Übungen zu Mathematik 1 Blatt 8 Zu bearbeiten bis 25.11.2021

Heilbronn, den 18.11.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Mathematik 1

Blatt 8

Zu bearbeiten bis 25.11.2021

Name: Matrikelnr.:

Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.

• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.

• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.

Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).

Aufgabe 1. Berechnen Sie

≤_Q∩ ≥_Z.

Aufgabe 2. Berechnen Sie mit Hilfe der Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen (siehe Skript) und unter Verwendung von

x→0limxln(|x|) = 0 die Grenzwerte an der Stelle ˆx= 0 von

f(x) = ln|x|cos(x)x f(x) = (ln(|x|+ 2))(x−1) f(x) = xln|x|+ 1

x²+ 3

Machen Sie deutlich an welcher Stelle sie welche Rechenregel verwendet haben.

Aufgabe 3. Seif ∈R²→R³undg∈R³→Rdefiniert durch f(x, y) = (y,sin(xy), x+y) g(x, y, z) = xy−z.

Berechnen Sie einen Funktionsterm fürg◦f. Aufgabe 4. Seif ∈Q²→Q² definiert durch

f(x₁, x₂) = (x₂+ 5, x₁−x₂).

Berechnen Sie einen Funktionsterm für die Umkehrfunktion vonf.

Aufgabe 5. Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ln(cos(x) + 1) = 0.

Aufgabe 6. Die Folge

xn = 1/n²

konvergiert gegen 0. Es muss also für jedesε >0 einN existieren, so dass für allen > N gilt|xn|< ε. Finden Sie solch einN fürε= 0.1.

Aufgabe 7. Prüfen Sie, ob folgende Folgen konvergieren und falls ja berechnen Sie die (uneigentlichen) Grenzwerte.

xn = 3n²−n+ 10 n⁴+n³

x_n = (n−1)(n−2)(n−3) (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) xn = exp(n)

n¹⁰

x_n =

n−1 3n²+ 1

4n³+ 3 n²+ 4

Aufgabe 8. Berechnen Sie

x→1lim x²−1

ln(x)

Aufgabe 9. Welche der folgenden Funktionen f hat einen (uneigentlichen) Grenzwert bei ˆx= 0? Falls eine Funktion keinen (uneigentlichen) Grenz- wert hat, versuchen Sie dies zu beweisen, indem Sie zwei gegen Null kon- vergente Folgen xn und x⁰_n finden, für die die Folgen f(xn) und f(x⁰_n) unterschiedliche Grenzwerte haben.

f ∈R\ {0} →R, f(x)= sin(1/x) cos(1/x) f ∈R→R, f(x)=







1 fürx >0 0 fürx= 0

−1 fürx <0 f ∈R→R, f(x)=

1 fürx6= 0 0 fürx= 0

Aufgabe 10. Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung folgender Funktio- nen und vereinfachen Sie die Ergebnisterme so weit wie möglich. Geben Sie an, welche Ableitungsregeln Sie benutzt haben.

f(x) = e^sin(x) f(x) = ln(x²)e^(x2) f(x) = cos(√

x)

f(x) = sin(x) x+ 1

Aufgabe 11. Zeigen Sie, dass für die Ableitung der Funktion f ∈R→R, f(x) = arctan(x)

gilt

f⁰(x) = 1 1 +x². Hinweis: Für allex∈Rgilt

tan(arctan(x)) = x.

Die Funktion

g(x) = tan(f(x))−x

ist daher überall Null und folglich auchg⁰(x). Leiten Sie g mit der Ket- tenregel ab und lösen Sie nachf⁰ auf. Sie dürfen dabei verwenden dass

d

dxtan(x) = 1 + tan(x)²,

was ja mit tan(x) = ^sin(x)/cos(x)und der Quotientenregel leicht zu zeigen wäre.

Aufgabe 12. Seienf, g ∈R→R zwei differenzierbare Funktionen. Entschei- den Sie von folgenden beiden Aussagen, ob Sie wahr oder falsch sind.

Geben Sie eine kurze Begrüng.

• Wenn f =gdann ist auchf⁰=g⁰.

• Wenn f⁰=g⁰ dann ist auchf =g.

Aufgabe 13.

• Erklären Sie, weshalb für x6= 0 gilt x+dx 2x−^dx/3

= 1

2. Gilt dies auch fürx= 0?

• Warum ist¹/dxundefiniert?

• Warum istdx= 0 aber^dx/dx= 1 trotzdem definiert?

Aufgabe 14. Berechnen Sie in Abhängigkeit von x0, y0 die Parameter a, b einer Geraden

y(x) = ax+b,

die durch den Punkt (x₀, y₀) läuft und die Funktionf(x) =x² tangiert.

f(x) =x²

y(x) =ax+b y0

x0

x

• Für welche Werte von x0, y0gibt es mehrere bzw. keine solche Gera- de?

• Fürx0=−2 undy0= 3 gibt es zwei solche Geraden. Berechnen Sie diese beiden Geraden und für jede den Punkt, an dem sie die Parabel berührt.

Aufgabe 15. Der Begriff Ableitung lässt sich leicht auf mehrstellige Funktio- nen übertragen. Sei z.B.

f(x, y) = x²y+xsin(y) +e^y.

• Man kann in dieser Funktion die Variabley als konstanten Parame- ter betrachten und erhält damit eine einstellige Funktion von x. Die Ableitung dieser einstelligen Funktion heißt partielle Ableitung nach x:

∂

∂xf(x, y) = 2xy+ sin(y).

• Genauso kann man auch die Variable x als konstanten Parameter betrachten und dadurch eine einstellige Funktion vonyerhalten. Die Ableitung dieser einstelligen Funktion heißt partielle Ableitung nach y:

∂

∂yf(x, y) = x²+xcos(y) +e^y. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen der Funktion

f(x, y) = sin(x²y) + x cos(y).

Aufgabe 16. Wennf(x) an der Stelle ˆxeinen lokalen Extremwert hat, dann

Für mehrstellige Funktionen gilt dies analog. Wennf(x, y) an der Stelle (ˆx,y) einen lokalen Extremwert hat, dann istˆ

∂

∂xf(ˆx,y)ˆ = 0 und

∂

∂yf(ˆx,y)ˆ = 0.

Berechnen Sie alle Punkte (ˆx,y), an denen beide partiellen Ableitungenˆ der Funktion

f(x, y) = (x+ 1) sin(x+y) Null sind.

Aufgabe 17. Ein Taylor Polynom ist eine Approximation an eine Funktionf in der Nähe des Entwicklungspunktes ˆx. Es stellt sich natürlich die Frage, wie gut diese Approximation im Arbeitsbereich [ˆx, xmax] ist.

Allgemein lässt sich zeigen, dass es für jedes xeinen Wert ξ zwischen ˆx undxgibt so dass

f(x) =

n

X

i=0

f⁽ⁱ⁾(ˆx)

i! (x−x)ˆ ⁱ

| {z } Taylor Polynomp(x)

+f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)

(n+ 1)! (x−x)ˆ ⁿ⁺¹

| {z }

Restglied .

Der Approximationsfehler des Taylor Polynoms vom Gradnan einer be- liebigen Stellex∈[ˆx, x_max] ist damit garantiert nicht größer als

m

(n+ 1)!|xmax−ˆx|ⁿ⁺¹. wobei

m= max

ξ∈[ˆx,x_max]

f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) .

• Sei p(x) das Taylor Polynom von f(x) = cos(x) zum Entwicklungs- punkt ˆx= 3 mit Gradn. Berechnen Sie mit o.g. Formel eine Ober- grenze für den Approximationsfehler des Taylor Polynoms im Ar- beitsbereich [ˆx, x_max] fürx_max = 10 für beliebigesn, fürn= 10 und fürn= 20.

• Sei p(x) das Taylor Polynom vom Grad 3 vonf(x) =√

xzum Ent- wicklungspunkt ˆx= 1. Berechnen Sie eine Obergrenze für den Ap- proximationsfehler vonp(x) im Arbeitsbereich [ˆx, x_max] fürx_max= 3.

Aufgabe 18. Sei

sinh(x) = e^x−e^−x 2 cosh(x) = e^x+e^−x

2 .

• Zeigen Sie, dass

sinh⁰(x) = cosh(x) cosh⁰(x) = sinh(x).

• Zeigen Sie, dass sinh(x) und cosh(x) für x ≥ 0 monoton steigend sind.

• Berechnen Sie das Taylor Polynomp(x) vom Grad 3 der sinh-Funktion zum Entwicklungspunkt ˆx= 0.

• Berechnen Sie eine Obergrenze für den Abstand zwischen p(x) und sinh(x) fürx∈[0,2].

• Zeigen Sie, dass für alle xgilt

|sinh(x)| ≤ e^|x|

|cosh(x)| ≤ e^|x|.

• Seip_n(x) das Taylor Polynom vom Gradnfür sinh(x) zum Entwick- lungspunkt ˆx= 0. Zeigen Sie, dass

n→∞lim p_n(x)−sinh(x) = 0

für allex. Man erhält somit beliebig genaue Approximationen an die sinh-Funktion, wenn man den Grad des Taylor Polynoms groß genug macht.

Aufgabe 19. Berechnen Sie das Taylor Polynomp(x) vom Grad 3 vonf(x) = tan(x) zum Entwicklungspunkt ˆx= 0. Berechnen Sie dann eine Obergren- ze für den Abstand zwischenp(x) undf(x) im Intervall [0, π/4]. Hinweis:

• tan(π/4) = 1

• f⁰⁰⁰⁰(x) ist monoton steigend im Intervall [0, π/4].

Aufgabe 20. Sei

f ∈R⁺→R definiert durch

f(x) = sin(x)

√x .

Hatf einen Grenzwert an der Stelle ˆx= 0? Falls ja, berechnen Sie diesen, falls nein, geben Sie eine Begründung. Hinweis: Ersetzen Sie die Sinusfunk- tion im Zähler durch ihre Taylorreihe und vereinfachen Sie den Bruch.

Aufgabe 21. Sei f ∈ R → R eine n+ 1 mal differenzierbare Funktion und ˆ

x∈R. Aus der Formel des Restglieds nach Lagrange folgt, dass für allex∈R

einξ∈Rexistiert so dass f(x) =

n

X

i=0

1

i!f⁽ⁱ⁾(ˆx)(x−x)ˆ ⁱ+ 1

(n+ 1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x−x)ˆ ⁿ⁺¹.

Zeigen Sie hiermit, dass für allex >0 die u.a. in der Informationstheorie wichtige Ungleichung

ln(x) ≤ x−1

gilt. Wenn man ln(x) und x−1 in ein Schaubild zeichnet, sieht man das sofort.

Hinweis: Formen Sie die Ungleichung zuerst so um, dass einee-Funktion statt des ln auftritt. Verwenden Sie o.g. Taylor Enwicklung für die e- Funktion, ˆx= 1 undn= 1.

Aufgabe 22. Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung folgender Funktio- nen. Geben Sie an, welche Ableitungsregeln Sie benutzt haben.

f(x) = sin(x) 1−x² f(x) = xcos(1/x²) f(x) = e^−cos(x)

Aufgabe 23. Berechnen Sie alle lokalen Extrempunkte zu der Funktion f(x) = sin(x)e^x

und entscheiden Sie anhand der zweiten Ableitung ob es Hoch- oder Tief- punkte sind. Hinweis: Wenn man sin(x) und cos(x) im Einheitskreis ein- zeichnet, erkennt man dass

sin(x) =−cos(x) fürx=^3π/4undx=−^π/4. Pflichtaufgabe.

• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?

• Was fanden Sie besonders schwierig?

• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?