wird, dann ist

g(t) = 1.

Damit ist

g(t) =

0 falls t <1 1 falls t≥1

= σ(t−1).

Einfacher wäre es gegangen, wenn man ausnutzt, dassσ(τ) eine Stamm- funktion vonδ(τ) ist. Damit gilt

Z t 0

δ(τ−1)dτ = [σ(τ−1)]^t₀

= σ(t−1)−σ(−1)

= σ(t−1).

Aufgabe 11. Berechnen Sie eine Funktionf(t) mit f(t) c s s+ 1

s²+s−2.

Hinweis: Partialbruchzerlegung. Bei der Rücktransformation der Partial- brüche hilft die Korrespondenz

1

s−a s c σ(t)e^at. Lösung von Aufgabe 11. Faktorisierung des Nenners.

s²+s−2 = 0 s1,2 = −1±√

1 + 8 2

= −1±3 2 s1 = 1 s₂ = −2

s²+s−2 = (s−1)(s+ 2).

Partialbruchzerlegung.

s+ 1

(s−1)(s+ 2) = c1

s−1 + c2

s+ 2 s+ 1 = c1(s+ 2) +c2(s−1) Spezialfalls= 1.

2 = 3c₁ c₁ = 2

3 Spezialfalls=−2.

−1 = −3c2

c2 = 1 3. Damit ist

s+ 1

s²+s−2 = 2 3

1 s−1 +1

3 1 s+ 2. Mit

σ(t)e^at c s 1 s−a folgt füra= 1 bzw.a=−2

1

s−1 s c σ(t)e^t 1

s+ 2 s c σ(t)e^−2t. Mit der Linearität folgt damit

s+ 1

s²+s−2 s c 2

3σ(t)e^t+1

3σ(t)e^−2t.

Aufgabe 12. Berechnen Sie die Laplace TransformierteF(s) von f(t) = σ(t)sin(ωt)

e^at . Lösung von Aufgabe 12. Mit der Korrespondenz

e^−atf(t) c s F(s+a) und

σ(t) sin(ωt) c s ω s²+ω² folgt

σ(t)sin(ωt)

e^at = e^−atσ(t) sin(ωt)

c s ω

(s+a)²+ω².

Ohne Korrespondenz für die Verschiebung im Bildbereich würde die Lö- sung wie folgt aussehen:

σ(t)sin(ωt)

e^at = σ(t) 1

2j e^jωt−e^−jωt e^−at

= σ(t) 1 2j

e^(−a+jω)t−e^{(−a−jω)t} . Aus der Korrespondenz

σ(t)e^at c s 1

s−a falls re(s)>re(a) folgt

σ(t)e^(−a+jω)t c s 1 s−(−a+jω)

= 1

s+a−jω falls

re(s)>re(−a+jω) bzw.

re(s)>−re(a).

Weiterhin gilt

σ(t)e^{(−a−jω)t} c s 1 s−(−a−jω)

= 1

s+a+jω

falls

re(s)>re(−a−jω) bzw.

re(s)>−re(a).

Damit gilt σ(t)1

2j

e^(−a+jω)t−e^{(−a−jω)t} c s 1

2j

1

s+a−jω − 1 s+a+jω

= 1

2j((s+a)²+ω²)(s+a+jω)−(s+a−jω))

= 2jω

2j((s+a)²+ω²)

= ω

(s+a)²+ω² falls re(s)>−re(a).

Aufgabe 13. Bestimmen Sie die Originalfunktionf(t) der Laplace Transfor- mierten

F(s) = 4s+ 3 s²+ 1.

Lösung von Aufgabe 13.

F(s) = 4s+ 3 s²+ 1

= 4 s

s²+ 1 + 3 1 s²+ 1 s c 4 cos(t) + 3 sin(t).

Aufgabe 14. Transformieren Sie die Funktion F(s) = 1

(s+ 1)e^s

in den Zeitbereich. Lösen Sie die Aufgabe auf mehrere Weisen.

Lösung von Aufgabe 14. Die Funktion F(s) kann als Produkt dargestellt werden:

F(s) =e^−s 1 s+ 1. Es gibt verschiedene Möglichkeiten.

• Mit dem Verschiebungssatz

e^−sˆtF(s) s c f(t−t)ˆ erhält man

1

s+ 1 s c σ(t)e^−t e^−s 1

s+ 1 s c σ(t−1)e^−(t−1)

= σ(t−1)e^1−t.

• Mit

δ(t−1) c s e^−s σ(t)e^−t c s 1 s+ 1 und dem Faltungssatz

(f∗g)(t) c s F(s)G(s) folgt

e^−s 1

s+ 1 s c δ(t−1)∗σ(t)e^−t

= σ(t−1)e^1−t.

• Umformen ergibt

F(s) = e

(s+ 1)e^s+1. Mit

G(s) = 1 se^s

giltF(s) =eG(s+ 1). Zuerst wird nunG(s) in den Zeitbereich trans- formiert.

G(s) s c σ(t)∗δ(t−1)

= σ(t−1).

Mit dem Verschiebungssatz im Bildbereich e^−atg(t) s c G(s+a) gilt für a= 1

e^−tσ(t−1) c s G(s+ 1) und

e^1−tσ(t−1) c s eG(s+ 1) = F(s).

Aufgabe 15. Berechnen Sie die Laplace Transformierte von f(t) = σ(t)√

e^t.

Sie dürfen alle Korrespondenzen im Anhang des Skripts benutzen.

Lösung von Aufgabe 15. Da

f(t) = σ(t)

√ e^t

= σ(t)e^t/2 folgt mit der Korrespondenz

σ(t)e^at c s 1 s−a dass

σ(t)e^t/2 c s 1 s−1/2.