Heilbronn, den 15.11.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Mathematik 2
Blatt 8
Zu bearbeiten bis 22.11.2021
Name: Matrikelnr.:
Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.
• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.
• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.
Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).
Aufgabe 1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL y00+y = cos(x).
Aufgabe 2. Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag der komplexen Zahl
z= 2j(1−j) (2j+ 1)2.
Aufgabe 3. Berechnen Sie den Betrag der komplexen Zahl 2
1 +j.
Aufgabe 4. Folgendes Bild zeigt einen elektrischen Schwingkreis.
i(t)
R L C
q(t)
• Wie groß darf der WiderstandRin Abhängigkeit vonLundChöch- stens sein, damit der Schwingkreis tatsächlich eine gedämpfte Schwin- gung ausführt?
• Berechnen Sie für diesen Fall die Kreisfrequenz der Schwingung.
Aufgabe 5. Berechnen Sie eine partikuläre Lösung der DGL y0+y = cos2(x).
1
Aufgabe 6. In nachfolgendem Bild ist ein KondensatorC direkt an eine kom- plexe Wechselspannungsquelle mit Spannung
u(t) = u0ejωt angeschlossen.
u(t) q(t)
i(t)
C
Für die Ladung des Kondensators gilt somit q(t) = Cu(t).
Die Ladungsänderung des Kondensators ist gleich der Stromstärke, d.h.
i(t) = q0(t).
• Berechnen Sie die Stromstärkei(t) in Abhängigkeit vonu0, C undω.
• Berechnen Sie hiermit den komplexen Widerstand des Kondensators aus
R = u(t) i(t)
und zeigen Sie, dassRunabhängig vontist. Wäre dies auch der Fall, wennu(t) keine komplexe Wechselspannung wäre?
Aufgabe 7. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL y00+ 2y0+ 5y= 0.
Aufgabe 8. Nachfolgendes Bild zeigt eine parabolische Bahn f(s) = s2, auf der ein Wagen der Massemreibungsfrei hin und her fährt.
s f(s) =s2
FH
α
FR
mg
∆y=−f′(s)FR
2
• Zeigen Sie, dass sich die Rückstellkraft FR in Abhängigkeit von der Horizontalposition sdes Wagens durch
FR = −2mg s 1 + 4s2.
berechnen lässt. Verwenden Sie hierzu die eingezeichneten Hilfsgrö- ßen.
• Stellen Sie damit eine Differentialgleichung für die Horizontalposition sdes Wagens in Abhängigkeit von der Zeit auf.
• Die Differentialgleichung ist nichtlinear und damit schwierig zu lö- sen. Für kleine Auslenkungen s lässt sich die Rückstellkraft FR(s) durch ihre Linearisierung mit Entwicklungspunkt ˆs= 0 approximie- ren. Stellen Sie damit eine linear DGL auf und berechnen Sie die allgemeine Lösung.
• Berechnen Sie die Periodendauer der entstehenden Schwingung. Hängt diese von der Startauslenkung oder von der Masse ab? Wenn man das Experiment auf dem Mond ausführen würde, würde der Wagen denn schneller oder langsamer schwingen?
Aufgabe 9. Seiy(x) eine unbekannte Funktion. Berechnen Sie Z
cos(y(x))y0(x)dx Z
ey(x)y0(x)dx Z y0(x)
y(x)dx
Aufgabe 10. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL y0(x) = x2
y(x)2
Aufgabe 11. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL y0 = y+y2.
Hinweis: Partialbruchzerlegung.
Aufgabe 12. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL xy0+y= ln(x)
fürx∈R+.
Aufgabe 13. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL y0−2 sin(x) cos(x)y = e−cos2(x). Pflichtaufgabe.
• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?
• Was fanden Sie besonders schwierig?
• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?
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