Heilbronn, den 11.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Mathematik 2
Blatt 3
Zu bearbeiten bis 18.10.2021
Name: Matrikelnr.:
Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.
• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.
• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.
Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).
Aufgabe 1. Gegeben ist die Funktion
f(x) = (ex+ 1) sin(ex+x).
• Berechnen Sie eine Stammfunktion von f(x). Hinweis: Versuchen Sie’s mit einer geeigneten Substitution.
• Berechnen Sie die StammfunktionF(x) vonf(x), für die giltF(0) = 0.
Aufgabe 2. Berechnen Sie für eine beliebige Konstantes∈Cdie Integrale Z ∞
0
ejte−stdt
Z ∞ 0
e−jte−stdt
Z ∞ 0
cos(t)e−stdt.
Hinweis:
• Stellen Sie die Cosinusfunktion durch komplexee-Funkionen dar und nutzen Sie die Linearität des Integrals.
• Da die Obergrenze∞ist, muss ein Grenzwert berechnet werden. Für eine beliebige komplexe Zahlz=a+jbgilt
ezt = e(a+jb)t
= eat(cos(bt) +jsin(bt)).
Damit ist
t→∞lim ezt = 0
falls re(z)<0 und undefiniert sonst. Zeigen Sie damit, dass die Inte- grale genau dann existieren, wenn re(s)>0.
Aufgabe 3. Sei
~
v =
et+ 1
−et
.
• Zeigen Sie, dass es kein t∈Rgibt so dassk~vkminimal ist.
• Gibt es eint∈Rso dassk~vkmaximal ist?
• Berechnen Sie
t→∞lim k~vk und lim
t→−∞k~vk.
Aufgabe 4. Statt Linearkombinationen von Vektoren kann man analog auch Linearkombinationen von Funktionen bilden. So ist die Funktion g(x) Linearkombination der Funktionenf1(x), . . . , fn(x) wenn es Konstanten c1, . . . , cn gibt so dass
g(x) = c1f1(x) +c2f2(x) +. . .+cnfn(x)
für allex. Entsprechend ist der Vektorraum, der vonf1(x), . . . , fn(x) er- zeugt wird, die Menge
L(f1(x), . . . , fn(x)) = {c1f1(x) +. . . cnfn(x)|c1, . . . , cn∈R}.
Was sind die Elemente von
L(1, x, x2, . . . , x5) bzw. von
L(1, x, x2, . . .)?
Zeigen Sie, dass
L(cos(ωx),sin(ωx)) = {rcos(ωx+ϕ)|r, ϕ∈R}.
Hinweis: Verwenden Sie komplexe Zahlen!
Aufgabe 5. Zeigen Sie, dass
−3 5
−4
∈L
1 1 2
,
3
−1 5
.
Aufgabe 6. Sei
A =
1 1 0 −1
0 1 2 1
.
Die Lösungsmenge des LGS
A~x = ~0
ist ein Vektorraum. Berechnen Sie eine Basis dieses Vektorraums.
Aufgabe 7. Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor~b ∈ R2 als Linearkombination der Vektoren
~a1= 1
2
und~a2= 3
4
darstellen lässt.
Aufgabe 8. Sei A ∈ Rm×n und~b ∈ Rm. Nennen Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass das LGS
A~x=~b
genau eine Lösung hat. Die Bedingung soll mit linearer Abhängigkeit und Vektorräumen zu tun haben.
Aufgabe 9. SeiA∈Rn×n. Nennen Sie eine notwendige und hinreichende Be- dingung dafür, dass das LGS
A~x=~b
für jede rechte Seite~b∈Rn genau eine Lösung hat.
Aufgabe 10. Seien~a1, ~a2∈Rm. Zeigen Sie, dass L(~a1, ~a2) = L(~a1, ~a1+~a2).
Hinweis: Schauen Sie nach wie die Gleichheit von Mengen definiert ist.
Aufgabe 11. Die folgenden Fakten über Vektorräume sollten Sie sich einprä- gen:
• Ein Tupel von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn keiner dieser Vektoren Linearkombination der anderen ist.
• Der Vektorraum, der von Vektoren ~a1, . . . , ~an erzeugt wird, ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren, d.h.
L(~a1, . . . , ~an) = {x1~a1+. . .+xn~an|x1, . . . , xn ∈R}.
• Eine MengeM ⊆Rmheißt Vektorraum, wenn es Vektoren~a1, . . . , ~an∈ Rm gibt so dass
L(~a1, . . . , ~an) = M.
• Vektorräume sind genau die Teilmengen von Rm, die abgeschlossen sind unter Addition und unter skalarer Multiplikation.
Zeigen Sie, dass die Lösungsmenge eineshomogenenLGS A~x = ~0
abgeschlossen ist unter Addition und unter skalarer Multiplikation, d.h.
• wenn~x1, ~x2 Lösungen des LGS sind, dann auch~x1+~x2
• wenn~xLösung des LGS ist, dann auchu~x.
Aufgabe 12. SeiM ein Vektorraum. Ein Tupel (~a1, . . . , ~an) heißt Basis vonM wenn gilt
• (~a1, . . . , ~an) ist linear unabhängig
• L(~a1, . . . , ~an) =M.
Jede Basis eines VektorraumsM besteht aus gleich vielen Vektoren. Diese Anzahl heißt Dimension vonM.
Sei z.B.
E =
x1
1 0 3
+x2
−3 5 7
|x1, x2∈R
eine Ursprungsebene. Dann istEein Vektorraum und da die beiden Rich- tungsvektoren linear unabhängig sind, bilden diese eine Basis vonE. Da die Basis aus zwei Vektoren besteht, istE ein zweidimensionaler Vektor- raum.
Die Lösungsmenge eineshomogenen LGS A~x=~0 ist immer ein Vektor- raum. Eine Basis erhält man direkt aus dem Gauß Algorithmus.
Berechnen die LösungsmengeLdes LGS x1+x2+ 2x3 = 0 x1−x2+ 2x4 = 0.
Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension vonL. Aufgabe 13. Sei
f ∈R→R, f(x) =
3x falls x≥0 5x falls x <0 Istf linear? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 14. Nennen Sie vier äquivalente Bedingungen dafür, dass die Vekto- ren~a1, . . . , ~an linear unabhängig sind.
Aufgabe 15. Zeigen Sie, dass die Funktion f ∈R2→R2, f
x1 x2
= x2
x1
linear ist, indem Sie die beiden Linearitätseigenschaften nachweisen.
Aufgabe 16. Bei den “meisten” Funktionen sind entweder beide Linearitätsbe- dingungen erfüllt oder keine. Bei den folgenden beiden Beispielen gilt dies jedoch nicht. Entscheiden Sie jeweils, welche Linearitätsbedingung erfüllt ist.
Im zweiten Beispiel werden lineare Funktionen ins Komplexe erweitert:
Eine Funktionf ∈Cn→Cmheißt linear wenn für alle~x, ~y∈Cn und alle u∈Cgilt
f(~x+~y) = f(~x) +f(~y) f(u~x) = uf(~x).
•
f ∈R2→R, f x1
x2
=
x21/x2 fallsx26= 0 0 fallsx2= 0
•
f ∈C→C, f(x) = re(x).
Aufgabe 17. Sei
f ∈R3→R2, f
x1 x2 x3
=
x3 x1+ 5x2
.
Finden Sie eine MatrixAso dass
f(~x) = A~x für alle~x∈R3.
Pflichtaufgabe.
• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?
• Was fanden Sie besonders schwierig?
• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?
